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高三数学第一轮复习章节测试2-2)


第2章

第2节

一、选择题 1.(2010· 重庆文)函数 y= 16-4x 的值域是( ) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4) [答案] C [解析] 本题考查函数的值域的求法以及换元的方法. 令 u=16-4x,则 y= u,u≥0, 因为 4x>0,-4x<0,所以 0≤16-4x<

16 ∴y= u ∈[0,4),故选 C. 2. (2009· 福建理)下列函数 f(x)中, 满足“对任意 x1, x2∈(0, +∞), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)” 的是( A.f(x)= ) 1 x B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)

C.f(x)=ex [答案] A

[解析] 本小题主要考查函数的单调性等基础知识. 由题意得函数 f(x)是减函数,在四个选项中,只有 A 符合,故选 A. 3.函数 f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是( ) A.(3,+∞) C.(-∞,1) [答案] A [解析] 由已知易得 ?
?x+1>0, ? ? x-3>0, ?

B.(1,+∞) D.(-∞,-1)

即 x>3,又 0<0.5<1,

∴f(x)在(3,+∞)上单调递减. 4.函数 f(x)在(a,b)和(c, d)都是增函数,若 x1∈(a,b),x2∈ (c,d),且 x1<x2,那么( A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)= f(x2) [答案] D B.f(x1)>f(x2) D.无法确定

)

[解析] 由于(a,b)和 (c,d)不一定是连续的区间,所以不能根据单调性来判断 f(x1),f(x2)的大 小关系. 5.函数 f(x)= A. C. 2 5 x 的最大值为( x+1 ) 1 B. 2 D .1

2 2 [答案] B

x [解析] ∵x≥0,当 x=0 时,y=0 不是函数的最大值.当 x>0 时,f(x)= = x+1 1 + ≥2,当且仅当 x=1 时等号成立,∴f(x)≤ . 2 x 1

1 x+ 1 x

,而 x

6. (2010· 天津文)设函数 g(x)=x2-2(x∈R), f(x)= ?
? ?

? ?

+x+4,x< -x,

, 则 f(x)的值域是 (

)

9 A. ?- ,0?∪(1,+∞) ? 4 ? 9 C. ?- ,+∞? ? 4 ?

B.[0,+∞) 9 D.?- ,0?∪(2,+∞) ? 4 ?

[答案] D [解析] 本题考查了分段函数值域的求解. 由题意可知 f(x)=?
?x2+x+2 ? ? ?x2-x-2

x<-1或x>2 -1≤x≤2

1 7 1°当 x<-1 或 x>2 时,f(x)=x2+x+2=?x+ ?2+ ? 2? 4 由函数的图可得 f(x)∈(2,+∞). 1 9 2°当-1≤x≤2 时,f(x)=x2-x-2= ?x- ?2- , ? 2? 4 1 1 9 故当 x= 时,f(x)min=f ? ?=- , 2 ?2? 4 当 x=-1 时,f(x)max=f(-1)=0, 9 ∴f(x)∈ ?- ,0?. ? 4 ? 9 综上所述,该分段函数的值域为?- ,0?∪(2,+∞). ? 4 ? 7.定义在 R 上的函数 f(x)的图像关于 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则有( 1 3 1 A.f? ?<f ? ?<f? ? ?3? ?2? ?3? 3 2 1 C.f ? ?<f? ?<f? ? ?2? ?3? ?3? [答案] B [解析] ∵f(x)的图像关于 x=1 对称, 1 5 2 4 ∴f? ?=f ? ?,f? ?=f? ?. ?3? ?3? ?3? ?3? 4 3 5 又∵x≥1 时,f(x)=3x-1 为增函数,且 < < , 3 2 3 4 3 5 2 3 1 ∴f? ?<f ? ?<f? ?,即 f? ?<f? ?<f? ?. ?3? ?2? ?3? ?3? ?2? ?3? 8.若函数 y=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)是增函数,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,4] B.(-4,4] C.(-∞,-4)∪[2,+∞) [答案] B D.(-4,2) ) 2 3 1 B.f? ?<f? ?<f? ? ?3? ?2? ?3? 2 1 3 D.f? ?<f? ?<f? ? ?3? ?3? ?2? )

[解析] 本题考查含参数的函数的讨论及复合函数的应用.由题知:y=log2x 为单调增函数,y =log2(x2-ax+3a)的单调增区间为 y=x2-ax+3a 的增区间的一个子区间,由 y=x2-ax+3a ? y′ =2x-a,又在[2,+∞)是单调增函数,即在 x∈[2,+∞),2x-a>0 恒成立,即只需 2×2

-a>0 即可? a<4,又 y=x2-ax+3a 在 x∈[2,+∞)上恒大于 0,则 22-2a+3a>0? a>- 4,综上可得:-4<a<4,当 a=4 时同样成立.故选 B. a [点评] 本题还可以根据二次函数的对称轴讨论求解.欲满足题中条件,只需 ≤2,且 22-a×2 2 +3a>0? a≤4 且 a>-4 即-4<a≤4. 二、填空题 9.(2011· 苏州模拟)函数 y= [答案] cosx 的值域是________. 2cosx+1

?-∞,1?∪[1,+∞) ? 3?
cosx y 1 ,得 cosx= ,且 cosx≠- . 2 2cosx+1 1-2y y ≤1, 1-2y

[解析] 由 y=

∵-1≤cosx≤1,∴-1≤ 且

y 1 1 ≠- ,解得 y≤ 或 y≥1, 2 3 1-2y

1 ∴原函数的值域为?-∞, ?∪[1,+∞). ? 3? 1 10.函数 f(x)=log (3-2x-x2)的单调递增区间是______. 2 [答案] [-1,1) [解析] 令 t=3-2x-x2,由 t>0 得,函数的定义域为(-3,1). 1 又 t=3-2x-x2 在[-1,1)上为减函数,y=log t 在其定义域上为减函数, 2 1 ∴f(x)=log (3-2x-x2)的递增区间为[-1,1). 2 11.(2011· 南通检测)已知函数 f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1).如果 f(1-a)+f(1-a2)<0,则 a 的取 值范围是______. [答案] 1<a< 2 [解析] ∵f(x)为奇函数,且在(-1,1)上是增函数. f(1-a)+f(1-a2)<0,即 f(1-a)<f(a2-1). -1<1-a<1, ? ? ∴?-1<a2-1<1, 解之得 1<a< 2. ? ?1-a<a2-1, 三、解答题 x2+2x+a ,x∈[1,+∞). x (1)当 a=4 时,求 f(x)的最小值; 12.已知函数 f(x)= 1 (2)当 a= 时,求 f(x)的最小值; 2 (3)若 a 为正常数,求 f(x)的最小值. [分析] 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式求解,但须逐一验证应用均 值不等式所具备的条件,若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.

4 [解析] (1)当 a=4 时,f(x)=x+ +2,易知,f(x)在 [1,2]上是减函数,在[2 ,+∞)上是增函数. x ∴f(x)min=f(2)= 6. 1 1 7 (2)当 a= 时,f(x)=x+ +2,易知,f(x)在[1,+∞)上为增函数,∴ f(x)min=f(1)= . 2 2x 2 a (3)函数 f(x)=x+ +2 在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数. x 若 a>1,即 a>1 时,f(x)在区间[1,+ ∞)上先减后增,f(x)min=f( a)=2 a+2; 若 a ≤1,即 0<a≤1 时,f(x)在区间 [1,+∞)上是增函数. ∴f(x)min=f(1)=a+3. 综上所述,f(x)min= ?

?a + ? 2 a+

.

1 1 13.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0) a x (1)求证:f(x)在 (0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2],求 a 的值. 2 2 [解析] (1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0. 1 1 1 1 f(x2)-f(x1)=( - )-( - ) a x2 a x1 1 1 x2-x1 = - = >0 x1 x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. 1 1 (2)解:f(x)在 [ ,2]上的值域是[ ,2], 2 2 1 又 f(x)在[ ,2]上单调递增, 2 1 1 ∴f( )= ,f(2)=2. 2 2 1 -2= ?1 a 2 ∴? 1 1 ?a-2=2

2 ,∴a= . 5

x 14.若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对于 x>0 满足 f ? ? =f(x)-f(y). ?y? (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,试求解不等式 f(x+3)-f ? ?<2. ?x ? [解析] (1)令 x=y>0,则 f(1)=f(x)- f(x)=0. 1 (2)∵f(6)= 1,由 f(x+3)-f ? ?<2, ?x ?

1 得 f(x+3)-f ? ?<2f(6). ?x ? ∴f [x(x+3)]<f(6)+f(6), ∴f [x(x+3)]-f(6)<f(6), ∴f ?

?

+ 6

?<f(6), ?
+ 6 >0,

又∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 ∴ + 6 <6,解得 0<x< -3+3 17 . 2

a 15.函数 f(x)=log9(x+8- )在(1,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围. x [分析] 由 f(x)在(1, +∞)上是增函数可以得两个信息: 第一, 对任意的 1<x1<x2, 总有 f(x1)<f(x2); a 第二,当 x>1 时,x+8- >0 恒成立. x [解析] (1)设任意 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)<f(x2) a a 即 log9(x1+8- )<log9(x2+8- ), x1 x2 a a 得 x1+8- <x2+8- , x1 x2 即:(x1-x2)(1+ ∵x1-x2<0, ∴1+ a a >0, >-1,a>-x1x2. x1x2 x1x2 a )<0. x1x2

∵x2>x1>1, ∴欲使 a>-x1x2 恒成立,只要 a≥-1. a (2)欲使 x>1 时 x+8- >0 恒成立, x a 只要 x=1 时 x+8- ≥0 即可,得 a≤9. x ∴所求 a 的范围是-1≤a<9.


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