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函数与方程学案


学案 11

函数与方程

导学目标: 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,会判断一元二 次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似值. 自主梳理 1.函数零点的定义 (1)对于函数 y=f(x) (x∈D), 把使________成立的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零

点. (2)方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图象与____有交点?函数 y=f(x)有________. 2.函数零点的判定 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有____________, 那么函数 y=f(x)在区间________内有零点,即存在 c∈(a,b),使得________,这个____也 就是 f(x)=0 的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理. 3.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ<0 Δ=0 二次函数 y=ax2 +bx+c (a>0)的图象 ________, ________ 无交点 ________ ________ ________ ________ 零点个数 4.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证________________,给定精确度 ε; 第二步,求区间(a,b)的中点 c; 第三步,计算______: ①若________,则 c 就是函数的零点; ②若________,则令 b=c[此时零点 x0∈(a,c)]; ③若________,则令 a=c[此时零点 x0∈(c,b)]; 第四步,判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复 第二、三、四步. 自我检测 ?x2+2x-3,x≤0 ? 1.(2010· 福建)f(x)=? 的零点个数为 ( ) ? ?-2+ln x x>0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点 ( ) A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数个 3.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( ) 与 x 轴的交点

A.①②

B.①③

C.①④ D.③④ x 4.设 f(x)=3 +3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是 ( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 5.(2011· 福州模拟)若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)可以是 ( ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 x C.f(x)=e -1 D.f(x)=ln(x-0.5)

探究点一 函数零点的判断 例 1 判断函数 y=ln x+2x-6 的零点个数.

变式迁移 1 (2011· 烟台模拟)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,1] 时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是 ( ) A.多于 4 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 探究点二 用二分法求方程的近似解 例 2 求方程 2x3+3x-3=0 的一个近似解(精确度 0.1).

1 变式迁移 2 (2011· 淮北模拟)用二分法研究函数 f(x)=x3+ln?x+2?的零点时,第一次经 ? ? 计算 f(0)<0, f ? ? >0,可得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________.以上横 线上应填的内容为 1 ?1? A.?0,2? f? ? ? ? 2 1 C.?2,1? ? ? ( 1 B.(0,1) f?2? ? ? 1 D.?0,2? ? ? )

?1? ?2?

? ? ?3? f? ? ?4?

?1? f? ? ?4?

探究点三 利用函数的零点确定参数 例 3 已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有 零点,求 a 的取值范围.

变式迁移 3 若函数 f(x)=4x+a·x+a+1 在(-∞,+∞)上存在零点,求实数 a 的取值 2 范围.

1.全面认识深刻理解函数零点: (1)从“数”的角度看:即是使 f(x)=0 的实数 x; (2)从“形”的角度看:即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标; (3)若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; (4)若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 2.求函数 y=f(x)的零点的方法: (1)(代数法)求方程 f(x)=0 的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等); (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利 用函数的性质找出零点; (3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值,二分法的条件 f(a)· f(b)<0 表明:用二分法求 函数的近似零点都是指变号零点. 3.有关函数零点的重要结论: (1)若连续不间断的函数 f(x)是定义域上的单调函数,则 f(x)至多有一个零点; (2)连续不间断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号; (3)连续不间断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010· 天津)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 1?x 2. (2011· 福州质检)已知函数 f(x)=log2x-?3? , 若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解, 0<x1<x0, 且 ? 则 f(x1)的值 ( ) A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零 3.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是 ( )

4.函数 f(x)=(x-2)(x-5)-1 有两个零点 x1、x2,且 x1<x2,则 A.x1<2,2<x2<5 B.x1>2,x2>5 C.x1<2,x2>5 D.2<x1<5,x2>5

(

)

?4x-4, x≤1 ? 5. (2011· 厦门月考)设函数 f(x)=? 2 , g(x)=log2x, 则函数 h(x)=f(x)-g(x) ? ?x -4x+3,x>1 的零点个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 006x+log2 006x,则在 R 上,函数 f(x)零点的个数为________. 7.(2011· 深圳模拟)已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是______________. 8.(2009· 山东)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是________. 三、解答题(共 38 分) x 1 9.(12 分)已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2

10. 分)已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]内至少存在一个 (12 实数 c,使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围.

a 11.(14 分)(2011· 杭州调研)设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,求证: 2 b 3 (1)a>0 且-3< <- ; a 4 (2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点; 57 (3)设 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 2≤|x1-x2|< . 4

答案 自主梳理 1.(1)f(x)=0 (2)x 轴 零点 2.f(a)· f(b)<0 (a,b) f(c) = 0 c 3.(x1,0) (x2,0) (x1,0) 两个 一个 无 4.f(a)· f(b)<0 f(c) ①f(c)=0 ②f(a)· f(c)<0 ③f(c)· f(b)<0 自我检测 1.C [当 x≤0 时,令 x2+2x-3=0, 解得 x=-3; 当 x>0 时,令-2+ln x=0,解得 x=e2, 所以已知函数有两个零点.] 2.B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令 f(x)=0, 转化为方程根的个数, 解出方程有几个根,函数 y=f(x)就有几个零点,如果方程的根解不出,还有两种方法判断:

方法一是基本方法,是利用零点的存在性原理,要注意参考单调性可判定零点的唯一性;方 法二是数形结合法,要注意作图技巧. 解 方法一 设 f(x)=ln x+2x-6, ∵y=ln x 和 y=2x-6 均为增函数, ∴f(x)也是增函数. 又∵f(1)=0+2-6=-4<0,f(3)=ln 3>0, ∴f(x)在(1,3)上存在零点.又 f(x)为增函数,

∴函数在(1,3)上存在唯一零点. 方法二 在同一坐标系画出 y=ln x 与 y=6-2x 的图象, 由图可知两图象只有一个交点, 故函数 y=ln x+2x-6 只有一个零点. 变式迁移 1 B [由题意知 f(x)是偶函数并且周期为 2.由 f(x)-log3|x|=0, f(x)=log3|x|, 得 令 y=f(x),y=log3|x|,这两个函数都是偶函数,画两函数 y 轴右

边的图象如图,两函数有两个交点,因此零点个数在 x≠0,x∈R 的范围内共 4 个.] 例 2 解题导引 ①用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过程所得的 各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在 区间的过程,有时也可利用数轴来表示这一过程; ②在确定方程近似解所在的区间时, 转化为求方程对应函数的零点所在的区间, 找出的 区间[a,b]长度尽可能小,且满足 f(a)· f(b)<0; ③求方程的近似解,所要求的精确度不同得到的结果也不同,精确度 ε,是指在计算过 程中得到某个区间(a,b)后,直到|a-b|<ε 时,可停止计算,其结果可以是满足精确度的最 后小区间的端点或区间内的任一实数,结果不唯一. 解 设 f(x)=2x3+3x-3. 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0, 所以函数在(0,1)内存在零点, 即方程 2x3+3x-3=0 在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点 0.5,经计算 f(0.5)<0, 又 f(1)>0,所以方程 2x3+3x-3=0 在(0.5,1)内有解, 如此继续下去,得到方程的一个实数解所在的区间,如下表. (a,b) (a,b) a+b? 的中点 f? ? 2 ? (0,1) 0.5 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) |0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1 至此,可以看出方程的根落在区间长度小于 0.1 的区间(0.687 5,0.75)内,可以将区间端 点 0.687 5 作为函数 f(x)零点的近似值.因此 0.687 5 是方程 2x3+3x-3=0 精确度 0.1 的一 个近似解.

1 1 1 [由于 f(0)<0,f?2?>0,而 f(x)=x3+ln?x+2?中的 x3 及 ln?x+2? 在 ? ? ? ? ? ? 1 1 ?- ,+∞?上是增函数,故 f(x)在?- ,+∞?上也是增函数, ? 2 ? ? 2 ? 1? 1 故 f(x)在?0,2?上存在零点,所以 x0∈?0,2?, ? ? ? 1 第二次计算应计算 0 和 在数轴上对应的中点 2 1 0+ 2 1 x1= = .] 2 4 例 3 解 若 a=0,f(x)=2x-3,显然在[-1,1]上没有零点,所以 a≠0. 令 Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0, -3± 7 解得 a= . 2 -3- 7 3- 7 ①当 a= 时,f(x)=0 的重根 x= ∈[-1,1], 2 2 -3+ 7 3+ 7 当 a= 时,f(x)=0 的重根 x= ?[-1,1], 2 2 ∴y=f(x)恰有一个零点在[-1,1]上; ②当 f(-1)· f(1)=(a-1)(a-5)<0, 即 1<a<5 时,y=f(x)在[-1,1]上也恰有一个零点. ③当 y=f(x)在[-1,1]上有两个零点时,则 变式迁移 2 D

?Δ=8a +24a+4>0 ? 1 ?-1<-2a<1 ?f?1?≥0 ?f?-1?≥0
a>0
2

?Δ=8a +24a+4>0 ? 1 ,或?-1<-2a<1 ?f?1?≤0 ?f?-1?≤0
a<0
2



-3- 7 解得 a≥5 或 a< . 2 -3- 7 综上所述实数 a 的取值范围是 a>1 或 a≤ . 2 变式迁移 3 解 方法一 (换元) 设 2x=t,则函数 f(x)=4x+a·x+a+1 化为 g(t)=t2+at+a+1 (t∈(0,+∞)). 2 函数 f(x)=4x+a·x+a+1 在(-∞,+∞)上存在零点,等价于方程 t2+at+a+1=0,① 2 有正实数根. (1)当方程①有两个正实根时,

?Δ=a -4?a+1?≥0 ? a 应满足?t1+t2=-a>0 ?t · =a+1>0 ? 1 t2

2



解得:-1<a≤2-2 2; (2)当方程①有一正根一负根时,只需 t1· =a+1<0, t2 即 a<-1; (3)当方程①有一根为 0 时,a=-1,此时方程①的另一根为 1. 综上可知 a≤2-2 2. 方法二 令 g(t)=t2+at+a+1 (t∈(0,+∞)). (1)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,

?Δ=a -4?a+1?≥0 ? a 实数 a 应满足?-2>0 ? ?g?0?=a+1>0

2



解得-1<a≤2-2 2; (2)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数 a 应满足 g(0)=a+1<0, 解得 a<-1; (3)当函数 g(t)的一个零点是 0 时,g(0)=a+1=0,a=-1,此时可以求得函数 g(t)的另 一个零点是 1. 综上(1)(2)(3)知 a≤2-2 2. 课后练习区 1 1.B [因为 f(-1)= -3<0,f(0)=1>0, 2 所以 f(x)在区间(-1,0)上存在零点.] 2.A 3. [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a, C b]上连续不断, 并且有 f(a)· f(b)<0.A、 B 中不存在 f(x)<0,D 中函数不连续.] 4.C 5.B [当 x≤1 时,函数 f(x)=4x-4 与 g(x)=log2x 的图象有两个交点,可得 h(x)有两个 零点,当 x>1 时,函数 f(x)=x2-4x+3 与 g(x)=log2x 的图象有 1 个交点,可得函数 h(x)有 1 个零点,∴函数 h(x)共有 3 个零点.] 6.3 解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数,因此 f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=2 006x+log2 006x 在区 1 间(0, )内存在一个零点,又 f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根 2 006 据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数在 R 上的零点的个数为 3. 7.x1<x2<x3 解析 令 x+2x=0,即 2x=-x,设 y=2x,y=-x; 令 x+ln x=0,即 ln x=-x, 设 y=ln x,y=-x. 在同一坐标系内画出 y=2x,y=ln x,y=-x,如图:x1<0<x2<1,令 x- x-1=0,则 ( x)2- x-1=0, 1+ 5 ∴ x= , 2 3+ 5 即 x3= >1,所以 x1<x2<x3. 2

8.a>1 解析 设函数 y=ax(a>0, a≠1)和函数 y=x+a, 且 则函数 f(x)=ax-x-a(a>0, a≠1) 且 有两个零点, 就是函数 y=ax(a>0, a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点, 且 由图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方, 所以一定有两个交点, 所以实数 a 的取值范围是 a>1. 9. 证明 令 g(x)=f(x)-x.………………………………………………………………(2 分)

1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g( )=f( )- =- , 4 2 2 2 8 1 ∴g(0)· )<0.……………………………………………………………………………(8 分) g( 2 1 又函数 g(x)在(0, )上连续,…………………………………………………………(10 分) 2 1 所以存在 x0∈(0, ),使 g(x0)=0. 2 即 f(x0)=x0.………………………………………………………………………………(12 分) 10.解 二次函数 f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, 使 f(c)>0 的否定是:对于区间[-1,1]内的任意一个 x 都有 f(x)≤0.……………………(4 分)
? ? 2 ?f?1?≤0 ?2p +3p-9≥0 此时? ,即? 2 ,解得: ? ? ?f?-1?≤0 ?2p -p-1≥0

3 p≥ 或 p≤-3.…………………………………………………………………………(10 分) 2 ∴二次函数 f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是 3 -3<p< .…………………………………………………………………………………(12 2 分) a 11.证明 (1)∵f(1)=a+b+c=- , 2 ∴3a+2b+2c=0. 又 3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0, ∴a>0,b<0. 又 2c=-3a-2b,由 3a>2c>2b, ∴3a>-3a-2b>2b. b 3 ∵a>0, ∴-3< <- .……………………………………………………………………(4 分) a 4 (2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c. ①当 c>0 时,∵a>0, a ∴f(0)=c>0 且 f(1)=- <0, 2 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点. ……………………………………………(7 分) ②当 c≤0 时, ∵a>0, a ∴f(1)=- <0 且 f(2)=a-c>0, 2 ∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. 综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点.……………………………………………(10 分) (3)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根. b c 3 b ∴x1+x2=- ,x1x2= =- - . a a 2 a 2 ∴|x1-x2|= ?x1+x2? -4x1x2 b 3 b = ?- ?2-4?- - ? a 2 a b = ? +2?2+2.(12 分) a b 3 ∵-3< <- , a 4

∴ 2≤|x1-x2|<

57 .……………………………………………………………………(14 分) 4


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