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3.1.2函数单调性的性质


1.3.1

单调性与最大(小)值

第二课时

函数单调性的性质

问题提出

1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么? 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征? 3. 增函数、减函数有那些基本性质?

知识探究(一)

对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意两 个自变量的值 x1 , x2 ,若当 x1 ? x2时,都有 (1)f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 增函数; (2)f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 减函数.
x1 ? x2

思考1:对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 两个自变量的值 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,若 ?0 , 则函数 f ( x) 在区间D上的单调性如何?



f ( x1 ) ? f ( x2 ) 呢? ?0 x1 ? x2

f ( x) a?0 思考2:若函数 在区间D上为增函数, a ? f ( x) af ( x) 为常数,则函数 、 的单调性如何?
思考3:若函数 f ( x)、 g ( x) 在区间D上都是增函数, 则函数 f ( x) ? g ( x) 、f ( x) ? g ( x)在区间D上的单调性 能否确定? 思考4:若函数 f ( x) 在区间D上是增函数,则函数 1 f ( x) 在区间D上是增函数吗?函数 f ( x) 在区间D 上是减函数

知识探究(二)

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则 称函数 f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区 间D叫做函数 f ( x) 的单调区间,此时也说函数 f ( x) 在这一区间上是单调函数.

思考1:函数 f ( x) ? kx ? b 是单调函数吗?
思考2:函数 f ( x) ?| x |在R上具有单调性吗? 其单调区间如何? 思考3:一个函数在其定义域内,就单调性而言 有哪几种可能情形?

思考4:若函数 f (x)在区间D上具有单调性, A ? D ? B ,那么 f (x)分别在区间A、B上具有单 调性吗? 思考5:下列图象表示的函数是增函数吗?
y
y

o 图1

x

o 图2

x

思考6:一般地,若函数 f (x) 在区间A、B上是 单调函数,那么 f (x) 在区间 A ? B上是单调函 数吗?

理论迁移

f ( x ? 2) ? 1的解集.

2x ?1 例1 已知函数 f ( x) ? ,求不等式 x

例2 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x 在区间[0,4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

例3 已知定义在R上的函数 f (x) 满足:对任 意 a, b ?R,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b),且当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 ,试确定函数的单调性.

作业: P39 习题1.3A组:1,2,4.


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