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经典三角恒等变换单元练习题含答案(个人精心整理)


一、选择题(5× 12=60 分) π 1 1.cos2 - 的值为 8 2 A.1 π π 2.tan -cot 等于 8 8 A.-2 B.-1 C.2 D.0 θ 3 θ 4 3.若 sin = ,cos =- ,则 θ 在 2 5 2 5 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5π π 5π π 4.cos2 +cos2 +cos cos 的值等于 12

12 12 12 A. 6 2 B. 3 2 C. 5 4 D.1+ 3 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 4

3π 3π 4 α 5.已知 π<α< ,且 sin( +α)= ,则 tan 等于 2 2 5 2 A.3 B.2 6.若 tanθ+cotθ=m,则 sin2θ 等于 A. 1 m B. 2 m C.-2 D.-3 1 m2

C.2m

D.

7.下面式子中不正确的是 π π π 6 A.cos(- )=cos cos + 12 4 3 4 π π π π 3 π C.sin( + )=sin · cos + cos 4 3 4 3 2 4 α 1 8.如果 tan = ,那么 cosα 的值是 2 3 A. 3 5 B. 4 5 C.- 3 5 4 D.- 5 7π π π 2 π B.cos =cos · cos - sin 12 4 3 2 3 π π π D.cos =cos -cos 12 3 4

π π cos( +x)-sin( +x) 4 4 9.化简 的值是 π π cos( +x)+sin( +x) 4 4 x A.tan 2 B.tan2x C.-tanx D.cotx

5 α 10.若 sinα= ,α 在第二象限,则 tan 的值为 13 2 A.5 B.-5 C. 1 5 1 D.- 5

θ θ 11.设 5π<θ<6π,cos =a,则 sin 等于 2 4 A.- 1+a 2 B.- 1-a 2 C.- 1+a 2 D.- 1-a 2

A 12.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos2 ,则此三角形为 2 A.等边三角形 C.直角三角形 二、填空题(4× 6=24 分) 13.若 tanα=-2 且 sinα<0,则 cosα=_____. 1 α α 14.已知 sinα= ,2π<α<3π,那么 sin +cos =_____. 3 2 2 5π π 15.cos cos =_____. 8 8 3π 4 θ 16.已知 π<θ< ,cosθ=- ,则 cos =_____. 2 5 2 17.tan19° +tan26° +tan19° tan26° =_____. 4 4 π 3π 18.若 cos(α+β)= ,cos(α-β)=- ,且 <α-β<π, <α+β<2π,则 cos2α=_____, 5 5 2 2 cos2β=_____. B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

三、解答题 19.已知 sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求 cos2α+cos2β 的值. 20.已知 sin 2 2α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0, π ),求 sinα、tanα. 2

3π π 1 21.已知 sin(x- )cos(x- )=- ,求 cos4x 的值. 4 4 4 22.求证 cos3α=4cos3α-3cosα 23.若函数 y=x2-4px-2 的图象过点(tanα,1)及点(tanβ,1). 24. ① 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos ? ? cos ? ?cos ? ? 0, 求 cos( ? ? ? ) 的值. ②若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围. 2

1 ? cos 200 25. 求值: ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 0 2sin 20
26. 已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2 ①求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

3 5 27. (12 分)△ ABC 中,已知 cosA ? , cosB ? , 求sinC的值 . 5 13 ? 3? 12 3 28. (12 分)已知 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 求sin2? . 2 4 13 5 ? 1 1 29. (12 分)已知 ? ? (0, ), ? ? (0, ? ), 且 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? , 4 2 7

求 tan(2? ? ? ) 的值及角 2? ? ? . 30. (12 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 , x ? R . (1)求证 f (x) 的小正周期和最值; (2)求这个函数的单调递增区间.

答案
一、选择题 题号 答案 5 5 - 10 10 1 D 2 A 3 D 4 C 5 D 2 3 - 3 1 6 B 7 D 8 B 9 C 10 A 2 4 -1 11 D 12 B

二、填空题 13 16 14 17 15 18 -

7 - 25

三、解答题 19.已知 sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求 cos2α+cos2β 的值. 1 20.已知 sin 2 2α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0, π ),求 sinα、tanα. 2

解:∵sin22α+sin2αcosα-cos2α=1 ∴4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0 即:cos2α(2sin2α+sinα-1)=0 ? cos2α(sinα+1)(2sinα-1)=0

π 又 α∈(0, ),∴cos2α>0,sinα+1>0. 2 1 π 3 故 sinα= ,α= ,tanα= . 2 6 3 3π π 1 21.已知 sin(x- )cos(x- )=- ,求 cos4x 的值. 4 4 4 3π π 1 解析:由 sin(x- )cos(x- )=- 4 4 4

? 2 [sin(2x-π)+sin(-2 )]=-4 ? sin2x=-2 ? cos4x=1-2sin22x=2 .
22.求证 cos3α=4cos3α-3cosα 证明:左边=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα =(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα =2cos3α-cosα-2sin2αcosα =2cos3α-cosα-2(1-cos2α)cosα =4cos3α-3cosα=右边. 23.若函数 y=x2-4px-2 的图象过点(tanα,1)及点(tanβ,1). 求 2cos2αcos2β+psin2(α+β)+2sin2(α-β)的值. 解:由条件知 tanα、tanβ 是方程 x2-4px-2=1 的两根.
?tanα+tanβ=4p ∴? ?tanαtanβ=-3

1

π

1

1

1

∴tan(α+β)=

4p =p. 1-(-3)

∴原式=2cos2αcos2β+tan(α+β)sin2(α+β)+2sin2(α-β) =cos2(α+β)+cos2(α-β)+2sin2(α+β)+2sin2(α-β) =cos2(α+β)+cos2(α-β)+[1-cos2(α+β)]+[1-cos2(α-β)]=2 24. ①解: sin ? ? sin ? ? ? sin ?,cos ? ? cos ? ? ?cos ?,

(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,

1 2 ? 2cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? . 2
②解:令 cos ? ? cos ? ? t ,则 (sin ? ? sin ? ) ? (cos ? ? cos ? ) ? t ?
2 2 2

1 , 2

1 3 2 ? 2cos(? ? ? ) ? t 2 ? , 2cos(? ? ? ) ? t 2 ? 2 2

?2 ? t 2 ?

3 1 7 14 14 ? 2, ? ? t 2 ? , ? ?t? 2 2 2 2 2

25. 解:原式 ?

2 cos 2 100 cos 50 sin 50 ? sin100 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50

?

cos100 cos100 ? 2sin 200 ? 2 cos100 ? 2sin100 2sin100 cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2sin 300 cos100 ? 2cos 30 0 sin100 ? 2sin100 2sin100
3 2

?

? cos 300 ?
26. 解: y ? sin (1)当

x ? ? ? ? ? 2k? ? ,即 x ? 4k? ? , k ? Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3

? ? ? ? x | x ? 4k? ? , k ? Z ? 为所求 3 ? ?
(2) y ? 2sin( ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? y ? 2sin ??????? y ? 2sin x ? ? 2 3 2

纵坐标缩小到原来的2倍 ??????? y ? sin x ?

27 . : 在?ABC 中,cos A ? 解 又由 sin B ?

3 4 ,? sin A ? 5 5

5 12 3 , 可得 cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? ,? sin A ? ? A ? 60 0 13 13 2 12 12 若 cos B ? ? ,? B ? 120 0 , 这时A ? B ? 180 0 不合题意舍去,故 cos B ? , 13 13 4 12 3 5 63 ? sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

28 . : 解 ?

?
2

? ? ? ? ?

3? 4 3? 2

?0 ? ? ? ? ?

?

4 5 4 ? sin( ? ? ? ) ? ,cos( ? ? ? ) ? ? 13 5 ? sin 2? ? sin[( ? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) sin( ? ? ? ? 3 12 4 5 56 ? ? (? ) ? ? ? 5 13 5 13 65
1 ? ? ? ? ? ? 7 2

,? ? ? ? ? ?

29 . : tan ? ? ? 解 ? ?0 ? ? ?

?
4

? ?? ? 2? ? ? ? 0 tan( 2? ? 2? ) ? tan ? 1 ? tan( 2? ? 2? ) tan ?

? tan( 2? ? ? ) ? tan[( 2? ? 2? ) ? ? ] ? 4 1 ? ? 3 7 ? 1 4 1 1? ? 3 7 3? ? 2? ? ? ? ? 4
30.解: (1) y ? cos x ? 3 sin x cos x ? 1
2

?

cos 2 x ? 1 3 sin 2 x 1 3 1 ? ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 1 2 2 2 2 2

? sin

?
6

cos 2 x ? cos

?
6

sin 2 x ?

3 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? 2 6 2

(2)因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? ? 由(1)知 y ? sin(2 x ?

? ? ? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? ( k ? Z ) , 2 ? 2 ?

?
6

)?

??

?
3

? k? ? x ?

?

3 ? ? ? ,故 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 2 2 6 2 ? k? (k ? Z )

故函数 y ? sin(2 x ?

?
6

)?

3 ? ? 的单调递增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) 2 3 6

6


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