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高中数学竞赛讲义


平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。 向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如 a. |a| 表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量 称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共

线向量) ,规定零向量与任意一个非零向量平行和 结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和 结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ? ? 0,使得 a= ? b. f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一 对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取 一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y)叫做 c 坐标。 b>,也称内积,其中|b|cos ? 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值) 。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 定义 4 向量的数量积, 若非零向量 a, b 的夹角为 ? , 则 a, b 的数量积记作 a· b=|a|· |b|cos ? =|a|· |b|cos<a, x1 x 2 ? y1 y 2 2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y2 (a, b ? 0), 4. a//b ? x1y2=x2y1, a ? b ? x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1, p2 的一点, 则存在唯一实数 λ, 使P 1 P ? ? PP2 , λ叫P分 P 1 P2 所成的比,若 O 为平面内任意一点,则 OP ? OP 1 ? ? OP 2 1? ? 。由此可得若 P1,P,P2 的坐标分别为(x1, ? x ? ?x 2 x? 1 ? x ? x1 y ? y1 ? 1? ? y1), (x, y), (x2, y2),则 ? .? ? ? . x ? x y ? y y ? ? y 2 2 ?y ? 1 2 ? 1? ? ? h2 ? k 2 个单位得到图形 F ' , 这一过程叫做平移。 设 p(x, y)是 F 上任意一点, 平移到 F ' 上对应的点为 p' ( x' , y' ) , ? x' ? x ? h 则? 称为平移公式。 y ' ? y ? k ? 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形, 将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向, 平移|a|= 定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 2 2 2 又|a· b|≥0, |a|· |b|≥0, ? y12 )(x2 ? y2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0, 【证明】 因为|a|2· |b|2-

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