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压缩感知概述


Introduction to Compressive Sensing 压缩感知概述

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2012-4-27

目录
背景现状 理论产生背景 研究现状 压缩感知描述 压缩传感 稀疏表示 测量矩阵 重构算法 模拟实验 整体流程 应用展望 应用举例 展望
2012-4-27

、背景现状

2012-4-27

1、背景现状

1.1 理论产生背景
原始图像
采样数据

数据传输
发的 压缩

采样
恢复图像

解压缩

通过显示器 显示图像

大部分冗余信息在采集后被丢弃 采样时造成很大的资源浪费 能否直接采集不被丢弃的信息?

1、背景现状

1.1 理论产生背景

被感知对象

压缩感知

重建信号

名词解释:压缩感知—直接感知压缩后的信息 基本方法:信号在某一个正交空间具有稀疏性(即可压
缩性),就能以较低的频率(远低于奈奎斯特采样频率) 采样该信号,并可能以高概率重建该信号。

1、背景现状

1.2 研究现状
2006《Robust Uncertainty Principles: Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information》 Terence Tao、Emmanuel Candès 2006《Compressed Sensing》David Donoho 2007《Compressive Sensing》Richard Baraniuk 上述文章奠定了压缩感知的理论基础。国内也将 其翻译成压缩传感或压缩采样。

1、背景现状

1.2 研究现状
理论一经提出,就在信息论、信号处理、图像处理等 领域受到高度关注。 在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国 家的知名大学(如麻省理工学院、斯坦福大学、普林斯 顿大学、莱斯大学、杜克大学、慕尼黑工业大学、爱 丁堡大学等等)成立了专门的课题组对CS进行研究。 此外,莱斯大学还建立了专门的CompressiveSensing 网站,及时报道和更新该方向的最新研 究成果。

1、背景现状

1.2 研究现状
西安电子科技大学石光明教授在《电子学报》发表综述 文章,系统地阐述了压缩传感的理论框架以及其中涉及到 的关键技术问题。燕山大学练秋生教授的课题组针对压缩 感知的稀疏重建算法进行了系统深入的研究,提出一系列 高质量的图像重建算法。中科院电子所的方广有研究员等 ,探索了压缩感知理论在探地雷达三维成像中的应用。 除此之外,还有很多国内学者在压缩感知方面做了重要 的工作,如清华大学、天津大学、国防科技大学、厦门大 学、湖南大学、西南交通大学、南京邮电大学、华南理工 大学、北京理工大学、北京交通大学等等单位,在此不一 一列举。

二、压缩感知描述

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2、CS描述

2.1 压缩传感

x是K稀疏的,并且
y与?满足一定关系 时

2、CS描述

2.1 压缩传感

y =φx
很显然,由于的维数远远低于的维数,方程1有无穷多个解, 即该方程是不适定的,很难重构信号。然而如果原信号是K稀疏的 ,并且y与?满足一定关系时,理论证明,方程是可以通过求解最优 范数问题精确重构

(1)

) x = arg min x

0

s.t. φ x = y

(2)

式中,为向量的范数,表示向量中非零元素的个数,Candès指出, 如果要精确重构,测量次数M必须满足M=O(Kln(N)) ,并且满足约 束等距性条件。

2、CS描述

2.1 压缩传感

2、CS描述

2.1 压缩传感

2、CS描述

2.2 稀疏表示

如果一个信号中只有少数元素是非零的,则该信号是 稀疏的。通常时域内的信号是非稀疏的,但是在某个变换 域可能是稀疏的。

2、CS描述

2.2 稀疏表示

如果长度为N的信号X,在变换域个系数不为零(或者明 显不大于其他系数),且KN,那么可以认为信号X在域中是 稀疏的并可记为K-稀疏(不是严格定义)。

2、CS描述

2.2 稀疏表示

2、CS描述

2.2 稀疏表示

2、CS描述

2.3 测量矩阵

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2、CS描述

2.3 测量矩阵

y =φx
(1 ? δ k ) c 2 ≤ φ c 2 ≤ (1 + δ k ) c
2 2 2 2

(3)

为了重构稀疏信号,Terence Tao、Emmanuel Candès 给出 并证明了必须满足约束等距性条件,对于任意和常数,有

(4)

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2、CS描述

2.3 测量矩阵

Baraniuk给出了约束等距性条件的等价条件是测量矩 阵和稀疏表示基不相关,即要求的行不能由的列稀疏表示 ,且的列不能由的行稀疏表示。由于是固定的,要使得满 足约束等距性条件,可以通过设计测量矩阵来解决,有证 明,当时高斯随机矩阵时, 能以较大概率满足约束等距 性条件。

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2、CS描述

2.3 测量矩阵
随机矩阵重建性能好,但不易于硬件实现。 确定性测量矩阵因为其占用存储空间少,硬件实现 容易,是未来测量矩阵的研究方向,但目前确定性矩阵 的重建精度不如随机矩阵。 随机测量矩阵
高斯矩阵 傅里叶 贝努力 非相关测量矩阵 结构化随机矩阵
………

确定性测量矩阵
轮换矩阵 多项式矩阵 哈达吗矩阵 托普利兹矩阵 Chirp测量矩阵
……..

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2、CS描述

2.4 重构算法
直接求解相当困难。以下两种解决方案: 1 不改变目标函数,寻求近似的方法求解 用近似的方法直接求解0范数问题,如贪婪算法等。 2 将目标函数进行转化,变为更容易求解的问题 (1)将0范数问题转化为1范数问题 (2)采用光滑函数逼近0范数,从而将0范数问题转化为 光滑函数的极值问题

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2、CS描述

2.4 重构算法
(1)匹配追踪系列: 匹配追踪(Matching Pursuit, MP) 正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP) 稀疏自适应匹配追踪(Sparse Adaptive MP, SAMP) 正则化正交匹配追踪(Regularized OMP, ROMP)等 (2)方向追踪系列: 梯度追踪(Gradient Pursuit, GP) 共轭梯度追踪(Conjugate GP,CGP) 近似的共轭梯度追踪(Approximation CGP, ACGP) 贪婪算法

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2、CS描述

2.4 重构算法
凸优化算法 (1)基追踪法(Basis Pursuit, BP) (2)最小角度回归法(Least Angle Regression, LARS) (3)梯度投影法(Gradient Projection for Sparse Reconstruction, GPSR) 另类算法 (1)Bayesian类的统计优化算法

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2、CS描述

2.5 模拟实验

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2、CS描述

2.5 模拟实验

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2、CS描述

2.5 模拟实验

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2、CS描述

2.5 模拟实验

OMP_time =0.051175secs
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2、CS描述

2.6 总体流程
设长度为N的信号X在某个正交基Ψ上是K-稀疏的, 如果能找到一个与Ψ不相关(不相干)的观测基 Φ, 用观测基Φ观测原信号得到M个观测值,K<M<<N,得到观测值Y, 那么可以利用最优化方法从观测值中高概率重构X。 找到某个正 交基Ψ ,信 号在该基上 稀疏 找到一个与 Ψ不相关, 且满足一定 条件的观测 基Φ 主要解决的问题: 1. 信号的稀疏表示 2. 观测基的选取 3. 重构算法的设计
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理论依据:

以Φ观测真 实信号,得 到观测值Y

对Y采用最 优化重建, Ψ Φ均是其 约束。

3、应用展望

3.1 应用举例

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3、应用展望

3.2 展望
目前,压缩感知理论仍处于发展阶段,有很多关键问题 尚待解决,如: (1)探索测量矩阵的必要条件,构造确定性矩阵; (2)如何硬件实现压缩感知的过程; (3)提高现有重建算法恢复质量、速度,论证算法理 论基础,保证其收敛,增强鲁棒性; (4)设计不同环境下的重建算法; (5)设计移动压缩传感器等。
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2、CS描述

Thank you! !

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