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北京市西城区(北区)2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题


北京市西城区(北区)2012-2013 学年下学期高二期末考试 数学试卷(文科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 已 知 全 集 U ? ? , 2, 3, 4, 5? , 集 合 A ? ? , 3? , B ? ?3, 4? , 那 么 集 合 1 1

?CU A? ? ?CU B ? 等于
A.

?2?

B.

?2, 5?

C. ?3?

D. ? , 3, 4? 1

2. i 是虚数单位,若复数 z 满足 z ?2 ? i ? ? 7 ? i ,则 z 等于 A. 1? 3i 3. 函数 f ? x ? ? B. 1? 3i C. 3 ? i D. 3 ? i

1 的图象在点(2, f ?2 ? )处的切线方程是 x
B. x ? 4 y ? 2 ? 0 D. x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

A. x ? 4 y ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 4. 设 a, b, c ? R ,则“ ac ? bc ”是“ a ? b ”的 A. 充分但不必要条件 C. 充要条件
3 2

B. 必要但不充分条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

5. 设函数 f ?x ? ? ax ? bx ? cx ? 2 的导函数为 f ?? x ? ,如果 f ?? x ? 为偶函数,则一定有 A. a ? 0 , c ? 0 C. b ? 0 B. a ? 0, c ? 0 D. b ? 0, c ? 0

6. 对于 x ? R , 函数 f ? x ? 满足 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,f ?x ? 2? ? f ?x ? , 若当 x ? (0, 1] 时,

? 15 ? f ?x ? ? x ? 1 ,则 f ? ? 等于 ?2?
A.

1 2

B.

3 2

C.

5 2

D.

7 2

1

7. 如果数列 ?a n ??a n ? R ? 对任意 m, n ? N * 满足 a m ? n ? a m ? a n ,且 a3 ? 8 ,那么 a10 等 于 A. 1024 8. 已知函数 f ? x ? ? ?1 ? B. 512 C. 510 D. 256

? ?

a? x ?e ,若同时满足条件: x?

① ?x0 ? ?0, ? ? ? , x 0 为 f ? x ? 的一个极大值点; ② ? x ? ?8, ? ? ? , f ?x ? ? 0 。 则实数 a 的取值范围是 A. (4, 8] C. ?? ?, 0? ? [8, ? ?) B. [8, ? ?) D. ?? ?, 0? ? (4, 8]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 9. 已知命题 p : ?x ? [1, ? ?) , ln x ? 0 ,那么命题 ?p 为___________。 10. 数列 ?a n ?满足 a n ?1 ? ?
0.2 2

? n,

n为奇数,

?2a n ? 1, n为偶数

a , a 2 ? ___________, 3 ? ___________。 则

11. 设 a ? 3 , b ? 0.3 , c ? log 2 0.3 ,则实数 a, b, c 的大小关系是___________。 12. 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N * ,都有 S n ? 2 ? n ? 1 成立,则
n

a n ___________。
13. 已 知 函 数 y ?

x 的图象在 x ? 0 和 x ? 3 处的切线互相平行,则实数 x ?a
2

a ? ___________。
14. 设函数 f n ? x ? ? x ? x ? 1 ,其中 n ? N * ,且 n ? 2 ,给出下列三个结论:
n

①函数 f 2 ? x ? 在区间(

1 , 1 )内不存在零点; 2 1 ②函数 f 3 ? x ? 在区间( , 1 )内存在唯一零点; 2
③ ?n ? N * ,且 n ? 4 ,函数 f n ? x ? 在区间 ?

?1 ? , 1? 内存在零点。 ?2 ?

2

其中所有正确结论的序号为__________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 设 a ? 0 ,集合 A ? ?x || x |? a?, B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,
2

?

?

(I)当 a ? 2 时,求集合 A ? B ; (II)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 16. (本小题满分 13 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 ? 2 , S 4 ? 10 ,数列 ?bn ? 满足 a n ? log 2 bn , 其中 n ? N * 。 (I)求数列 ?a n ?的通项公式; (II)求数列 ?a n bn ? 的前 n 项和 Tn 。 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ?

1 ,其中 a ? R 。 x3

(I)求证:函数 f ? x ? 为奇函数; (II)若 a ? 3 ,求函数 f ? x ? 的极值。 18. (本小题满分 13 分) 某渔业公司今年初用 100 万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年需各种费用 4 万元, 从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加 2 万元。 (I)写出该渔船前四年每年所需的费用(不含购买费用) ; (II)假设该渔船在其年平均花费额(含购买费用)最低的时候报废,试求此渔船的使 用年限? 19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ?x ? ?

2x 1 ,且 a1 ? , a n ?1 ? f ?a n ? ,其中 n ? 1,2,3,…。 x ?1 2

(I)计算 a 2 , a3 的值; (II)设 bn ?

1 ? an ,求证:数列 ?bn ? 为等比数列; an
3

(III)求证:

1 ? an ? 1 。 2
1 2 1 x ? f ??2?x , g ?x ? ? ln x ? x 2 。 2 2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ?

(I)求函数 f ? x ? 的解析式; (II)若对于任意 x ? ?0, ? ? ? ,都有 f ?x ? ? g ?x ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围; (III)设 x1 , x2 , a1 , a 2 ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? 1 ,求证:

a1 ln x1 ? a2 ln x2 ? ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? 。

4

【试题答案】
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1. B 2. D 3. D 4. A 5. C 6. B 7. A 8. A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. ?x ? [1, ? ?) , ln x ? 0 12. 2 n ?1 ? 1 13. -1 10. 1,3 14. ②③ 11. a ? b ? c

注: 10 题第一个空 2 分, 第 第二个空 3 分; 14 题少选得 2 分, 第 多选和错选均不得分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 (如有其他方法,仿此给分) 15. (本小题满分 13 分) (I)解:因为集合 A ? ?x || x |? 2? ? ?x | ?2 ? x ? 2?, 分) (2 集合 B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?x | ?1 ? x ? 3? , 分) (4
2

?

?

所以 A ? B ? ?x | ?2 ? x ? 3?。 分) (7 (II)解:集合 A ? ?x || x |? a? ? ?x | ?a ? x ? a?( a ? 0 )(9 分) , 因为 A ? B , 所以 ?

?? a ? ?1, (11 分) ?a ? 3

解得 a ? 1。 所以 0 ? a ? 1 。 (13 分) 16. (本小题满分 13 分) (I)解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d , 由 a 2 ? 2 ,得 a1 ? d ? 2 ,①(2 分) 由 S 4 ? 10 ,得 4a1 ?

4?3 ? d ? 10 ,②(4 分) 2

根据①,②解方程,得 a1 ? 1, d ? 1 , 分) (5 所以 a n ? a1 ? ?n ? 1?d ? n 。 分) (6
5

(II)解:由(I) ,得 a n ? n ? log 2 bn , 所以 bn ? 2 。 分) (8
n

所以 Tn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 2 ,①
2 3 n

则 2Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? ?n ? 1? ? 2 ? n ? 2
2 3 4 n

n ?1

,②

由①-②,得 ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

, (11 分)

所以 Tn ? ?n ? 1? ? 2

n ?1

? 2,
n ?1

所以数列 ?a n bn ? 的前 n 项和 Tn ? ?n ? 1? ? 2 17. (本小题满分 13 分) (I)解:函数 f ? x ? ? ax ? 因为 f ?? x ? ? ?ax ?

? 2。 (13 分)

1 的定义域为 ?x | x ? R且x ? 0?。 分) (1 x3

1 ? ? f ?x ?, x3 1 所以函数 f ? x ? ? ax ? 3 为奇函数, 分) (5 x 1 (II)解:因为 f ? x ? ? 3x ? 3 , x
所以 f ??x ? ? 3 ?

3 3 x4 ?1 ? 。 分) (8 x4 x4

?

?

令 f ??x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 。 分) (9 当 x 变化时, f ? x ? 与 f ?? x ? 的变化情况如下表:

x
f ??x ? f ?x ?

( ? ? ,-1) +

-1 0 极大值

(-1,0) -

(0,1) -

1 0 极小值

(1,? ? ) +

(11 分) 所以当 x ? ?1 时, f ? x ? 有极大值 f ?? 1? ? ?4 ,当 x ? 1时, f ? x ? 有极小值 f ?1? ? 4 。 (13 分) 18. (本小题满分 13 分) (I)解:设第 n 年所需费用为 a n (单位万元) ,
6

则 a1 ? 4, a 2 ? 6, a3 ? 8, a 4 ? 10 , 分) (2 (II)解:设该渔船使用了 n?n ? N *? 年,其总花费为 y 万元,

n?n ? 1? (5 ? 2 ? n 2 ? 3n ? 100 , 分) 2 y 100 所以该渔船的年平均花费额为 W ? ? n ? (8 ? 3 , 分) n n
则 y ? 100 ? n ? 4 ? 因为 W ? n ? 所以当 n ?

100 100 ? 3 ? 2 n? ? 3 ? 23 , n n

100 ,即 n ? 10 时,年平均花费额 W 取得最小值 23。 (12 分) n

答:此渔船的使用年限为 10 年。 (13 分) 19. (本小题满分 14 分) (I)解:由题意,得 a n ?1 ? 因为 a1 ?

2a n , 分) (1 an ? 1

1 , 2 2 4 所以 a 2 ? , a3 ? , 分) (3 3 5
(II)证明:因为 a n ?1 ?

2a n , an ? 1

所以

bn ?1 bn

1 ? a n ?1 an ? 1 1 ?1 ?1 a n ?1 a n ?1 2a n 1 ? ? ? ? 。 1 ? an 1 ? an 1 ? an 2 an an an
1 ? a1 1 ? 1 ,公比为 的等比数列, 分) (7 a1 2
n ?1

所以数列 ?bn ? 是首项 b1 ?

1 ? an ?1? ? 1? ? ? (III)由(II) ,得 bn ? an ?2?
所以 a n ?

, 分) (8

2 n ?1 。 分) (9 2 n ?1 ? 1
1 2 n ?1 1 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 1 2 n ?1 ? 1 ? n ?1 ? ? ? n , 2 2 ?1 2 2 2 n ?1 ? 1 2 ?2

因为 a n ?

?

?

且当 n ? N * 时, 2

n ?1

? 1 ? 0 , 2n ? 2 ? 0 ,
7

所以 a n ?

1 1 (12 分) ? 0 ,即 a n ? 。 2 2
2 n ?1 ?1 ? 1 ? n ?1 ? 0, n ?1 2 ?1 2 ?1

因为 a n ? 1 ?

所以 a n ? 1 。 综上,对于任意 n ? N * ,都有 20. (本小题满分 14 分) (I)解:因为 f ?x ? ?

1 (14 分) ? an ? 1 。 2

1 2 x ? f ??2?x , 2

所以 f ??x ? ? x ? f ??2? 。 分) (2 令 x ? 2 ,得 f ??2? ? 1 , 所以 f ?x ? ?

1 2 (4 x ? x 。 分) 2

(II)解:设 F ? x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ? ln x ? x , 则 F ? ?x ? ?

1 (5 ? 1 , 分) x

令 F ??x ? ? 0 ,解得 x ? 1。 分) (6 当 x 变化时, F ? x ? 与 F?? x ? 的变化情况如下表:

x
f ??x ? f ?x ?

(0,1) +

1 0 极大值

?1,

? ??


所以当 x ? 1时, F ?x ?max ? F ?1? ? ?1 。 分) (9 因为对于任意 x ? ?0, ? ? ? ,都有 f ?x ? ? g ?x ? ? a 成立, 所以 a ? ?1 。 (10 分) (III)证明:由(II) ,得 F ?x ? ? ln x ? x ? ?1 ,即 ln x ? x ? 1 , 令x ?

x1 x1 x1 ? ?1, ,得 ln a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2

8

令x ? 所以

x2 x2 x2 ? ?1, ,得 ln (11 分) a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2

a1 ln

? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ? a 2 ln ? a1 ? ? a x ? a x ? 1? ? a 2 ? a x ? a x ? 1? ? ? ? a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2 2 2 2 2 ? 1 1 ? ? 1 1 ?

因为 a1 ? a 2 ? 1 , 所以 a1 ln

x1 x2 ? a 2 ln ? 1 ? a1 ? a 2 ? 0 , a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2

即 a1 ln

x1 x2 ? a 2 ln ? 0, a1 x1 ? a 2 x 2 a1 x1 ? a 2 x 2

所以 a1 ln x1 ? a1 ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? ? a2 ln x2 ? a2 ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? ? 0 , 即 a1 ln 1 ? a2 ln x2 ? ?a1 ? a2 ? ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? , 所以 a1 ln x1 ? a2 ln x2 ? ln ?a1 x1 ? a2 x2 ? 。 (14 分)

9


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