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函数的单调性、奇偶性1


问题 1 函数

f ( x) ? x

在区间[0, +∞ )上是单调增函数. 练习: 1.函数 y ? x ? 1 (x∈[0,4])的值域为 ________. 1 2.函数 y ? (x∈[2,6])的值域为 ________. x ? 1

1 3.函数 y ? (x∈(-∞,-2]) x ? 1 说明:利用图

象确定单
的值域为_______.
调区间非常简单.

思考:函数y=

x ?1

表示为复合函数的形式,观察它们的单调 性和复合它们的两个函数的单调性,它们 之间有联系吗?

函数t=x+1在[0,4]上递增,函数 y ? t 在[0,+∞)上递增,函数 y ? x ? 1
在[0,4]上递增.

问题2:已知函数f(x)在R上是增函数,g(x) 在[a,b]上是减函数,求证:f[g(x)]在[a,b] 上是减函数. 证明:设x1,x2∈[a,b],且x1<x2, 因为g(x)在[a,b]上单调递减, 所以g(x1)>g(x2), 又f(x)在R上递增, 而g(x1)∈R,g(x2)∈R, 所以f[g(x1)]>f[g(x2)], 所以f[g(x)]在[a,b]上是减函数.

复合函数的单调性
已知函数f(x)的定义域是F,函数g(x)的定 义域是G,且对于任意的x∈G,g(x)∈F, 试根据下表众所给的条件,用“增函数”、 “减函数”填空:
f(x) 增函数 增函数 减函数 减函数 g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数 f(g(x)) 增函数 减函数 减函数 增函数 f(x)+g(x) 增函数 不能确定 不能确定 减函数

根据图象确定单调区间
2x ( 1 )函数 f ( x) ? 的递增区间是 ____ . x ?1

(2)函数f ( x) ? ? x ? x ? 2的递增区
2

间是 ____.

(3)函数f ( x) ?

x 的递增区间是____. x ?1

(4)函数f ( x) ?

2
2

x ? 4x ? 3 间是 ____,值域 ______ .

的单调区

(5)函数y=|x|+3的单调区间是 (6)函数y=x2-2|x|-3的单调区间是

; ;

?( x ? 1) 2 , x ? 0, (7)函数 y ? ? 的单调区间是 ?2 x, x ? 0
.

应用
( 1 )函数f ( x) ? x ? 2bx ? 1在区间
2

[1, 2]上是单调函数,则 b的取值 范围是 ____.

(2)函数f ( x)是定义在区间 [?1, 1]上增函数,f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 则x的取值范围是____.

(3)已知函数f (x)是定义在(0,+∞) 上的增函数,且f (2)=1,且 f (x+5)<1,求x的取值范围.

(4)已知函数 f (x) 是R上的偶函数, 在[0, +∞)上是减函数,且f (a) =0(a>0),x f (x)<0,求x的取 值范围.

(5)函数 f (x) 是[-c,c]上的奇函数,其图象 如图,设g (x)=a f (x) +b,则下列叙述正确 的是( )
A.若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称 B.若a=1,0<b<1,则方程g (x)=0有大于2的根 C.若a= - 1,b=0,则函数g (x)的图象关于y轴对称 D.若a≠0,b=2,则方程g (x)=0有3个实根
y 2

-c -2

O
-2

2

c

x

问题:用定义证明函数

f ( x) ? 1 ? x ? x
2

在R上是减函数.

问题:求函数 f ( x) ?
在区间[2,8]上的值域.

x?x

已知函数f (x)是定义在[-2,2]上 的减函数,且f (3x)<f (x+1),求x 的取值范围.

问题:函数f(x+1)=x2 - 2x+1的 定义域是[-2,6],求函数的单调 区间和值域.

问题:函数f(x)=x2 +2ax+1在 [-1,2]上的最大值是4,求a的 值.

抽象函数
— 赋值

问题:定义在R上的函数f(x)满足: 任意x、y∈R,有f(x+y)= f(x)+ f (y), 当 x>0,f(x)<0, f(-1)= 2. 求证:(1)判断函数f(x)的奇偶性 ; (2) f(x)在R上是减函数; (3)求函数在区间[- 3,3]上的最值.

问题:定义在A={x|x≠0}函数f(x)满足: 任意x、y∈A,有f(x y)= f(x)+ f (y). (1)求 f(1); (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)若 f(4)=1,f(3x+2)+f(2)≤3, 且f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求x的取值范围.

问题:定义在R函数f(x)满足: 任意x、y,有 f(x +y)- f (y)=(x+2y+1)x, f(1)=0. (1)求 f(0); (2)当不等式f(x)+3≤2x+a 对x∈(0,0.5)恒成立,求实数a的取值范围.


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