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高中数学竞赛讲义


数列 一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数 列两种,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,…,an 或 a1, a2, a3,…,an…。其中 a1 叫做数 列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数) ,则{an}称为等差数列, d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若公差 为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式: Sn= n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d; 3) an-am=(n-m)d, 其中 n, m 为正整数; 4) 若 n+m=p+q, 2 2 则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若 A,B 至少有一个不 为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn. 定义 3 等比数列,若对任意的正整数 n,都有 比。 定理 3 等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前 n 项和 Sn,当 q ? 1 时,Sn= a n ?1 ? q ,则{an}称为等比数列,q 叫做公 an a1 (1 ? q n ) ;当 1? q q=1 时,Sn=na1;3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b2=ac(b ? 0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;4) 若 m+n=p+q,则 aman=apaq。 定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 ? >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈ N), 都有|an-A|< ? ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 lim a n ? A. n ?? 定义 5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数 列,其前 n 项和 Sn 的极限(即其所有项的和)为 a1 (由极限的定义可得) 。 1? q 定理 3 第一数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)时 n=k 成立时能 推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1) , (2)可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)对一切 n≤k 的自 然数 n 都成立时(k≥n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1) , (2)可得命题 p(n)对一切自然数 n ≥n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α , β :(1)若α ? β ,则 xn=c1an-1+c2β n-1,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;(2)若α =β , 则 xn=(c1n+c2) α n-1,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律, 当然结论未必都是正确的, 但却是人类探 索未知世界的普遍方式。通常解题方式为


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