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上海黄浦2013年4月高三数学二模(理科)


黄浦区 2013 年高考模拟考 数学试卷(理科)
2013 年 4 月 11 日

考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷 上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题

满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 2.函数 f ( x) ?

z ?1 ? 0 ,则 z 的值为___________. 9 z

x ?1 ? lg(4 ? 2x) 的定义域为___________.
开始

3.若直线 l 过点 A(?1,3) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则直线 l 的方 程为___________. 4.等差数列 ?an ? 的前 10 项和为 30,则 a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? ___________. 5.执行右边的程序框图,则输出的 a 值是___________.
2 6.设 a 为常数,函数 f ( x) ? x ? 4x ? 3 ,若 f ( x ? a) 在 [0, ??) 上是增函

a ?1

a ? 3a ? 1
a ? 100
是 否

数,则 a 的取值范围是___________. 7.在极坐标系中,直线 l : ? cos ? ? 1 被圆 C : ? ? 4cos ? 所截得的线段长 为___________. 8.已知点 P(2, ?3) 是双曲线

输出 a
结束

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,双曲线两个焦点间的距离等 a 2 b2
??? ? ????
??? ??? ? ?

于 4,则该双曲线方程是___________. 9. 在平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ?BAD ? 60 , A B 若 则 B ?D
?

? ___________.

10.已知 A, B, C 是球面上三点,且 AB ? AC ? 4cm, ?BAC ? 90 ,若球心 O 到平面 ABC
?

的距离为 2 2 ,则该球的表面积为__________ cm . 11.在 ?ABC 中, ?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7 ,则
?

3

sin B 的值为___________. sin C
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12.已知 x ? x2 ? x3 ? ?? xn ? a0 ? a1 ( x ? 3) ? a2 ( x ? 3)2 ? a3 ( x ? 3)3 ?? ? an ( x ? 3)n

(n ? N ? ) 且 An ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 lim

An ? ___________. n ?? 4 n

13.一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 1 件次品. 用户先对产品进行随机抽检 以决定是否接受. 抽检规则如下:至多抽检 3 次,每次抽检一件产品(抽检后不放回),只要 检验到次品就停止继续抽检, 并拒收这箱产品; 3 次都没有检验到次品, 若 则接受这箱产品, 按上述规则,该用户抽检次数的数学期望是___________. 14.已知 f ( x ) ? 4 ?

1 1 ,若存在区间 [ a, b] ? ( , ??) ,使得 x 3

? y y ? f ( x), x ? [a, b]? ? [ma, mb] ,则实数 m 的取值范围是___________.
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

4 ,且 sin ? ? 0 ,则 tan ? 的值为 2 5 24 24 24 A. ? B. ? C. ? 25 7 7 1 2 16.函数 f ( x) ? x ? 1( x ? ?2) 的反函数是 2
15.已知 cos

?

?

D.

24 7

A. y ? 2x ? 2(1 ? x ? 3) C. y ? ? 2x ? 2(1 ? x ? 3) 17.下列命题:① 0 ? a ? “

B. y ? 2x ? 2( x ? 3) D. y ? ? 2x ? 2( x ? 3)

1 1 n ? ”是“存在 n ? N ,使得 ( ) ? a 成立”的充分条件;② a ? 0 ” “ 2 2 1 n 1 1 n ? 是“存在 n ? N ,使得 ( ) ? a 成立”的必要条件;③ a ? ”是“不等式 ( ) ? a 对 “ 2 2 2
一切 n ? N 恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是 A.③ B. ② ③ C. ① ②
2 2
?

D. ① ③

18. 如果函数 y ? x ? 2 的图像与曲线 C : x ? ? y ? 4 恰好有两个不同的公共点, 则实数 ? 的取值范围是 A. [?1,1) B.

??1,0?

C. (??, ?1] ? [0,1)

D. [?1,0] ? (1, ??)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
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已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面边长为 2, A D ? 13 . 1 1 (1)求该四棱柱的侧面积与体积; (2)若 E 为线段 A1D 的中点,求 BE 与平面 ABCD 所成角的大小.
A1 E

D1

C1

B1

D

C

A

B

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知复数 z1 ? sin x ? ?i, z2 ? (sin x ? 3 cos x) ? i ( ? , x ? R, i 为虚数单位) (1)若 2z1 ? z2i ,且 x ? (0, ? ) ,求 x 与 ? 的值; (2)设复数 z1 , z2 在复平面上对应的向量分别为 OZ1, OZ2 ,若 OZ1 ? OZ2 ,且 ? ? f ( x) , 求 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间.

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某医药研究所开发一种新药,在实验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么服药

? ax ? x 2 ? a (0 ? x ? 1) ? 后每毫升血液中的含药量 y (微克)与时间 x (小时)之间满足 y ? ? , x ?1 ? a?2 ( x ? 1) ? 4 x ?1 ? 1 ?
其对应曲线(如图所示)过点 (2,

16 ). 5

y

达峰时间 药量峰值

(1)试求药量峰值( y 的最大值)与达峰时间( y 取最大值 时对应的 x 值) ; (2) 如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效, 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间?(精确到 0.01 小时)

x

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22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于点

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且 y1 y2 ? ?4 .
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若 OE ? 2(OA ? OB) ( O 为坐标原点),且点 E 在抛物线 C 上,求直线 l 倾斜角; (3) 若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点, 直线 MF , MA, MB 的斜率分别为 k0 , k1 , k2 .求证: 当 k0 为定值时, k1 ? k2 也为定值.

??? ?

??? ??? ? ?

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 具有性质:①a1 为整数;② 对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时,

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m?N),数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 2m?1 ? 3 ; (3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 ( n?N)时,都有 an ? 0 .

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一、填空题 1. ? 3i 4. 12

2.

??1, 2?

3. y ? ?2 x ? 1 6.

5. 121 8. x ?
2

? 2, ?? ?

7. 2 3

y2 ?1 3

9. ?3

10. 64?

11.

3 5

12.

4 3

13.

27 10

14. ?3, 4?

二、选择题 15. C 16. D 17. B 18. A

三、解答题 【题目 19】 【解析】⑴根据题意可得:在 Rt ?AA D 中,高 AA1 ? 1 ∴ S ? (2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3) ? 2 ? 32

A1 D 2 ? AD 2 ? 3

V ? 2 ? 2 ? 3 ? 12 ⑵过 E 作 EF ? AD ,垂足为 F ,连结 BF ,则 EF ? 平面 ABCD , ∵ BE ? 平面 ABCD ,∴ EF ? BF ∴在 Rt ?BEF 中, ? EBF 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角 ∵ EF ? AD, AA ? AD ,∴ EF∥AA , 1 1
又 E 是 A D 的中点,∴ EF 是 ?AA1 D 的中位线, 1 ∴ EF ?

1 3 AA1 ? 2 2

在 Rt ?AFB 中 BF ?

AF 2 ? AB2 ? 12 ? 22 ? 5 3 3 5 ∴ tan ?EBF ? ? 5 ? 2 10 3 5 ∴ ?EBF ? arctan 10
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【题目 20】 【解析】⑴∵ 2z1 ? z2i ,∴ 2sin x ? 2?i ? 1 ? (sin x ? 3cos x)i ∴?

?2sin x ? 1 ? , ?2? ? sin x ? 3 cos x ?

∵ x ? (0, ? ) ,∴ x ?

?
6

或 ?

5 6

1 ∴ ? ? 1或 ? ? ? 2

⑵根据题意可知: OZ1 ? (sin x, ?), OZ2 ? (sin x ? 3cos x, ?1), ∵ OZ1 ? OZ2 ,∴ OZ1 ? OZ2 ? 0 ∴ sin x ? 3sin x cos x ? ? ? 0
2

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

∴ ? ? sin x ? 3sin x cos x ,
2

1 ? 1 (1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x) ? sin(2 x ? ) ? 2 6 2 2? ?? ∴最小正周期: T ? 2 ? 3? ? 2k? ], k ? Z 上单调减 ∵ sin x 在 [ ? 2k? , 2 2
∴? ? ∴根据复合函数的单调性:

? 3? ? [ ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 6 2 2 ? 5? ? k? ], k ? Z ∴ x ? [ ? k? , 3 6 ? 5? ? k? ], k ? Z 上单调减 ∴ f ( x ) 在 [ ? k? , 3 6
2x ?
【题目 21】

?

? 8x ? x 2 ? 1 ,0 ? x ? 1 16 ? 【解析】将 (2, ) 代入函数可得: a ? 8 ,∴ f ( x) ? ? x?2 5 ? 2 ,x ?1 ? 4 x?1 ? 1 ?
⑴当 x ? (0,1) 时, f ( x) ?

8x 8 ? 2 x ?1 x ? 1 x
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∵x?

1 ? 2 ,∴ 0 ? f ( x) ? 4 x

当 x ? [1, ??) 时, f ( x) ?

2 x?2 4 ? 2x 4 ? 2x 4 ? x ? 2x ? x ?1 1 x 1 2 4 ?1 4 ?2 ? x ?1 ?1 4 2 4 4

∵2 ? 2
x



1 x 1 ? 2 ? x ? 1 ,∴ 0 ? f ( x) ? 4 4 2

∴当 x ? 1 时,有最大值为 ymax ? f (1) ? 4 ⑵∵ f ( x ) 在 (0,1) 上单调增,在 [1, ??) 上单调减,最大值为 4 ∴ f ( x) ? 1 在 (0,1) 和 [1, ??) 各有一解 当 x ? (0,1) 时, f ( x) ?

8x ? 1 ,解得: x ? 4 ? 15 x2 ? 1

2 x?2 ? 1 ,解得: x ? log2 (8 ? 2 15) 当 x ? [1, ??) 时, f ( x) ? x?1 4 ?1
∴当 x?[4 ? 15,log2 (8 ? 2 15)] 时,为有效时间区间 ∴有效的持续时间为: log2 (8 ? 2 15) ? (4 ? 15) ? 3.85 小时

【题目 22】设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的动直线交抛物线与
2

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,且 y1 y2 ? ?4 ;
⑴求抛物线的方程; ⑵若 OE ? 2(OA ? OB)( O 为坐标原点) ,且点 E 在抛物线 C 上,求直线 l 的倾斜 角; ⑶ 若 点 M 是 抛 物 线 C 的 准 线 上 的 一 点 , 直 线 MF , MA, MB 的 斜 率 分 别 为

??? ?

??? ??? ? ?

k0 , k1 , k2 ,
求证:当 k0 为定值时, k1 ? k2 也为定值。 【解析】⑴根据题意可知: F (

p p , 0) ,设直线 l 的方程为: x ? ky ? ,则: 2 2

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p ? ? x ? ky ? 2 2 联立方程: ? , 2 ,消去 x 可得: y ? 2 pky ? p ? 0 (*) ? y 2 ? 2 px ?
根据韦达定理可得: y1 y2 ? ? p2 ? ?4 ,∴ p ? 2 ,∴ C : y 2 ? 4 x ⑵设 E( x0 , y0 ) ,则: ? ∴ y0 ? 8k ,

? x0 ? 2( x1 ? x2 ) ,由(*)式可得: y1 ? y2 ? 2 pk ? 4k ? y0 ? 2( y1 ? y2 )

p ? ? x1 ? ky1 ? 2 ? 又? ,∴ x1 ? x2 ? k ( y1 ? y2 ) ? p ? 2 pk 2 ? p ? 4k 2 ? 2 p ? x ? ky ? 2 ? 2 ? 2
∴ x0 ? 8k 2 ? 4
2 2 ∵ y0 ? 4 x0 ,∴ 64k 2 ? 4(8k 2 ? 4) ,∴ 2k ? 1 ,∴ k ? ?

2 2

∴直线 l 的斜率 kl ?

1 ? tan ? ? ? 2 ,∴倾斜角为 arctan 2 或 ? ? arctan 2 k

⑶可以验证该定值为 2k0 ,证明如下: 设 M (?1, yM ) ,则: k0 ?

? yM y ? yM y ? yM , k1 ? 1 , k2 ? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1

∵?

? x1 ? 1 ? ky1 ? 2 ? x1 ? ky1 ? 1 ,∴ ? ? x2 ? 1 ? ky2 ? 2 ? x2 ? ky2 ? 1

∴ k1 ? k2 ?

y1 ? yM y2 ? yM y1 ? yM y2 ? yM ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ky1 ? 2 ky2 ? 2

?

( y1 ? yM )(ky2 ? 2) ? ( y2 ? yM )(ky1 ? 2) (ky1 ? 2)(ky2 ? 2) 2ky1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? yM (k ( y1 ? y2 ) ? 4) k 2 y1 y2 ? 2k ( y1 ? y2 ) ? 4

?

?

?8k ? 8k ? yM (4k 2 ? 4) ? ? yM ?4k 2 ? 8k 2 ? 4

∴ k1 ? k2 ? 2k0 为定值
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【题目 23】 已知数列 {an } 具有性质: a1 为整数; ① ②对于任意的正整数 n , an 为偶数时, 当

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n ; 2 2

⑴若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; ⑵设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m ? N ) ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 求证: Sn ? 2m?1 ? 3 ; ⑶若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 (n ? N ) 时,都有 an ? 0 ; 【解析】⑴设 a1 ? 2k , a2 ? k ,则: 2k ? a3 ? 2k , a3 ? 0 分两种情况: k 是奇数,则 a3 ? 若 k 是偶数,则 a3 ?

a2 ? 1 k ? 1 ? ? 0 , k ? 1 , a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? 0 2 2

a2 k ? ? 0 , k ? 0 , a1 ? 0, a2 ? 0, a3 ? 0 2 2

⑵当 m ? 3 时, a1 ? 2m ? 3, a2 ? 2m?1 ? 1, a3 ? 2m?2 , a4 ? 2m?3 ,

a5 ? 2m?4 ,?, am ? 2, am?1 ? 1, am?2 ? ? ? an ? 0
∴ Sn ? Sm?1 ? 1 ? 2 ? ? ? 2m ? 4 ? 2m ? 3 ⑶∵ n ? 1 ? log2 a1 ,∴ n ?1 ? log2 a1 ,∴ 2n?1 ? a1

? an ? 2 , an是偶数 a ? ? n 由定义可知: an ?1 ? ? ? an ? 1 , a 是奇数 2 n ? 2 ?


an ?1 1 ? an 2 an an ?1 a 1 ? ?? ? 2 ? a1 ? n?1 a1 an ?1 an ?2 a1 2
1 ? 2n ?1 ? 1 2n ?1
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∴ an ? ∴ an ?

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∵ an ? N ,∴ an ? 0 , 综上可知:当 n ? 1 ? log2 a1 (n ? N ) 时,都有 an ? 0

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