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北京市西城区(北区)2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题


北京市西城区(北区)2012-2013 学年下学期高二期末考试 数学试卷(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. i 是虚数单位,若复数 z 满足 z ?2 ? i ? ? 7 ? i ,则 z 等于 A. 1?

3i B. 1? 3i C. 3 ? i D. 3 ? i

2. 甲骑自行车从 A 地到 B 地,途中要经过 4 个十字路口,已知甲在每个十字路口遇到红 灯的概率都是

1 , 且在每个路口是否遇到红灯相互独立, 那么甲在前两个十字路口都没有遇 3 4 9 4 27 1 27

到红灯,直到第 3 个路口才首次遇到红灯的概率是 A.

1 3
?1

B.

C.

D.

3. 函数 f ?x ? ? x 的图象在点(2, f ?2 ? )处的切线方程是 A. x ? 4 y ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 4 y ? 2 ? 0 D. x ? 4 y ? 4 ? 0

4. 从 0,1,2,3,4 中随机选两个不同的数字组成一个两位数,其中偶数有 A. 9 个
3

B. 10 个
2

C. 11 个

D. 12 个

5. 设函数 f ?x ? ? ax ? bx ? cx ? 2 的导函数为 f ?? x ? ,若 f ?? x ? 为奇函数,则有 A. a ? 0 , c ? 0 C. a ? 0, c ? 0 B. b ? 0 D. a ? c ? 0
2 2

6. 已知一个二次函数的图象如图所示,那么它与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于

1

A.

5 4
3 7
? ?

B.

? 2
3 14

C.

4 3
1 28

D.

3 2
1 56

7. 将 4 名男生和 4 名女生随机地排成一行,那么有且只有 2 名男生相邻的概率是 A. B. C. D.

8. 已知函数 f ? x ? ? ?1 ?

a? x ?e ,若同时满足条件: x?

① ?x0 ? ?0, ? ? ? , x 0 为 f ? x ? 的一个极大值点; ② ? x ? ?8, ? ? ? , f ?x ? ? 0 。 则实数 a 的取值范围是 A. (4, 8] C. ?? ?, 0? ? [8, ? ?) B. [8, ? ?) D. ?? ?, 0? ? (4, 8]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。

? 1 ? ? 的二项展开式中的常数项为__________。 9. ? 2 x ? (用数字作答) ? ? x? ?
10. 如果函数 f ?x ? ? cos x ,那么 f ?

6

?? ? ?? ? ? ? f ?? ? ? __________。 ?6? ?6?

11. 已知某随机变量 X 的分布列如下( p, q ? R ) : X P 且 X 的数学期望 E ? X ? ? 12. 已 知 函 数 y ? 1 -1

p

q

1 ,那么 X 的方差 D(X)=__________。 2

x 的图象在 x ? 0 和 x ? 3 处的切线互相平行,则实数 x ?a
2

a ? __________。
13. 有 5 名男医生和 3 名女医生,现要从中选 6 名医生组成 2 个地震医疗小组,要求每个 小组有 2 名男医生和 1 名女医生,那么有__________种不同的组队方法。 (用数字作答) 14. 设函数 f n ? x ? ? x ? x ? 1 ,其中 n ? N * ,且 n ? 2 ,给出下列三个结论:
n

①函数 f 3 ? x ? 在区间(

1 , 1 )内不存在零点; 2
2

②函数 f 4 ? x ? 在区间(

1 , 1 )内存在唯一零点; 2 1 ③设 x n ?n ? 4? 为函数 f n ? x ? 在区间( , 1 )内的零点,则 x n ? x n ?1 。 2
其中所有正确结论的序号为__________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 甲、乙两人练习投篮,每次投篮命中的概率分别为 相互之间没有影响。 (I)如果甲、乙两人各投篮 1 次,求两人投篮都没有命中的概率; (II)如果甲投篮 3 次,求甲至多有 1 次投篮命中的概率。 16. (本小题满分 13 分) 设函数 f ?x ? ?

1 1 , ,设每人每次投篮是否命中 3 2

2x 1 ,且 a1 ? , a n ?1 ? f ?a n ? ,其中 n ? 1,2,3,…。 x ?1 2

(I)计算 a 2 , a3 , a 4 的值; (II)猜想数列 ?a n ?的通项公式,并用数字归纳法加以证明。 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? e
2 x ?1

? 2x 。

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)设 b ? R ,求函数 f ? x ? 在区间 ?b, b ? 1? 上的最小值。 18. (本小题满分 13 分) 箱中装有 4 个白球和 m?m ? N *? 个黑球。规定取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分,现从箱中任取 3 个球,假设每个球被取出的可能性都相等。记随机变量 X 为取出的 3 个球所得分数之和。 (I)若 P? X ? 6? ?

2 ,求 m 的值; 5

(II)当 m ? 3 时,求 X 的分布列和数字期望 E(X) 。 19. (本小题满分 14 分) 请先阅读:
3

设平面向量 a ? ?a1 , a2 ?, b ? ?b1 , b2 ? ,且 a 与 b 的夹角为 ? , 因为 a ? b ?| a || b | cos? , 所以 a ? b ?| a || b | 。 即 a1b1 ? a 2 b2 ?
2 2 a12 ? a 2 ? b12 ? b2 ,

当且仅当 ? ? 0 时,等号成立。 (I)利用上述想法(或其他方法) ,结合空间向量,证明:对于任意 a1 , a 2 , a3 , b1 ,
2 2 2 b2 , b3 ? R ,都有 ?a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? ?a12 ? a 2 ? a3 ??b12 ? b2 ? b32 ? 成立; 2

(II)试求函数 y ?

x ? 2 x ? 2 ? 8 ? 3x 的最大值。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ?

1 2 1 x ? f ??2?x , g ?x ? ? ln x ? x 2 。 2 2

(I)求函数 f ? x ? 的解析式; (II)若对于任意 x ? ?0, ? ? ? ,都有 f ?x ? ? g ?x ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围; (III)设 x1 , x 2 ? 0 , a1 , a 2 ? ?0, 1? ,且 a1 ? a 2 ? 1 ,求证: x1 1 x 2 2 ? a1 x1 ? a 2 x 2 。
a a

4

【试题答案】
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 8. A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

9. 160

10.

3 ?1 2

11.

3 4

12. -1

13. 90

14. ②③

注:第 14 题多选、少选均不得分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 (如有其他方法,仿此给分) 15. (本小题满分 13 分) (I)解:记“甲、乙两人各投篮 1 次,且都没有命中”为事件 A。 分) (1 因为甲每次投篮命中的概率为

1 , 3

1 2 (2 ? 。 分) 3 3 1 1 同理,乙投篮一次且没有命中的概率为 1 ? ? 。 分) (3 2 2
所以甲投篮一次且没有命中的概率为 1 ? 所以 P? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 ?? 。 2? 3

答:甲、乙两人各投篮 1 次,且都没有命中的概率为

1 。 分) (6 3

(II)解:记“甲投篮 3 次,且至多有 1 次投篮命中”为事件 B。 分) (7 因为甲每次投篮命中的概率为

1 , 3
0

所以甲投篮 3 次,且都没命中的概率为 C 3 ? ?1 ? ? ?

? ?

1? 3?

3

8 , 分) (9 27
2

1 ? 1? 4 甲投篮 3 次,且恰有 1 次投篮命中的概率为 C ? ? ?1 ? ? ? (11 分) 3 ? 3? 9
1 3

所以 P?B ? ?

8 4 20 。 ? ? 27 9 27 20 。 (13 分) 27

答:甲投篮 3 次,且至多有 1 次投篮命中的概率为 16. (本小题满分 13 分)

5

(I)解:由题意,得 a n ?1 ? 因为 a1 ?

2a n , 分) (1 an ? 1

1 , 2 2 4 8 所以 a 2 ? , a3 ? , a 4 ? 。 分) (3 3 5 9
(II)解:由 a1 , a 2 , a3 , a 4 ,猜想 a n ?

2 n ?1 (5 分) 2 n ?1 ? 1 2 n ?1 2 n ?1 ? 1

以下用数字归纳法证明:对任何的 n ? N * , a n ? 证明:①当 n ? 1时,由已知,左边 ?

1 1 1 ,右边 ? (7 ? ,所以等式成立。 分) 1?1 2 2
2 k ?1 , 分) (8 2 k ?1 ? 1

②假设当 n ? k ?k ? N *? 时等式成立,即 a k ?

则 n ? k ? 1时, a k ?1

2 k ?1 2 ? k ?1 2a k 2k 2k 2 ?1 ? 。 ? ? ? k k ?1 k ?1 k ?1 ak ? 1 2 2 ? 2 ?1 2 ?1 ?1 2 k ?1 ? 1

所以当 n ? k ? 1时,猜想也成立。 (12 分) 根据①和②,可知猜想对于任何 n ? N * 都成立。 (13 分) 17. (本小题满分 13 分) (I)解:因为 f ??x ? ? 2e 令 f ??x ? ? 0 ,解得 x ?
2 x ?1

? 2 。 分) (2

1 。 分) (3 2

当 x 变化时, f ? x ? 与 f ?? x ? 的变化情况如下表:

x
f ??x ? f ?x ?

1? ? ? ? ?, ? 2? ?


1 2
0 极小值

?1 ? ? , ? ?? ?2 ?


(5 分) 所以函数 f ? x ? 在( ? ?,

1 ?1 ? )上单调递减,在 ? , ? ? ? 上单调递增。 分) (6 2 ?2 ?
6

(II)解:当 b ? 1 ?

1 时, 2

因为函数 f ? x ? 在( b, b ? 1 )上单调递减, 所以当 x ? b ? 1 时,函数 f ? x ? 有最小值 f ?b ? 1? ? e 当b ?
2b ?1

(8 ? 2b ? 2 。 分)

1 ? b ? 1 时, 2
? ? 1? ?1 ? ? 上单调递减,在 ? , b ? 1? 上单调递增, 2? ?2 ?

因为函数 f ? x ? 在 ? b,

所以当 x ? 当b ?

1 ?1? 时,函数 f ? x ? 有最小值 f ? ? ? 0 。 (10 分) 2 ?2?

1 时, 2

因为函数 f ? x ? 在( b, b ? 1 )上单调递增, 所以当 x ? b 时,函数 f ? x ? 有最小值 f ?b ? ? e 综上,当 b ? ? 当?
2 b ?1

? 2b 。 (12 分)

1 2b ?1 ? 2b ? 2 ; 时,函数 f ? x ? 在 ?b, b ? 1? 上的最小值为 f ?b ? 1? ? e 2

1 1 ?1? ; ? b ? 时,函数 f ? x ? 在 ?b, b ? 1? 上的最小值为 f ? ? ? 0 ; 2 2 ?2?
1 2 b ?1 ? 2b 。 时,函数 f ? x ? 在 ?b, b ? 1? 上的最小值为 f ?b ? ? e (13 分) 2

当b ?

18. (本小题满分 13 分) (I)解:由题意,得取出的 3 个球都是白球时,随机变量 X ? 6 。 分) (1 所以 P? X ? 6 ? ? 即 C m? 4 ? 10 ,
3

3 C4 2 ? , 分) (3 3 C m?4 5

解得 m ? 1 。 分) (5 (II)解:由题意,得 X 的可能取值为 3,4,5,6。 分) (6 则 P ? X ? 3? ?
3 C3 1 ? , 3 C 7 35

P? X ? 4? ?

1 C 32 C 4 12 ? , 3 35 C7

7

P ? X ? 5? ?

1 2 C 3 C 4 18 ? 。 3 35 C7

3 C4 4 P? X ? 6? ? 3 ? 。 (10 分) C 7 35

X 的分布列为: X P 3 4 5 6

1 35

12 35

18 35

4 35
(11 分)

所以 E ? X ? ? 3 ?

1 12 18 4 33 。 (13 分) ? 4? ? 5? ? 6? ? 35 35 35 35 7

19. (本小题满分 14 分) (I)证明:设空间向量 a ? ?a1 , a 2 , a3 ?, b ? ?b1 , b2 , b3 ? ,且 a 与 b 的夹角为 ? , 因为 a ? b ?| a | ? | b | cos? , 所以 a ? b ?| a | ? | b | , 分) (3 即 a1b1 ? a 2 b2 ? a3 b3 ?
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32 (6 分)

所以 ?a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? a1 ? a 2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 ,
2 2 2 2 2 2 2

?

??

?

当且仅当 ? ? 0 时,等号成立。 分) (7 (II)解;设空间向量 a ? ?1, 1, 1? , b ? 为 ? , 分) (9 因为 y ? 所以 y ? 即y?

?

x,

2x ? 2,

8 ? 3x ,且 a 与 b 的夹角

?

x ? 2 x ? 2 ? 8 ? 3x ? a ? b ,
x ? 2 x ? 2 ? 8 ? 3x ? 12 ? 12 ? 12 ? x ? ?2 x ? 2 ? ? ?8 ? 3x ? ,

3? 6 ?3 2, (12 分)

当且仅当 ? ? 0 (即 a 与 b 共线,且方向相同)时,等号成立。 所以当 x ?

2 x ? 2 ? 8 ? 3x 时, x ? 2 时, 即 函数 y ? x ? 2 x ? 2 ? 8 ? 3x 有

最大值 y max ? 3 2 。 (14 分) 20. (本小题满分 14 分)

8

(I)解:因为 f ?x ? ?

1 2 x ? f ??2?x , 2

所以 f ??x ? ? x ? f ??2? 。 分) (2 令 x ? 2 ,得 f ??2? ? 1 , 所以 f ?x ? ?

1 2 x ? x。 2

(II)解:设 F ? x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ? ln x ? x , 则 F ? ?x ? ?

1 (5 ? 1 , 分) x

令 F ??x ? ? 0 ,解得 x ? 1。 分) (6 当 x 变化时, F ? x ? 与 F?? x ? 的变化情况如下表:

x
f ??x ? f ?x ?

(0,1) +

1 0 极小值

?1,

? ??


所以当 x ? 1时, F ?x ?max ? F ?1? ? ?1 。 分) (8 因为对于任意 x ? ?0, ? ? ? ,都有 f ?x ? ? g ?x ? ? a 成立, 所以 a ? ?1 。 分) (9 (III)证明:由(II) ,得 F ?x ? ? ln x ? x ? ?1 ,即 ln x ? x ? 1 , 令x ?

x1 x1 x1 ? ?1, ,得 ln a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2 x2 x2 x2 ? ?1, ,得 ln (11 分) a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2

令x ? 所以

a1 ln

? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ? a 2 ln ? a1 ? ? 1? ? a 2 ? ? 1? ?a x ?a x ? ?a x ?a x ? a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2 2 2 2 2 ? 1 1 ? ? 1 1 ?

因为 a1 ? a 2 ? 1 , 所以 a1 ln

x1 x2 ? a 2 ln ? 1 ? a1 ? a 2 ? 0 , (13 分) a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2
9

所以 a1 ln x1 ? a1 ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? ? a2 ln x2 ? a2 ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? ? 0 , 即 a1 ln x1 ? a2 ln x2 ? ?a1 ? a2 ? ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? ? ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? , 所以 ln x1 1 ? x 2 2 ? ln ?a1 x`1 ? a 2 x 2 ? ,
a a

?

?

所以 x1 1 ? x2 2 ? a1 x1 ? a 2 x2 (14 分)
a a

10


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