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2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:8.2 直线的交点坐标与距离公式


第二节 直线的交点坐标与距离公式

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三年3考

高考指数:★★

1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平 行直线间的距离.

1.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离 公式是

高考的重点;

2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题;
3.多以选择题和填空题为主,有时与其他知识点交汇,在解答

题中考查.

1.两条直线的交点 直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方
? A1x ? B1 y ? C1 ? 0 程组 ? 的解一一对应. ? ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 ?

唯一解 相交?方程组有________,交点坐标就是方程组的解;
无数组解 无解 平行?方程组______;重合?方程组有__________.

【即时应用】
(1)思考:如何用两直线的交点判断两直线的位置关系?

提示:当两直线有一个交点时,两直线相交;没有交点时,两
直线平行;有无数个交点时,两直线重合. (2)直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐标是 __________.

?5x ? 2y ? 6 ? 0 ? 【解析】由直线l1与l2所组成的方程组 ? 得: ?3x ? 5y ? 16 ? 0 ? x?2 ? ? , ∴直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐 ? ? y ? ?2 ?

标是(2,-2). 答案:(2,-2)

(3)直线l1:5x+2y-6=0与l2:5x+2y-16=0的位置关系是_______.

【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组
?5x ? 2y ? 6 ? 0 ? 无解,∴直线l1与l2平行. ? ?5x ? 2y ? 16 ? 0 ?

答案:平行

2.距离
点P1(x1,y1),
P2(x2,y2)之间的距

P1P2 ? (x 2 -x1 ) 2 ? (y 2 -y1 ) 2


点P0(x0,y0)到直线 l:Ax +By +C =0的距 离 两条平行线

d ?

Ax 0 ? By0 ? C A 2 ? B2
C1 -C2 A 2 ? B2

Ax+By+C1=0与Ax +By+C2 =0间的距离

d ?

【即时应用】 (1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_________; (2)已知A(a,-5),B(0,10),|AB|=17,则a=_____; (3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为__________.

【解析】(1)因为 d ? | 0 ? 2 ? 0 ? 5 | ? 5. 2 2
1 ?2

(2)依题设及两点间的距离公式得:
(a ? 0) 2 ? (?5 ? 10) 2 ? 17, 解得:a=〒8;

(3)因为两平行线方程可化为:2x-y=0与2x-y+5=0. 因此,两平行线间的距离为: ? | 5 ? 0 | ? 5. d 2 2
2 ?1

答案:(1) 5

(2)〒8

(3) 5

两直线的交点问题 【方法点睛】1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以 方程组的解为坐标的点即为交点. 2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程

A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)

【例1】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点,且也经

过点A(8,-4)的直线方程为_________________;
(2)已知两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0,若l1与l2相交, 求实数m、n满足的条件. 【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标,用两点式解决; 也可用过两直线交点的直线系解决;(2)两直线相交可考虑直 线斜率之间的关系,从而得到m、n满足的条件.

【规范解答】(1)方法一:因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0 的交点坐标为(-2,1),直线又过A(8,-4),所以所求直线方 程为:
y ? 4 x ?8 ? , 即x+2y=0; 1 ? 4 ?2 ? 8

方法二:设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程

为x+y+1+λ(x-y+3)=0,
又因为直线过A(8,-4),所以8-4+1+λ(8+4+3)=0,
1 解得: ? ? ? , 所以,所求直线方程为x+2y=0. 3

答案:x+2y=0

(2)因为两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0相交,因此, 当m=0时,l1的方程为 y ? ? n ,l2的方程为 x ? 1 , 两直线相交,
8 2

此时,实数m、n满足的条件为m=0,n∈R;当m≠0时, ∵两直线相交, ∴
m 8 ? , 解得m≠〒4,此时,实数m、n满足的条件为m≠〒4, 2 m

n∈R.

【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定
直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法

要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以
利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值; 2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不 存在.

距离公式的应用
【方法点睛】

1.两点间的距离的求法
设点A(xA,yA),B(xB,yB), |AB|= (x A ? x B ) 2 ? (y A ? y B ) 2 . 特例:AB⊥x轴时,|AB|=|yA-yB| AB⊥y轴时,|AB|=|xA-xB|.

2.点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程
必须为一般式.

3.两平行直线间的距离的求法
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上 任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式. 【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行 直线方程中x、y的系数必须相等.

【例2】已知点A(2,-1), (1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程; (2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多

少?
(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线?若存在,求出方 程;若不存在.请说明理由.

【解题指南】(1)因为已知直线过点A,因此可选择点斜式方程,
利用到原点的距离为2列方程,解方程即可,但要注意对斜率

不存在的讨论;(2)易知最大距离时的直线与AO垂直,这样问
题即可解决;(3)可由(2)知道距离的最大值,从而得出直线是 否存在.

【规范解答】(1)过点A的直线l与原点距离为2,而点A的坐标 为(2,-1). 当斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时,原点到直线l的距

离为2,符合题意;
当斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即

kx-y-2k-1=0,由已知得
3 4

| ?2k ? 1| k ?1
2

? 2,

解得 k ? , 此时直线l的方程为3x-4y-10=0, 综上可知:直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.

(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线,由 l⊥AO,得klkOA=-1,所以 k l ? ? 1 ? 2, 由直线的点斜式得
k OA

y+1=2(x-2),即2x-y-5=0,即直线2x-y-5=0是过点A且与原点

距离最大的直线l的方程,最大距离是 ?5 ? 5.
5

(3)由(2)可知,过点A不存在到原点距离超过 5 的直线,因此

不存在过点A且与原点距离为6的直线.

【反思·感悟】1.在解答本题时,直线斜率存在时,根据题设 条件,由点到直线的距离公式得关于斜率的方程,这是很关键 的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况; 2.另外,求距离的最值时,除了考虑距离公式所要求的条件,

以防漏解、错解外,还要注意数形结合思想的应用.

对称问题 【方法点睛】1.对称中心的求法 若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标 公式求得a、b的值,即 a ? x1 ? x 2 ,b ? y1 ? y 2 ;
2 2

2.轴对称的两个公式 若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A≠0)对称,

则线段MN的中点在对称轴l上,而且连接MN的直线垂直于对称
轴l.故有

y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 ? A( 2 ) ? B( 2 ) ? C ? 0 ? ? ? y1 ? y 2 ? B ? x1 ? x 2 A ?

① . ②

3.对称问题的类型 (1)点关于点对称;(2)点关于直线对称; (3)直线关于点对称;(4)直线关于直线对称. 以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.

【例3】已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程.

【解题指南】(1)可设对称点A′的坐标为(m,n),利用AA′与
直线l垂直以及线段AA′的中点在直线l上,得出关于m、n的方 程组,解方程组即可得A′的坐标;(2)本题实质上是求直线的 方程,可想法找到两个点的坐标,即可求出直线l′的方程.也 可在l′上任取一点,利用该点关于点A的对称点在直线l上即可 得出方程.

【规范解答】(1)设对称点A′的坐标为(m,n),由已知可
?n ? 2 2 ? m ? 1 ? 3 ? ?1 得? , ? n?2 ? m ?1 2? ? 3? ?1 ? 0 ? 2 2 ? 33 ? m?? ? 13 即A′( 33 4 ). 解得 ? , ? , ? 13 13 ?n ? 4 ? 13 ?

(2)方法一:在l上任取两点(1,1)与(0, 1 ),则它们关于点
3

A(-1,-2)的对称点坐标为(-3,-5)与(-2, ? 13 )
3

∴ l′的方程为: y ? 5 ? x ? 3 , 化简得2x-3y-9=0.
? 13 ?5 3 ?2 ? 3

方法二:设点P(x,y)为l′上任意一点,则点P关于点A的对称点 为P′(-2-x,-4-y),又因为P′在直线l上,所以, 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.

【反思·感悟】1.此题是点关于线对称,线关于点对称,这类 问题都要抓住对称这一特征解决问题. 2.利用方程思想和中点坐标公式,找到已知点与未知点之间的 关系,最后代入已知方程求解.

【创新探究】新定义下的直线方程问题 【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中,设点P(x,y),

定义[OP]=|x|+|y|,其中O为坐标原点.
对于以下结论:①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积

为2;
②设P为直线 5 x+2y-2=0上任意一点,则[OP]的最小值为1; 其中正确的结论有______(填上你认为正确的所有结论的序号) .

【解题指南】①根据新定义,讨论x的取值,得到y与x的分段 函数关系式,画出分段函数的图象,即可求出该图形的面积; ②认真观察直线方程,可举一个反例,得到[OP]的最小值为1 是假命题. 【规范解答】①由[OP]=1,根据新 y 1 B

定义得:|x|+|y|=1, 上式可化为:
y=-x+1(0≤x≤1),y=-x-1(-1≤x ≤0),y=x+1(-1≤x≤0),y=x-1 (0≤x≤1),画出图象如图所示:

C
-1 o -1 D

A 1 x

根据图形得到:四边形ABCD为边长是 2 的正方形,所以面 积等于2,故①正确; ②当点P为(
2 2 0)时,[OP]=|x|+|y|= +0<1,所以[OP] , 5 5

的最小值不为1,故②错误; 所以正确的结论有:①.

答案:①

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议:

本题有以下两处创新点
(1)考查内容的创新,对解析几何问题与函数知识巧妙 创 新 结合进行考查. 点 (2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思 拨 维的创新,本题考查了学生的发散思维,思维方向与习 惯思维有所不同.

解决新概念、新定义的创新问题时,要注意以下几点: 备 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延; 考 (2)对于新概念、新结论要具体化,举几个具体的例子, 建 代入几个特殊值; 议 (3)注意新概念、新结论正用怎样,逆用又将如何,变

形将会如何.

1.(2012·海口模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)

且与y轴交于点P,则P点坐标为(
(A)(3,0) (C)(0,-3) (B)(-3,0) (D)(0,3)

)

【解析】选D. ∵点P在y轴上,∴设P(0,y), 又∵ k l ? 2, l1∥l2, ? k l ? y ? 1 ? y ? 1 ? 2,
1
2

0 ? (?1)

∴y=3,∴P(0,3).

2.(2012·大连模拟)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0, 当l1与l2相交于点P(m,-1)时,m,n的值分别为_______、 _______.

【解析】∵m2-8+n=0,2m-m-1=0,∴m=1,n=7.
答案:1 7

3.(2012·聊城模拟)若点P是曲线y=x2上的任意点,则点P到直 线y=x-2的最小距离为___________. 【解析】在曲线y=x2上任取一点P(x0,y0),则P到直线
2 2 1 7 1 7 | ?(x 0 ? ) 2 ? | (x 0 ? ) 2 ? 2 4 ? 2 4, ? 2 2 7 2 因此,当x0= 1 时其最小值为 . 8 2 答案:7 2 8 | y=x-2的距离为: x 0 ? y0 ? 2 | ? x 0 ? x 02 ? 2

4.(2011·安徽高考)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2满足k1k2+2=0. (1)证明l1与l2相交; (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.

【解题指南】(1)注意两直线相交的定义,可用反证法;先假设
l1与l2不相交,之后推出矛盾.(2)可以求出交点,代入方程;也可

消去参数k1、k2,得出椭圆方程.

【证明】(1)(反证法)假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有
k1=k2,代入k1k2+2=0,得k12+2=0. 此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1≠k2,即l1与l2相交.
2 ? x? k 2 ? k1 ? y ? k1 x ? 1 ? (2)方法一:由方程组 ? 得? ? ? k ? k1 ?y ? k2x ?1 ? ? y? 2 ? k 2 ? k1 ? 得交点P的坐标(x,y)为( 2 , k 2 ? k1 ) k 2 ? k1 k 2 ? k1

而 2x 2 ? y 2 ? 2(

k 2 ? k1 2 2 2 ) ?( ) k 2 ? k1 k 2 ? k1

8 ? k 2 2 ? k12 ? 2k1k 2 k12 ? k 2 2 ? 4 ? ? 2 ? 1, 2 2 2 k 2 ? k1 ? 2k1k 2 k1 ? k 2 ? 4
此即表明交点在椭圆2x2+y2=1上.

? y ? k1 x ? 1 ? , 方法二:交点P的坐标(x,y)满足 ? 显然x≠0,从而 ?y ? k2x ?1 ? y ?1 ? ? k1 ? x ? 代入k1k2+2=0,得 y ? 1?y ? 1 ? 2 ? 0,整理得: , ? x x ?k ? y ? 1 ? 2 x ?

2x2+y2=1, 所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.


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