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参考答案与评分标准2012年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题


2012 年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题 参考答案与评分标准

说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种 解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力 比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度,可视

影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过 该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、

选择题:每小题 6 分,满分 24 分

题号 答案

1 D

2 D

3 A

4 B

二、 题 号 答 案

填空题每小题 6 分,满分 36 分。 5 6
1 4

7 1 16

8

9

10

20

?



(-∞,-2)∪[4,+∞)

4

(2, 4)

4.[解析] 基本事件的总数为 6× 6=36. ∵三角形的一边长为 5, ∴当 a=1 时,b=5 符合题意,有 1 种情况;

当 a=2 时,b=5 符合题意,有 1 种情况; 当 a=3 时,b=3 或 5 符合题意,即有 2 种情况; 当 a=4 时,b=4 或 5 符合题意,有 2 种情况; 当 a=5 时,b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意,即有 6 种情况; 当 a=6 时,b=5 或 6 符合题意,即有 2 种情况. 故满足条件的不同情况共有 14 种,所求概率为

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P= = .( B

14 36

7 18



2 2 2 tanx-tan3x tanx?1-tan2x? tanx 1-tan x sinxcosx cos x-sin x 7. [解析] y= 2 4 = 2 2 = 2 · 2 = 2 2 · 2 1+2tan x+tan x ?1+tan x? 1+tan x 1+tan x cos x+sin x cos x+sin2x

1 1 = sin2x· cos2x= sin4x, 2 4 所以最大与最小值的积为- 1 . 16

8.解:直线 y+2=k(x+1)表示过(-1,-2)的直线, 根据约束条件画出可行域如图: 平面区域是一个三角形,就是图中阴影部分, 所以 k∈(-∞,-2)∪[4,+∞) 故答案为: (-∞,-2)∪[4,+∞) 9.
1 7 a 1 [1 ? ( 2 ) ]
n

Tn ?

1?

?

a 1 [1 ? ( 2 ) 1?
n

2n

] ? 1 1? 2 ? ( 2)
2n

2 a1 ( 2 )

2

? 17( 2 ) ? 16
n

( 2)

n

?

1 1? 2

? [( 2 ) ?
n

16 ( 2)
n

? 1 7 ] 因为 ( 2 ) ?
n

16 ( 2)
n

≧8,当且仅当 ( 2 ) =4,即 n=4 时取等
n

号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 10.解:椭圆 的半焦距 c=4.

要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率, 即 <tan60° = ∴ 又 a<c=4 <a, , 即 b< a ∴a>2,

整理得 c<2a

则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)

三、解答题:满分 90 分。 11. (本小题满分 15 分) 已知向量 m= ? 3 s in
? ? x ? ? 2 x ? ,1 ? ,n= ? c o s , c o s ? 4 4? 4 ? ? x

(1)若 m· n=1,求 cos ?

? 2?

? ? x ? 的值; ? 3 ?

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cos B= bcos C,求函数 f(A)的取值范围.

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解:(1)∵m· n= 3sin 又∵m· n=1, ∴sin ?
? x ?2 ?

x x x 3 x 1 x 1 ? x ? ? 1 cos +cos2 = sin + cos + =sin ? ? ? + , 4 4 4 2 2 2 2 2 2 6 ? ?2 ……………………………………………………………………2 分 ……………………………………3 分
2

? ? 1

?= . 6 ? 2

? ? 1 ?1 ? ? ? x ? ? 又∵co ? x ? ? s=1-2sin2 ? ? ? =1-2×? ? = , 2 3 ? 6 ? ? 2? ? ?2

∴cos ?

? ? ?? ? ? 1 ? ? ? ? x ? =cos ? ? ? ? x ? ? ? =-cos ? x ? ? =-2. 3 ?? 3 ? ? ? 3 ? ? ?
? 2?

…………………5 分

(2)由(2a-c)cos B=bcos C 及正弦定理得 (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,且 A ? ? 0, ? ,
? 2? ? π?

…………………………6 分

∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin(B+C).且 A ? ? 0, ? ,
? 2? ? π?

…………………………8 分

在△ABC 中,A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,且 sin A≠0, 1 π ? π? ∴2sin Acos B=sin A,cos B= ,B= ,且 A ? ? 0, ? ,………………………………10 分 2 3 ? 2? 2π π A π π ∴0<A< ,∴ < + < , 3 6 2 6 2 1 ? A ? ? ? π? <sin ? ? ? <1. 且 A ? ? 0, ? , 2 6 ? ? 2? ? 2 又∵f(x)=m· n=sin ?
? A ? 2 ? ? x ?2 ?

……………………………12 分

? ?

?+ , 6 ? 2

1

∴f(A)=sin ?

? ?

1 ? π? ? +2,且 A ? ? 0, ? , 6 ? ? 2?
? ? 3? ?. 2?

………………………………14 分

∴函数 f(A)的取值范围是 ? 1,

…………………………………15 分

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12. (本小题满分 15 分) 三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的直观图及三视图(主视图和 俯视图是正方形,左侧图是等腰直角三角形)如图,
D 为 A C 的中点.

(1)求证: AB 1 // 平面 BDC 1 ; (2)求证: A1 C ? 平面 BDC 1 ; (3)求二面角 A ? B C 1 ? D 的正切值.
A1

A

解:由三视图可知,几何体为直三棱柱 ABC — A1 B 1 C 1 ,侧面
B 1 C 1 CB 为边长为 2 的正方形, 底面 ABC 是等腰直角三角形,
AB ? BC , AB ? BC ? 2

D

………2 分

C1

(1)连 BC 交 B 1 C 于 O,连接 OD,在 ? CAB 1 中,O,D 分 别是 B 1 C ,AC 的中点,? OD // AB 1 而 AB 1 ? 平面 BDC 1 , OD ? 平面 BDC 1 ,
? AB 1 // 平面 BDC
1

B 1 A1
A1 A1

A1

B1

B

C A

A1

D B

………………..4分

C1

O C

(2) 直三棱柱 ABC — A1 B 1 C 1 中,AA 1 ? 平面 ABC ,BD ? 平面 ABC ,
? AA 1 ? BD ,? AB ? BC ? 2 ,D 为 AC 的中点,? BD ? AC ,
? BD ? 平面 AA 1 C 1 C ,? BD ? A1 C ①………………..6 分

又 A1 B 1 ? B 1 C 1 , A1 B 1 ? B 1 B ,? A1 B 1 ? 平面 B 1 C 1 CB ,? A1 B 1 ? BC 1 在正方形
B 1 C 1 CB 中 BC
1

? B 1 C , 又 B 1 C , A1 B 1 ? 平面 A1 B 1 C ? 平面 A1 B 1 C ,? BC ? A1 C ②………………..8分

B 1 C ? A1 B 1 ? B 1 ,? BC

1

1

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由①②,又 BD ? BC 1 ? B , BD , BC 1 ? 平面 BDC 1 ,
? A1 C ? 平面 BDC
1

……………………………………………………………10 分 ……………..11 分

(3)解法一;提示:所求二面角与二面角 C- B C 1 -D 互余 取 BC 中点 H, DH⊥平面 B C C 1 , H 作 B C 1 垂线, 有 过 垂足为 E,
D H ? 平 面 B C C1 ? ?? B C1 ? 平 面 B C C1 ? ? D E ? B C1 ? B C1 ? 平 面 E D H ? ? E H ? B C1 ? ? ? DE ? 平 面 EDH ? ? DH ? EH ? H ? D H ? B C1

A1

A

B1

D E B H C

所以二面角 C- B C 1 -D 的平面角是∠DEH…………………13 分
C1
? DH ? 1 EH ? 2 2 ? ta n ? D E H ? DH EH 2 2 ? 2 ,因为二面角

A- B C 1 -D 与二面角 C- B C 1 -D 互余,所以二面角 A- B C 1 -D 的正切值为 解法二(补形)如图补成正方体,易得∠O1OS 为二面角的平面角,
O 1O ? 2 , O 1 S ? 2 , ? ta n ? O 1 O S ? 2 2

;………..15 分

……………..15 分
???? ????

解法三(空间向量法)以 B 1 为原点建系,易得 C B1 ? ( ? 2 , 2 , 0 ), B D ? (1, 0 ,1) 设平面 B C 1 D 的法向量 n1 ? ( x , y , z ), 由 n1 ? C B1 , n1 ? B D 得?
? ??2 x ? 2 y ? 0 x? z ? 0

??

??

???? ??

????

令 x ? 1 得 n1 ? (1,1, ? 1), …………..12 分
?? ? ????
S1

??

A1
O1

A S
B1

又平面 B C 1 A 的法向量 n 2 ? B1 C ? ( 2, 2, 0 ), 设二面角 A- B C 1 -D 的平面角为 ?
?? ?? ? 所以 c o s ? ? c o s ? n1 , n 2 ? ? 6 3

…………..14 分 O
2 2

D B

, ? ta n ? ?

C1

C

…………..15 分

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13. (本小题满分 20 分) 如图, 曲线 C 1 是以原点 O 为中心、F1 , F 2 为焦点的椭圆的 一部分,曲线 C 2 是以 O 为顶点、 F 2 为焦点的抛物线的一 部分,A 是曲线 C 1 和 C 2 的交点且 ? A F 2 F1 为钝角,若
A F1 ? 7 2

, A F2 ?

5 2



(Ⅰ)求曲线 C 1 和 C 2 的方程; (Ⅱ)过 F 2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲 线 C 1、 C 2 依次交于 B、C、D、E 四点,若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点,问 是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由。 解: (Ⅰ)设椭圆方程为
x a
2 2

B E ? G F2 C D ? H F2

?

y b

2 2

? 1 ,则 2 a ? AF 1 ? AF
7

2

?

7 2
2

?

5 2
2

? 6 ,得 a ? 3 …2 分

设 A ( x , y ), F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) ,则 ( x ? c ) ? y ? ( ) , ( x ? c ) ? y ? ( ) ,
2 2 2 2

5

2

2

两式相减得 xc ?

3 2


5 2

………………………………4 分 , ……………6 分

由抛物线定义可知 AF 2 ? x ? c ? 则 c ? 1, x ?
3 2

或 x ? 1, c ?
x
2

3 2

(舍去)

所以椭圆方程为

?

y

2

? 1 ,抛物线方程为 y

2

? 4x 。

………………………8 分

9

8

另解:过 F 1 作垂直于 x 轴的直线 x ? ? c ,即抛物线的准线,作 AH 垂直于该准线, 作 AM ? x 轴于 M ,则由抛物线的定义得 AF 2 ? AH , 所以 AM ?
2

AF 1

2

? F1 M
2

2

?

AF 1
2

2

? AH

2

?

AF 1

? AF 2

2

?

?7? ?5? ? ? ?? ? ?2? ?2?

?

6

F2 M ?

1 ?5? , ? ? ?6 ? 2 ?2?

2

………………4 分

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第 6 页 (共 10 页)

得 F1 F 2 ?
b
2

5 2
2

?

1 2

? 2 ,所以 c=1,

? a

2

?c

? 8

………………6 分
2

所以椭圆方程为

x

?

y

2

? 1,

9

8
2

抛物线方程为 y

? 4x 。

………………………………8 分
x
2

(Ⅱ)设 B ? x 1 , y 1 ?, E ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ), D ( x 4 , y 4 ) ,直线 y ? k ( x ? 1) ,代入
y k ? 1) ? 9 y
2 2

?

y

2

? 1 得:

9

8

8(

? 72 ? 0 ,即 ( 8 ? 9 k ) y
2

2

? 16 ky ? 64 k

2

? 0 ,…………………10 分

则 y1 ? y 2 ? ?

16 k 8 ? 9k
2

, y1 y 2 ? ?

64 k

2 2

8 ? 9k

……………………………………………12 分

同理,将 y ? k ( x ? 1) 代入 y 则 y3 ? y4 ?
4 k

2

? 4 x 得: ky

2

? 4 y ? 4k ? 0 ,

, y3 y 4 ? ?4 ,
1

………………………………………………………14 分
| y3 ? y4 | ? | y1 ? y 2 |

所以

BE ? GF 2 CD ? HF 2

? 2 = | y3 ? y4 | 1 2

| y1 ? y 2 |

( y1 ? y 2 ) ( y1 ? y 2 )

2 2

?

( y3 ? y4 ) ( y3 ? y4 )

2 2

(16 k ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2
2

2 2 2

( y1 ? y 2 )

2

?

( y3 ? y4 )
2

2

( y3 ? y4 ) ? 4 y3 y4

?

(8 ? 9 k )

?

4 ? 64 k 8 ? 9k
2 2 2

2 2

?

?4? ? ? ?k ?
2

2

? 3

(16 k )

(8 ? 9 k )

?4? ? ? ? 16 ?k ?

为定值。

……………………………………………………………………………20 分

14. (本小题满分 20 分) 已知函数 f ( x ) ? m x ?
m ?1 x ln x ( m ? R ), g ( x ) ? 1 x ? ln x .

(I)求 g ( x ) 的极小值; (II)若 y ? f ( x ) ? g ( x ) 在 [1, ? ? ) 上为单调增函数,求 m 的取值范围; ( III ) 设 h ( x )?
2e x 若在 , [ 1( ] 是 自 然 对 数 的 底 数 ) 上 至 少 存 在 一 个 e, e

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x 0 , 使 得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ? h ( x 0 ) 成立,求 m 的取值范围。

解: (Ⅰ)由题意, x ∴当 0 ?

? 0

, g ?( x ) ? ;当 x

?

1 x
2

?

1 x

?

x ?1 x
2

, ,…………3 分
? g (1) ? 1 .

x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0

?1

时, g ? ( x ) ?

0

所以, g ( x ) 在 (0 ,1) 上是减函数,在 (1, ? ? ) 上是增函数,故 g ( x ) 极 小 值
m x
∴[ f ( x ) ? g ( x )] ? ? mx ? 2x ? m
2

………5 分

(Ⅱ)

∵ f (x) ? g (x) ? mx ?

? 2 ln x

, …………6 分

x

2



由于

f ( x ) ? g ( x ) 在 [1, ? ? )
? 2x ? m ? 0

内为单调增函数, …………8 分 …………9 分 …………11 分 …………12 分
m x m x 2e x ? 2 ln x ? 2e x

所以 m x 2 即m 故m
?

在 [1, ? ? ) 上恒成立,

2x 1? x
2

在 [1, ? ? ) 上恒成立,
) m ax ? 1

? (

2x 1? x
2



所以 m 的取值范围是 [1, ? ? ) . (Ⅲ)构造函数 F ( x ) ?
f (x) ? g (x) ? h(x) ? mx ?

,…………………13 分

当m

? 0

时,由 x ? ?1, e ? 得, m x ?

? 0

, ? 2 ln

x?

? 0

, 分 ,

所以在 ?1, e ? 上不存在一个 x 0 ,使得 当m
2

f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ? h ( x 0 ) .…………………………15
m x ? 2 x ? m ? 2e
2

? 0

时, F ? ( x )

? m ?

m x
2

?

2 x

?

2e x
2

?

x

2

,因为 x ? ?1, e ? ,所以 2 e ? 2 x

? 0

mx ? m ? 0

,所以 F ?( x ) ? 0 在 [1, ? ? ) 上恒成立,故 F ( x ) 在 ?1, e ? 上单调递增,………17 分
m e ? ?4

F ( x ) m ax ? F ( e ) ? m e ? m e

,所以要在 ?1, e ? 上存在一个 x 0 ,使得 F ( x ) ?
4e

0

,必须且只需

me ?

?4 ? 0

,解得 m
4e

e ?1
2

, . .
m ?

…………………19 分 …………………20 分

故 m 的取值范围是 ( 另法:(Ⅲ)当 x
?1

e ?1
2

, ?? )

时,

f (1) ? g (1) ? h (1)

当 x ? (1, e ] 时,由 令 G (x) ?

f (x) ? g (x) ? h(x)

,得
2

2 e ? 2 x ln x x ?1
2
2

,…………………16 分
? 0

2 e ? 2 x ln x x ?1
2

,则 G ? ( x ) ?

( ? 2 x ? 2 ) ln x ? ( 2 x ? 4 e x ? 2 ) ( x ? 1)
2 2



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所以 G ( x ) 在 (1, e ] 上递减, G ( x ) m in

? G (e ) ?

4e e ?1
2

.…………………19 分

综上,要在 ?1, e ? 上存在一个 x 0 ,使得

f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ? h ( x 0 ) ,必须且只需 m ?

4e e ?1
2

……20 分

15. (本小题满分 20 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a 1
? 1 4

,a

n

?

a n ?1

? ? 1 ?n a n ?1 ? 2

(n ? 2, n ? N )



(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)设 b (Ⅲ)设 c
n

?

1 an
2

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n ; ,数列 ?c n ? 的前 n 项和为 T n .求证:对任意的 n ? N , T n
?

n

? a n sin

( 2 n ? 1) ? 2

?

4 7



(Ⅰ)?

1 an

? ( ? 1) ?
n

2 a n ?1

,?

1 an

? ( ? 1)

n

? ( ? 2 )[

1 a n ?1

? ( ? 1)

n ?1

] ,……………3 分

又?

? 1 n ? ? ? ? 1 ? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. ? ( ? 1 ) ? 3 ,? 数列 ? a1 ?an ?
1
1 an

? ( ? 1)

n

? 3( ? 2 )

n ?1

, 即an ?

( ? 1) 3?2

n ?1

n ?1

?1

.

…………………6 分

(Ⅱ) b n ? ( 3 ? 2

n ?1

? 1)

2

? 9?4

n ?1

? 6?2

n ?1

? 1.

…………………9 分

Sn ? 9 ?

1 ? (1 ? 4 )
n

1? 4

?6?

1 ? (1 ? 2 )
n

1? 2

? n ? 3?4

n

? 6?2

n

? n?9.

……………12 分

(Ⅲ)? sin

( 2 n ? 1) ? 2

? ( ? 1)

n ?1



? cn ?

( ? 1) 3( ? 2 )
n ?1

n ?1

? ( ? 1)
1 3?1 ?

n

?

1 3?2
1
n ?1

?1


1 3?2
n ?1

…………………15 分

当 n ? 3 时,则 T n ?

3?2 ?1

?

1 3?2
2

?1

?? ?

?1

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?

1 4

?

1 7

?

1 3?2
2

?

1 3?2
3

?

1 3?2
n ?1

?

11 28

?

1 12

[1 ? ( 1 ) 2 1?
1 2

n?2

]

?

11 28

?

1

1 n?2 11 1 47 48 4 [1 ? ( ) ]? ? ? ? ? . 6 2 28 6 84 84 7

…………………19 分

? T1 ? T 2 ? T 3 ,

? 对任意的 n ? N , T n ?

?

4 7



…………………20 分

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