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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.5.3 定积分的概念 课时作业]


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课时提升作业(十)
定积分的概念

一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1.(2014·广州高二检测)关于定积分 m= A.被积函数为 y=- x B.被积函数为 y=C.被积函数为

y=- x+C, D.被积函数为 y=- x3 【解析】选 B.由定积分的定义知,被积函数为 y=- . 2.定积分 A.[-2,2] C.[-2,0] f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( B.[0,2] D.不确定 f(x)dx 的积分区间是[-2,2]. ) ) dx,下列说法正确的是( )

【解析】选 A.由定积分的概念得定积分 3.设 f(x)= A. C. x2dx x2dx+ 2xdx 则 f(x)dx 的值是( B. D. 2xdx 2xdx+

x2dx

【解析】选 D.因为 f(x)在不同区间上的解析式不同,所以积分区间应该与对应 的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为 D.

4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( A. B. C. D. [mf(x)+ng(x)]dx=m [f(x)+1]dx= f(x)g(x)dx= sinxdx= f(x)dx+n g(x)dx

)

f(x)dx+b-a f(x)dx· sinxdx+ g(x)dx sinxdx

【解析】选 C.由定积分的性质知选项 A,B,D 正确. 【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时,要特别注意积分区间及被积函 数的符号. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(2014·长春高二检测)定积分 【解析】 (-3)dx=__________.

3dx 表示图中阴影部分的面积 S=3×2=6, 3dx=-6.

(-3)dx=-

答案:-6 6.计算: (1-cosx)dx=________.

【解题指南】根据定积分的几何意义,运用余弦曲线的对称性计算,或通过补 形转化为矩形的面积计算. 【解析】根据定积分的几何意义,得 1dx=2π,

cosxdx= = cosxdx-

cosxdx+ cosxdx-

cosxdx+ cosxdx+ 1dx-

cosxdx+

cosxdx

cosxdx=0,

所以

(1-cosx)dx=

cosxdx=2π-0=2π.

答案:2π 【一题多解】在公共积分区间[0,2π]上, (1-cosx)dx 表示直线 y=1 与余

弦曲线 y=cosx 在[0,2π]上围成封闭图形的面积,如图,由于余弦曲线 y=cosx 在[0,π]上关于点 中心对称,在 上关于点 中心对称,所以

区域①与②的面积相等,所求平面图形的面积等于边长分别为 1,2π的矩形的 面积,其值为 2π.所以 (1-cosx)dx=2π.

答案:2π 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.(2014·济南高二检测)已知 求:(1) (3) 3x3dx.(2) 6x2dx. x3dx= , x3dx= , x2dx= , x2dx= ,

(3x2-2x3)dx. 3x3dx=3 x3dx

【解析】(1) =3 =3 =12.

(2) =6 (3)

6x2dx=6 =126.

x2dx=6(

x2dx+

x2dx)

(3x2-2x3)dx=3

x2dx-2

x3dx

=3× -2× =- . 8.求定积分 【解析】 ( ( -x)dx 的值. -x)dx 表示圆(x-1)2+y2=1(y≥

0)的一部分与直线 y=x 所围成的图形(图中阴影部分)的 面积,故原式= ×π×12- ×1×1= - . 【拓展延伸】 1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤 (1)确定被积函数和积分区间. (2)准确画出图形. (3)求出各部分的面积. (4) 写 出 定 积 分 , 注 意 当 f(x) ≥ 0 时 , S= S=f(x)dx. f(x)dx , 而 当 f(x) ≤ 0 时 ,

2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点 准确理解其几何意义, 同时要合理利用函数的奇偶性、 对称性来解决问题.另外, 要注意结合图形的直观辅助作用.

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.(2014·黄冈高二检测)设曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭区域的面积为 S, 则下列等式成立的是( )

A.S= C.S=

(x2-x)dx (y2-y)dy

B.S= D.S=

(x-x2)dx (y)dy

【解析】选 B.将曲线方程 y=x2 与直线方程 y=x 联立方程组,解得 x=0 或 x=1, 结合图形可得 B 正确. 2.如图所示,图中曲线方程为 y=x2-1,用定积分表示围成封闭图形(阴影部分) 的面积是( )

A. B. C. D. (x2-1)dx |x2-1|dx (x2-1)dx+ (x2-1)dx

【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出. 【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得:图中围成封闭图形(阴影部分) 的面积 S= (1-x2)dx+ (x2-1)dx= |x2-1|dx,故选 C. (x-1)dx=__________.

【举一反三】将本题中的函数改为 f(x)=x-1,则

【解析】直线 y=x-1,与 x=0,x=1.y=0 围成的图形为三角形,面积为 S= ×1× 1= . 由定积分的几何意义得 答案:(x-1)dx=- .

3.(2013·天津高二检测)曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形面积用定积分 可表示为( A. C. ) dx dx B. D. dx dx xdxdx= dx.

【解析】 选 A.如图所示, 阴影部分的面积可表示为

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.(2014·深圳高二检测)定积分 【解析】根据定积分的几何意义 y=2014 围成的图形的面积, 故 2014dx=2014×(2015-2014)=2014. 2014dx=__________. 2014dx 表示直线 x=2014,x=2015,y=0,

答案:2014 5.定积分 (2+ )dx=________. 2dx, dx.再由性

【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出 质求和. 【解析】原式= 因为 2dx=2, dx= , 所以 (2+ )dx=2+ . 2dx+ dx.

答案:2+ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值: (1) xdx.(2) cosxdx.(3) |x|dx.

【解析】(1)如图(1), (2)如图(2),

xdx=-A1+A1=0.

cosxdx=A1-A2+A3=0. |x|dx=2A1=2× =1.

(3)如图(3),因为 A1=A2,所以

(A1,A2,A3 分别表示图中相应各处面积)

【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点 (1)关键是准确确定被积函数的图象,以及积分区间. (2)正确利用相关的几何知识求面积. (3)不规则的图形常用分割法求面积,注意分割点的准确确定. 7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示,求汽车在这一分钟内行驶的路程.

【解析】依题意,汽车的速度 v 与时间 t 的函数关系式为

v(t)= 所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s= = v(t)dt tdt+ (50-t)dt+ 10dt

=300+400+200=900(米).

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