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高中数学复习专题讲座(第10讲)函数图象及图象性质的应用


题目 高中数学复习专题讲座 函数图象及图象性质的应用 高考要求 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一, 它是研究和记忆函数性 质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用 因此, 考生要掌握绘制函数图象的一般方法, 掌握函数图象变化的一般规律, 能利用函数的图象研究函数的性质 重难点归纳 1 熟记基本函数的大致图象,掌握函数作图的基本方法 (1)描点法

列表、描点、连线;(2)图象变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等 2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的 题型多以选择与填空为主,属于必考内容之一,但近年来,在大题中也有出 现,须引起重视 典型题例示范讲解 例 1 对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a-x), (1)求证 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; (2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x),且方程 f(x)=0 恰好有四 个不同实根,求这些实根之和 命题意图 本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题 错解分析 找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化 技巧与方法 数形结合、等价转化 (1)证明 设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0=f(x0),
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(2a ? x0 ) ? x0 =a, ∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线 x=a 对称, 2

又 f(a+x)=f(a-x), ∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0, ∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上, 故 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称 (2)解 由 f(2+x)=f(2-x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 若 x0 是 f(x)=0 的根,则 4-x0 也是 f(x)=0 的根, 若 x1 是 f(x)=0 的根,则 4-x1 也是 f(x)=0 的根, ∴x0+(4-x0)+ x1+(4-x1)=8 即 f(x)=0 的四根之和为 8
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例 2 如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们 的横坐标分别是 a、a+1、a+2 又 A、B、C 在 x 轴上的射影 分别是 A′、B′、C′,记△AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′ 的面积为 g(a)
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y C B A

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(1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论 命题意图 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组 合等 知识依托 充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找 到问题的突破口 y 错解分析 图形面积不会拆拼 C 技巧与方法 数形结合、等价转化 B 解 (1)连结 AA′、BB′、CC′, A 则 f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B
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1 1 (A′A+C′C)= ( a ? a ? 2 ), 2 2 1 g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B= a ? 1 2
=

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1 (2) f (a) ? g (a) ? ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1) 2 1 ? [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] 2

1 1 1 ? ( ? )?0 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a
∴f(a)<g(a) 3 2 例 3 已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图, y 求 b 的范围 解法一 观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象 过原点,即 f(0)=0,得 d=0, o 又 f(x)的图象过(1,0),∴f(x)=a+b+c ① 又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0 ② ①+②得 b<0,故 b 的范围是(-∞,0) 解法二 如图 f(0)=0 有三根 0,1,2, ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax, ∴b=-3a, ∵当 x>2 时,f(x)>0,从而有 a>0,∴b<0 学生巩固练习 1 当 a≠0 时,y=ax+b 和 y=bax 的图象只可能是( )
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2 某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了, 再走余下的路,下图中 y 轴表示离学校的距离,x 轴表示出发后的时间,则 适合题意的图形是( )
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3 已知函数 f(x)=log2(x+1),将 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,再将 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 y=g(x)的 图象,则函数 F(x)=f(x)-g(x)的最大值为_________ 三、解答题 y C 4 如图,在函数 y=lgx 的图象上有 A、B、C 三点, B 它们的横坐标分别为 m,m+2,m+4(m>1) A (1)若△ABC 面积为 S,求 S=f(m); o (2)判断 S=f(m)的增减性
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3 |x|在 x∈[-1,1]的图象上有 2 3 两点 A、B,AB∥Ox 轴,点 M(1,m)(m∈R 且 m> )是△ 2
5
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如图,函数 y=

y C M

A B ABC 的 BC 边的中点 (1)写出用 B 点横坐标 t 表示△ABC 面积 S 的函数解析 式 S=f(t); t -t o (2)求函数 S=f(t)的最大值,并求出相应的 C 点坐标 2 6 已知函数 f(x)是 y= x -1(x∈R)的反函数,函数 g(x)的图象与 10 ? 1
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函数 y=-

1 的图象关于 y 轴对称,设 F(x)=f(x)+g(x) x?2

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(1)求函数 F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A、B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直?若存在,求出 A、B 的坐标;若不存在,说明理由
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已知函数 f1(x)= 1 ? x 2 ,f2(x)=x+2,
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? f1 ( x ), (1)设 y=f(x)= ? ?3 ? f 2 ( x ),

x ? [?1,0) x ? [0,1]

,试画出 y=f(x)的图象并求 y=f(x)

的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积; (2)若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数 a 的范围 (3)若 f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1, 8
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1 ] ,求 b 的值 2

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设函数 f(x)=x+
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1 的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2, x

C2 对应的函数为 g(x) (1)求 g(x)的解析表达式; (2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点坐标;
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(3)解不等式 logag(x)<loga 9 (0<a<1)

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2

参考答案 1 解析 ∵y=bax=(ba)x,∴这是以 ba 为底的指数函数 仔细观察题目 中的直线方程可知 在选择支 B 中 a>0,b>1,∴ba>1,C 中 a<0,b>1,∴0<ba <1,D 中 a<0,0<b<1,∴ba>1 故选择支 B、C、D 均与指数函数 y=(ba)x 的 图象不符合 答案 A 2 解析 由题意可知,当 x=0 时,y 最大,所以排除 A、C 又一开 始跑步,所以直线随着 x 的增大而急剧下降 答案 D 3 解析 g(x)=2log2(x+2)(x>-2) F(x)=f(x)-g(x)=log2(x+1)-2log2(x+2)
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=log2

x ?1 x ?1 1 ? log2 2 ? log2 2 2 ( x ? 2) x ? 4x ? 4 x ? 4x ? 4 x ?1 1 ? log2 ( x ? ?1) 1 x ?1? ?2 x ?1
1 2 ( x ? 1) ? 1 ?2 x ?1
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∵x+1>0,∴F(x)≤ log2

? log2

1 =-2 4

当且仅当 x+1=

1 ,即 x=0 时取等号 x ?1
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∴F(x)max=F(0)=-2
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答案 -2 4 解 (1)S△ABC=S 梯形 AA′B′B+S 梯形 BB′C′C-S 梯形 AA′C′C (2)S=f(m)为减函数
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(1)依题意,设 B(t,

3 3 t),A(-t, t)(t>0),C(x0,y0) 2 2

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∵M 是 BC 的中点

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3 t ? y0 t ? x0 ∴ =1, 2 =m 2 2

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∴x0=2-t,y0=2m-

3 t 2

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在△ABC 中,|AB|=2t,AB 边上的高 hAB=y0- ∴S=

3 t=2m-3t 2

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1 1 |AB|·hAB= ·2t·(2m-3t),即 f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1) 2 2 m ? 2 ?0 ? 3 ? 1 m m ? (2)∵S=-3t2+2mt=-3(t- )2+ ,t∈(0,1 ] ,若 ? , 3 3 ?m ? 3 ? 2 ? 3 即 <m≤3, 2 m2 m m 3 当 t= 时,Smax= ,相应的 C 点坐标是(2- , m), 3 3 3 2 m 若 >1,即 m>3 S=f(t)?在区间(0,1]上是增函数, 3
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∴Smax=f(1)=2m-3,相应的 C 点坐标是(1,2m-3) 2 1? x 6 解 (1)y= x -1 的反函数为 f(x)=lg (-1<x<1 ) 10 ? 1 1? x
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1? x 1 1 ,∴F(x)=lg + ,定义域为(-1,1) 1? x x ? 2 x?2 1? x 2 (2)用定义可证明函数 u= =-1+ 是(-1,1)上的减函数,且 1? x x ?1
由已知得 g(x)=
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y=lgu 是增函数 ∴f(x)是(-1,1)上的减函数,故不存在符合条件的点 A、B
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? 1 ? x 2 , x ? [ ?1,0) ? (1)y=f(x)= ? 的图像 ?? x ? 1, x ? [0,1] ?

y 1

如图所示 y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体是由一
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-1

o
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1
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x
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个半径为 1 的半球及底面半径和高均为 1 的圆锥体组成, 其表面积为(2+ 2 )π
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(2)当 f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时,a 的取值范围为 2- 2 <a≤1 (3)若 f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1, 8
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5? 3 1 ] ,则可解得 b= 2 2

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(1)g(x)=x-2+

1 x?4

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(2)b=4 时,交点为(5,4);b=0 时,交点为(3,0) (3)不等式的解集为{x|4<x<

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9 或 x>6 } 2

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课前后备注

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高三数学第二轮专题讲座复习:函数图象及图象性质的应用
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