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2007--2010年四年浙江高考数学文科试题及答案详解


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2007 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数 学(文史类)试题全解全析
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)设全集U={1,3,5,6,8

},A={1,6},B={5,6,8},则(CUA)∩B= (A){6} (B){5,8} (c){6,8} (D){3,5,6,8} (2)已知 cos ?

3 ? ?? ? ?? ? ? ,且 ? ? ,则tan ? = 2 ?2 ? 2

(A) ?

3 3

(B)

3 3

(C) - 3

(D)

3

(3)“x>1”是“x2>x”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(4)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 (A)x+2y-1=0 (B)2 x+y-1=0 (C)2 x+y-3=0 (D) x+2y-3=0 (5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个水 龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是 (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3

1? ? (6) ? x ? ? 展开式中的常数项是 x? ?
(A) -36 (B)36 (C) -84 (D) 84

9

(7).若P是两条异面直线L,M外的一点,则 (A)过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 (B)过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 (C)过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 (D)过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

(8)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜.根据经验, 每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是 (A1 0.216 (B)0.36 (C)0.432 (D)0.648

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(9) 若非零向量 a,b 满足 a ? b ? b ,则( A. 2b ? a ? 2b C. 2a ? a ? ?b B. 2b ? a ? 2b D. 2a ? a ? ?b



(10) 已知双曲线

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、 a 2 b2

F2 , P 是准线上一点,且 PF1 ? PF2 , PF1 ?PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

二.填空题:本大题共7小题.每小题4分.共28分. (11)函数 y ?

x2 ? x ? R ? 的值域是______________. x2 ? 1

(12)若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则sin 2θ的值是________. 5

(13)某校有学生2000人,其中高三学生500人.为了解学生的身体素质情况,采用按年级分 层 抽 样 的 方 法 , 从 该 校 学 生 中 抽 取 一 个 200 人 的 样 本 . 则 样 本 中 高 三 学 生 的 人 数 为 ___________.

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? (14) z ? 2 x ? y 中的 x 、 y 满足约束条件 ?3 ? x ? 0 则 z 的最小值是_________. ?x ? y ? 0 ?

(15)曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在点(1,一3)处的切线方程是___________
3 2

(16)某书店有11种杂志, 2元1本的8种, 1元1本的3种. 小张用10元钱买杂志(每种至多买一本, 10元钱刚好用完),则不同买法的种数是__________(用数字作答).

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(17)已知点O在二面角α -AB-β的棱上,点P在α 内,且∠POB=45°.若对于β 内异于O 的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α -AB-β的取值范围是_________.

三.解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. (18)(本题14分)已知△ABC的周长为 2 +1,且sinA+sin B=

2 sin C
(I)求边AB的长;(Ⅱ)若△ABC的面积为

1 sin C,求角C的度数. 6

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(19)(本题14分)已知数列{ an }中的相邻两项 a2 k ?1 、 a2k 是关于x的方程

x 2 ? ? 3k ? 2k ? x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根,且 a2 k ?1 ≤ a2k
(I)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2n (n≥4)(不必证明); (Ⅱ)求数列{ an }的前2n项和S2n.

(k =1,2,3,?).

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(20)(本题14分)在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平 面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点.(I)求证: CM ⊥EM: (Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值.

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(21) (本题 14 分)如图,直线 y ? kx ? b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 交于 A,B 两点,记 △AOB 4

的面积为 S .(I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大 值; (II)当 AB ? 2 , S ? 1 时,求直线 AB 的方程.

y A

x
B

(第 21 题)

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(22)(本题15分)已知 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? kx .
2 2

(I)若k=2,求方程 f ? x ? ? 0 的解; (II)若关于x的方程 f ? x ? ? 0 在(0, 2)上有两个解x1, 2, x 求k的取值范围, 并证明

1 1 ? ?4 x1 x2

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1.【答案】:B 【分析】:由于 U={1,3,5,6,8},A={1,6} ∴CUA={3,5,8}∴(CUA)∩B={5, 【高考考点】集合的交集及补集运算 【易错点】:混淆集中运算的含义或运算不仔细出错 【备考提示】:集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容,要认真掌握,并确保得分。 2.【答案】:C 【分析】:由 cos ?

3 3 ? 1 ?? ? ?? ? ? ,得 sin ? ? ? ,又 ? ? ,∴ cos ? ? 2 2 2 ?2 ? 2

∴tan ? =- 3 【高考考点】三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式及三角函数符号。 【易错点】:本题最容易出错的是符号,另外在用诱导公式时,函数要变名,这也是一个易 措点。 【备考提示】:三角函数问题在高考中一般难度不大,常常是几个小知识点的综合,但需要 我们对所涉及的内容均要熟练掌握。 3. 【答案】:A 【分析】:由 x 2 ? x 可得 x ? 1或x ? 0 ,

? x ? 1 可得到 x

2

? x ,但 x 2 ? x 得不到 x ? 1 .故选

答案 A. 【高考考点】一元二次不等式的解法及充要条件 【易错点】:将“充分而不必要条件”及“必要而不充分条件” 混淆而出错。 【备考提示】:充要条件在数学中有着广泛应用,它可以与数学中的多个知识点结合起来考 查,是一个要重点关注的内容之一。 4.【答案】:D 【分析】 解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x ? 1 对称点为(2-x,y) : 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,? 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 化简得 x ? 2 y ? 3 ? 0 故选答案 D. 解法二根据直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D,再根据两直线交点在直线 x ? 1 选答案 D. 【高考考点】转移法求轨迹问题及轴对称的相关知识 【易错点】:运算不准确导致出错。 【备考提示】:高考中每年均有相当一部分基础题,要想得到高分,这些习题均不能大意, 要争取多得分,最好得满分。

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5.【答案】C 【分析】 因为龙头的喷洒面积为 36π ? 113 , : 正方形面积为 256, 故至少三个龙头。由于 2 R ? 16 ,故三个龙头肯定不能保证整草 坪能喷洒到水。当用四个龙头时,可将正方形 均分四个小正方形,同时将四个龙头分别放在它们的中心,由于

A

B

2 R ? 12 ? 8 2 ,故可以保证整个草坪能喷洒到水。

C

D

【高考考点】正方形及圆的面积等相关知识 【易错点】:简单计算一下面积,直接相除得答案D 【备考提示】:遇到一些数学应用问题,不仅要从理论上加以研究,还要注意问题的实际意 义,不能理想化。 6.【答案】:C 【分析】:设常数项为第 r ? 1 项,则 Tr ?1 ? C 9 ?
r

? x?

9? r

9 3r ? r ? 1? ? ? ? ? ? C 9r ? ? ?1? ? x 2 2 ? x?

r



9 3r ? ? 0 ,则 r ? 3 ,故常数项是第四项且 T4 ? ?84 ; 2 2

【高考考点】二项式定理及相关知识 【易错点】:记错二项式定理的通项,特别是其中的项数。 【备考提示】:准确掌握一些重要的公式和定理是我们解题的关键,也是我们解题的依据 7.【答案】:B 【分析】:设过点P的直线为 n ,若 n 与l、m都平行,则l、m平行,与已知 矛盾,故选项A错误。由于l、m只有惟一的公垂线,而过点P与公垂线平行的 直线只有一条,故B正确。 对于选项C、D可参考右图的正方体,设AD为直线l, A B 为直线m;若点P在 P1点,则显然无法作出直线与两直线都相交,故选项C错误。若P在P2点, 则由图中可知直线 CC '及D ' P2 均与l、m异面,故选项D错误。 【高考考点】异面直线及线线平行、垂直的相关知识。 【易错点】:空间想象能力差,找不到相应的反例 【备考提示】:正方体是大家非常熟悉的一个几何体,但很多同学不会灵活应用,从本题可 以看出,有关位置关系及射影等相关问题我们都可以借助正方体来判断。 8.【答案】D
2 【分析】:甲获胜有两种情况,一是甲以2:0获胜,此时 p1 ? 0.6 ? 0.36 1 二是甲以2:1获胜,此时 p2 ? C2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.288 ,故甲获胜的概率

'

'

p ? p1 ? p2 ? 0.648
【高考考点】独立重复事件恰好发生 n 次的概率
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2 【易错点】:利用公式 p ? C3 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.432 求得答案 C,忽视了问题的实际意义。

【备考提示】:计算概率问题要仔细分析该事件中所包含的基本事件,分类计算。 9.【答案】:A 【分析】:若两向量共线,则由于 a,b 是非零向量,且 a ? b ? b ,
B C

则必有 a=2b;代入可知只有 A、C 满足;若两向量不共线,注意到向 量模的几何意义,故可以构造如图所示的三角形,使其满足 OB=AB=BC;令 OA ? a, OB ? b,则 BA ? a-b, ∴ CA ? a-2b 且

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

O

A

a ? b ? b ;又 BA+BC>AC ∴ a ? b ? b ? a ? 2b
∴ 2b ? a ? 2b 【高考考点】向量运算的几何意义及向量的数量积等知识。 【易错点】:考虑一般情况而忽视了特殊情况 【备考提示】:利用向量的几何意义解题是向量中的一个亮点,它常常能起到化繁为简、化 抽象为直观的效果。 10.【答案】:B 【分析】:设准线与 x 轴交于 A 点. 在 Rt?PF1 F2 中,? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? PA ,

? PA ?

4ab 2ab ? 2c c
2 2

又? PA ? F1 A ? F2 A
2

?

4a 2 b 2 a2 a2 ? (c ? )( c ? ) , c2 c c

化简得 c ? 3a

,? e ?

3

故选答案 B

【高考考点】双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识。 【易错点】:不能联系三角形的有关知识,找不到解题方法而乱选。 【备考提示】:双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点,且方法较多,要善于总结各 种方法,灵活应用。

11. 【答案】:

? 0,1?

【分析】:注意到 x 2 ? 0 ,故可以先解出 x 2 ,再利用函数的有界性求出函数值域。

y y x2 2 ? 0 ,解之得 0 ? y ? 1 ; 由y? 2 ,得 x ? ,∴ 1? y 1? y x ?1
【高考考点】函数值域的求法。 【易错点】忽视函数的有界性而仿照 y ?

x ? x ? R ? 来解答。 x ?1

【备考提示】:数学中有很多问题看起来很相似,但解法有很大不同,要仔细区别,防止出
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错。 12【答案】: ?

24 25

【分析】:本题只需将已知式两边平方即可。∵ sin ? ? cos ? ?

1 ∴两边平方得: 5 1 1 24 ,即 1 ? sin 2? ? ,∴ sin 2? ? ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 25 25 25

【高考考点】同角三角函数基本关系式及二倍角公式。 【易错点】:计算出错 【备考提示】:计算能力是高考考查的能力之一,这需要在平时有针对性地加强。 13. 【答案】 50 【分析】:分层抽样即是按比例抽样,易知抽样比例为10:1,故500名高三学生应抽取的人 数为50人。 【高考考点】分层抽样的相关知识。 【易错点】:不理解分层抽样的含义或与其它混淆。 【备考提示】:抽样方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分 点,不容错过。 14.. 【答案】: ?

5 3

【分析】:将 z ? 2 x ? y 化为 y ? ?2 x ? z ,故 z 的几何意义即为直线 y ? ?2 x ? z 在y 轴 上的截距,划出点( x , y )满足的可行域,通过平移直线可知,直线 y ? ?2 x ? z 过点

5 ? 5 5? M ? ? , ? 时,直线在y 轴上的截距最小,此时 z 也就有最小值 ? . 3 ? 3 3?
【高考考点】线性规划的相关知识 【易错点】:绘图不够准确或画错相应的可行域。 【备考提示】:数形结合是数学中的重要思想方法,要特别予以重视,但作图必须准确, 到位。 15. 【答案】:

5x ? y ? 2? 0
3 2

【分析】:易判断点(1,-3)在曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 上,故切线的斜率

k ? y ' |x ?1 ? ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 ? |x ?1 ? ?5 ,∴切线方程为 y ? 3 ? ?5 ? x ? 1? ,即 5x ? y ? 2 ? 0
【高考考点】导数知识在求切线中的应用 【易错点】:没有判断点与曲线的位置关系,导致运算较繁或找不到方法。 【备考提示】:

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16【答案】:266 【分析】:根据题意,可有以下两种情况:①用 10 元钱买 2 元 1 本共有 C 8 ? 56
5
4 2

②用 10 故

元钱买 2 元 1 本的杂志 4 本和 1 元 1 本的杂志 2 本共有 C 8 ? C 3 ? 70 ? 3 ? 210

210+56=266 【高考考点】排列组合的相关知识及分析问题的能力 【易错点】:考虑问题不全面,漏掉一些情况 【备考提示】 排列组合问题最需要注意的是不重不漏, : 这就要求我们在解题时要认真分析, 全面考虑。 17.. 【答案】: ?900 ,180 0 ? ? ? 【分析】:若二面角α -AB-β 的大小为锐角,则过点 P 向平 ? 作垂线,设垂足为 H.过 H 作 AB 的垂线交于 C,连 PC、CH、OH,则 ?PCH 就是所求二面角的平面角. 根据题意得 ?POH ? 45 0 ,由于对于β 内异于 O 的任意一点 Q,都有
0 ∠POQ≥45°,∴ ?POH ? 45 ,设 PO= 2 x ,则 PH ?

2x

又∵∠POB=45°,∴OC=PC= 2x ,而在 Rt ?PCH 中应有 PC>PH ,∴显然矛盾,故二面角α -AB-β 的大小不可能为锐角。 即二面角 ? ? AB ? ? 的范围是 ?900 ,180 0 ? 。 ? ? 若二面角α -AB-β 的大小为直角或钝角,则由于∠POB=45°,结合图形容易判断对于 β 内异于 O 的任意一点 Q,都有∠POQ≥45°。
0 0 即二面角 ? ? AB ? ? 的范围是 ?90 ,180 ? 。 ? ?

【高考考点】二面角的求法及简单的推理判断能力 【易错点】:画不出相应的图形,从而乱判断。 【备考提示】 无论解析几何还是立体几何, : 借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法, 它可以将问题直观化,从而有助于问题的解决。

18. 【答案】(I)由题意及正弦定理,得 AB+BC+AC= 2 +1. BC+AC= 2 AB, 两式相减,得: AB=1. (Ⅱ)由△ABC的面积= BC?AC=

1 1 BC?ACsinC= sin C,得 2 6

1 2 4 2 ,∴ AC 2 ? BC 2 ? ? AC ? BC ? ? 2 AC ? BC ? 2 ? ? ,由余弦定 3 3 3

理,得 cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 1 ? ,所以C=600. 2 AC ? BC 2

【高考考点】正弦定理、三角形的面积计算等相关知识
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【易错点】:不能利用正弦定理进行边角转化,解题混乱。 【备考提示】:此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握,并能运用 它们灵活地进行边与角的转化,解三角形问题也是每年高考的一个重点,但难度一般不大, 是高考的一个重要的得分点。 19. 【答案】(I)解:易求得方程 x 2 ? 3k ? 2k x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k . 当k=1时 x1 ? 3, x2 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ; 当k=2时, x1 ? 6, x2 ? 4 ,所以 a3 ? 4 ; 当k=3时, x1 ? 9, x2 ? 8 ,所以 a5 ? 8 ; 当k=4时, x1 ? 12, x2 ? 16 ,所以 a7 ? 12 ;
n a ? 2n (n ? 4) 因为n≥4时, 2 ? 3n ,所以 2 n

?

?

(Ⅱ) S 2 n ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ? ? 3 ? 6 ? ? ? 3n ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n

?

?

3n 2 ? 3n = ? 2n ?1 ? 2 2
【高考考点】二次方程及等差、等比数列的有关知识; 【易错点】:不能准确理解题意而解题错误 【备考提示】:本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.对于此类 问题要认真审题、冷静分析,加上扎实的基本功就可以解决问题。 【答案】(I)证明:因为AC=BC,M是AB的中点,所以CM⊥AB. 又EA ⊥平面ABC, ∴ EA ⊥CM,且 AB ? AE ? A ∴ CM ? 平面DBAE ,所以CM⊥EM. (Ⅱ) 连接MD,设AE=a,则BD=BC=AC=2a,在直角梯形EABD中,AB= 2 2a ,M是AB中 点,所以DE=3a, EM ? 3a ,MD= 6a ,因此 DM ? EM .因为CM⊥平面EMD,所以CM ⊥DM,因此DM⊥平面EMC 故 ?DEM 是直线DE与平面EMC所成角。 在 Rt ?EMD 中,MD= 6a , EM ? 3a , ∴ tan ?DEM ?

MD ? 2 EM

【高考考点】空间线面关系、直线与平面所成角的求法 【易错点】:找不出或找错直线与平面所成角。 【备考提示】:本题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角的求法等基础知识,同时考 查空间想象能力和推理能力. 对于线面垂直问题,最常用的方法是通过线面垂直去证明,
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而求直线与平面所成角,首先要作出所求的角,再求之。同时,利用空间向量也是解决此类 问题的一个重要的方法,大家可以尝试一下。 20. 【答案】(I)证明:因为AC=BC,M是AB的中点,所以CM⊥AB. 又EA ⊥平面ABC, ∴ EA ⊥CM,且 AB ? AE ? A ∴ CM ? 平面DBAE ,所以CM⊥EM. (Ⅱ) 连接MD,设AE=a,则BD=BC=AC=2a,在直角梯形EABD中,AB= 2 2a ,M是AB中 点,所以DE=3a, EM ? 3a ,MD= 6a ,因此 DM ? EM .因为CM⊥平面EMD,所以CM ⊥DM,因此DM⊥平面EMC 故 ?DEM 是直线DE与平面EMC所成角。 在 Rt ?EMD 中,MD= 6a , EM ? 3a , ∴ tan ?DEM ?

MD ? 2 EM

【高考考点】空间线面关系、直线与平面所成角的求法 【易错点】:找不出或找错直线与平面所成角。 【备考提示】:本题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角的求法等基础知识,同时考 查空间想象能力和推理能力. 对于线面垂直问题,最常用的方法是通过线面垂直去证明, 而求直线与平面所成角,首先要作出所求的角,再求之。同时,利用空间向量也是解决此类 问题的一个重要的方法,大家可以尝试一下。

21.【答案】(Ⅰ)解:设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) ,由
2 解得 x1, ? ?2 1 ? b , 2

x2 ? b2 ? 1, 4

所以 S ?

1 b?x1 ? x2 ? 2b? 1 ? b 2 ≤ b2 ? 1 ? b2 ? 1 . 2
2 时, S 取到最大值 1 . 2

当且仅当 b ?

? y ? kx ? b, ? ? 2 1? 2 2 (Ⅱ)解:由 ? x 2 得 ? k ? ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , 2 4? ? ? y ? 1, ? ?4

? ? 4k 2 ? b2 ? 1 ,①
| AB |? 1 ? k 2 ? x1 ? x1 | ? 1 ? k 2 ? |

4k 2 ? b 2 ? 1 ? 2. 1 2 ?k 4



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设 O 到 AB 的距离为 d ,则 d ?

2S ? 1, | AB |
2

又因为 d ?

|b| 1? k
2

,所以 b ? k ? 1 ,代入②式并整理,得
2

1 1 3 ? 0 ,解得 k 2 ? , b2 ? ,代入①式检验, ? ? 0 , 2 2 4 故直线 AB 的方程是 k4 ? k2 ?
y? 2 6 2 6 2 6 2 6 x? x? x? x? 或y? 或y?? ,或 y ? ? . 2 2 2 2 2 2 2 2

【高考考点】椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等知识 【易错点】:不能准确计算或轻易舍掉一些答案。 【备考提示】:本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解 析几何的基本思想方法和综合解题能力.故此类问题一方面要求考生能熟练掌握相关知识, 并且能够有较高的分析问题和解决问题的能力,同时还要有较强的运算能力和不懈的毅力。 【答案】(Ⅰ)解:(1)当k=2时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? kx
2 2



2 2 当 x ? 1 ? 0 时,即 x ≥1或 x ≤-1时,方程化为 2 x ? 2 x ? 1 ? 0

解得 x ?
2

?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ? 1 ,故舍去,所以 x ? ,因为 0 ? . 2 2 2

1 ②当 x ? 1 ? 0 时,-1< x <1时,方程化为 2x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?
由①②得当k=2时,方程 f ? x ? ? 0 的解所以 x ? (II)解:不妨设0<x1<x2<2,

2

?1 ? 3 1 或x?? . 2 2

?2 x 2 ? kx ? 1 x ? 1 ? 因为 f ? x ? ? ? x ?1 ?kx ? 1 ?
所以 f ? x ? 在(0,1]是单调函数,故 f ? x ? ? 0 在(0,1]上至多一个解, 若1<x1<x2<2,则x1x2= ? 由 f ? x1 ? ? 0 得 k ? ?

1 <0,故不符题意,因此0<x1≤1<x2<2. 2

1 ,所以 k ? ?1 ; x1

由 f ? x2 ? ? 0 得 k ?

1 7 ? 2 x2 , 所以 ? ? k ? ?1 ; x2 2

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故当 ?

7 ? k ? ?1 时,方程 f ? x ? ? 0 在(0,2)上有两个解. 2
1 2 , 2 x2 ? kx2 ? 1 ? 0 x1

当0<x1≤1<x2<2时, k ? ? 消去k 得 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 0
2



1 1 1 1 ? ? 2x2 ,因为x2<2,所以 ? ? 4 . x1 x2 x1 x2

【高考考点】函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识 【易错点】:分析问题的能力较差,分类讨论的问题考虑不全面 【备考提示】:本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运 用所学知识、 分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力. 需要考生有较扎实的理论知识及 较强的分析问题的能力,同时要具备良好的运算能力。

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 文科数学试卷
第Ⅰ卷 (共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? ?x | x ? 0?, B ? ?x | ?1 ? x ? 2?, 则 A? B = (A) ?x | x ? ?1? (C) (B) (D)
2

?x | x ? 2? ?x | ?1 ? x ? 2?

?x | 0 ? x ? 2?
? 2

(2)函数 y ? (sin x ? cos x) ? 1 的最小正周期是 (A) (B)π
2 2

(C)

3? 2

(D) 2π

(3)已知 a,b 都是实数,那么“a >b ”是“a>b”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)已知{an}是等比数列,a1=2,a4= (A) ?

1 ,则公比 q= 4
(C)2 (D)

1 2

(B)-2

1 2

(5)已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 则 (A) ab ?

1 2

(B) ab ?

1 2

(C) a ? b ? 2
2 2

(D) a ? b ? 3
2 2

(6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含 x 的项的系数是 (A)-15 (B)85 (C)-120 (D)274 (7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( ? 交点个数是 (A)0 (8)若双曲线 是 (A)3 (B)5 (C) 3 (D) 5

4

x 2

1 3? )( x ? ?0, 2? ?) 的图象和直线 y ? 的 2 2
(D)4

(B)1

(C)2

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2,则双曲线的离心率 a2 b2

(9)对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面α ,使得
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(A) a ? ? , b ? ? (C) a ? ? , b ? ?

(B) a ? ? , b ∥α (D) a ? ? , b ? ?

? x ? 0, ? (10)若 a ? 0, b ? 0, 且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1,则以 a,b 为坐标的点 P(a,b)所形成 ?x ? y ? 1 ?
的平面区域的面积是 (A)

1 2

(B)

? 4

(C)1

(D)

? 2

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)已知函数 f ( x) ? x ? | x ? 2 |, 则f (1) ?
2

.

(12)若 sin(

?

3 ? ? ) ? , 则 cos 2? ? 2 5

.

(13)已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点 25 9


若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=

(14)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 ( 3b ? c) cos A ? a cos C , 则 cos A = .

(15)如图,已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA⊥平面 ABC。

AB⊥BC,DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于



(16) 已知 a 是平面内的单位向量, 若向量 b 满足 b?a-b)=0, ( 则|b|的取值范围是

(17)用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字), 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同, 1 和 2 相邻, 且 这样的六位数的个数是 数字作答)。

(用

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三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 n * (18) (本题 14 分) 已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p-np(n∈N , p 为常数), x1,x4, p, 且 x5 成等差数列,求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式。

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(19)(本题 14 分)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球,已知袋中共有 10 个球, 从中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 率是

2 ;从中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概 5

7 .求: 9

(Ⅰ)从中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球的概率; (Ⅱ)袋中白球的个数。

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(20)(本题 14 分)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在 平 面 互 相 垂 直 , BE ∥ CF ∠ BCF= ∠

CEF=90°,AD= 3 , EF ? 2.
(Ⅰ)求证:AE∥平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60°?

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(21)(本题 15 分)已知 a 是实数,函数 f(x)=x (x-a). (Ⅰ)若 f (1)=3,求 a 的值及曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
1

2

(Ⅱ)求 f (x) 在区间[0,2]上的最大值。

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(22) (本题 15 分)已知曲线 C 是到点 P(? , ) 和到直线

1 3 2 8

5 y ? ? 距离相等的点的轨迹,l 是过点 Q(-1,0)的直线, 8
M是C上 (不在 l 上) 的动点; B 在 l 上, A、 MA ? l , MB ? x
轴(如图)。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求出直线 l 的方程,使得

| QB |2 为常数。 | QA |

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数学(文科)试题参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 (1)A (2)B (3)D (4)D (5)C (6)A (7)C (8)D (9)B (10)C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 (11)2 (12) ?

7 25

(13)8

(14)

3 3

(15)

9? 2

(16)[0,1]

(17)40

三、解答题 (18)本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识,考查运算及推理能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由 x1 ? 3, 得

2 p ? q ? 3, 又x4 ? 24 p ? 4q, x5 ? 25 p ? 5q, 且x1 ? x5 ? 2 x4 , 得 3 ? 2 5 p ? 5q ? 2 5 p ? 8q , 解得
p=1,q=1
(Ⅱ)解:

S n ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 2 n ?1 ? 2 ? n(n ? 1) . 2

(19)本题主要考查排列组合、概率等基础知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题意知,袋中黑球的个数为 10 ?

2 ? 4. 5

记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件 A,则

P ( A) ?

2 C4 2 ? . 2 C10 15

(Ⅱ)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B。 设袋中白球的个数为 x,则

P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

2 C n ?1 7 ? , 2 9 Cn

得到 x=5 (20)本题主要考查空间线面关系、 空间向量的概念与运算等基础知识, 同时考查空间想象能 力和推理运算能力。满分 14 分。 方法一: (Ⅰ)证明:过点 E 作 EG⊥CF 并 CF 于 G,连结 DG,可得四边形 BCGE 为矩形。又 ABCD
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为矩形, 所以 AD⊥∥EG,从而四边形 ADGE 为平行四边形,故 AE∥DG。 因为 AE ? 平面 DCF,DG ? 平面 DCF,所以 AE∥平面 DCF。 (Ⅱ) 过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H, 解: 连结 AH。 由平面 ABCD⊥平面 BEFG,AB⊥BC,得 AB⊥平面 BEFC, 从而 AH⊥EF, 所以∠AHB 为二面角 A-EF-C 的平面角。 在 Rt △ EFG 中 , 因 为

EG=AD= 3, EF ? 2, 所以?CFE ? 60 ? , FG ? 1.
又因为 CE⊥EF,所以 CF=4, 从而 BE=CG=3。 于是 BH=BE?sin∠BEH= 因为 AB=BH?tan∠AHB, 所以当 AB 为

3 3 . 2

9 时,二面角 A-EF-G 的大小为 60°. 2

方法二: 如图,以点 C 为坐标原点,以 CB、CF 和 CD 分别 作为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C-xyz. 设 AB=a,BE=b,CF=c, 则 C(0,0,0),A( 3,0, a), B( 3,0,0),

E ( 3, b,0), F (0, c,0).
(Ⅰ)证明: AE ? (0, b,?a), CB ? ( 3,0,0), BE ? (0, b,0), 所以 CB ? AE ? 0, CB ? BE ? 0, 从而CB ? AE, CB ? BE, 所以 CB⊥平面 ABE。 因为 GB⊥平面 DCF,所以平面 ABE∥平面 DCF 故 AE∥平面 DCF

, 0) CE 0) (II)解:因为 EF ? (? 3 c- b, , ? ( 3,b, ,
所以 EF ? CE ? 0. EF ? 2 ,从而

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??3 ? b(c ? b) ? 0, ? ? ? 3 ? (c ? b) 2 ? 2. ?
解得 b=3,c=4. 所以 E ( 3,3, 0).F (0, 4, 0) .
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设 n ? (1, y, z ) 与平面 AEF 垂直, 则

??? ? ??? ? n ? AE ? 0, n ? EF ? 0 ,

解得

n ? (1, 3,

3 3 ). a
??? ?

又因为 BA⊥平面 BEFC, BA ? (0, 0, a) ,

??? ? BA ? n ??? ? 3 3a 1 所以 cos ? n, BA ? ? ??? ? ? , ? BA ? n a 4a 2 ? 27 2
9 . 2 9 所以当 AB 为 时,二面角 A-EFC 的大小为 60°. 2
得到

a?

(21)本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析问题和 解决问题的能力。满分 15 分。 (I)解: f '( x) ? 3x ? 2ax .
2

因为 f '(I) ? 3 ? 2a ? 3 , 所以

a ? 0.

又当 a ? 0 时, f (I) ? 1, f '(I) ? 3 , 所以曲线 y ? f ( x)在(1, f (I)) 处的切线方程为 (II)解:令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? 当

3x- y- 2= 0 .

2a . 3

2a ? 0 ,即 a≤0 时, f ( x) 在[0,2]上单调递增,从而 3

f max ? f (2) ? 8 ? 4a .


2a ? 2 时,即 a≥3 时, f ( x) 在[0,2]上单调递减,从而 3

f max ? f (0) ? 0 .
当0 ?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ,即 0 ? a ? 3 , f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递增, 3 ? 3 ? ? 3 ?

从而

?8 ? 4a, 0 ? a ? 2. ? f max ? ? 2 ? a ? 3. ?0, ?

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综上所述, f max ? ?

?8 ? 4a, a ? 2. ? ?0, ? a ? 2.

(22)本题主要考查求曲线轨迹方程,两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基 本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (I)解:设 N ( x, y ) 为 C 上的点,则

1 3 |NP|= ( x+ ) 2 ? (y ? ) 2 . 2 8
N 到直线 y ? ? 的距离为 y ?

5 8

5 . 8
5 . 8

由题设得 ( x+ ) ? (y ? ) ? y ?
2 2

1 2

3 8

化简,得曲线 C 的方程为 y ? (II)解法一:

1 2 ( x ? x) . 2

x2 ? x 设 M ( x, ) ,直线 l: y ? kx ? k ,则 B( x, kx ? k ) ,从而 2
QB ? 1 ? k 2 x ? 1 .
在 Rt△QMA 中,因为

QM ? ( x ? 1)2 (1 ?

x2 ), 4

x ( x ? 1)2 (k ? )2 2 . MA ? 2 1+k
所以

QA ? QM ? AM ?
2 2 2

( x ? 1) 2 (kx ? 2) 2 4(1 ? k 2 )

QA ?

x ? 1 ? kx ? 2 2 1? k 2



QB

2

QA

?

2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 ? 2 k x+ k
QB
2

当 k=2 时,

QA

?5 5

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从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 解法二: 设 M ( x,

x2 ? π ) ,直线直线 l: y ? kx ? k ,则 B( x, kx ? k ) ,从而 2

QB ? 1 ? k 2 x ? 1
过 (?1,0) 垂直于 l 的直线 l1: y= ? 因为 QA ? MH ,所以

1 ( x ? 1) , k

QA ?

x ? 1 ? kx ? 2 2 1? k 2



QB

2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 , ? ? 2 QA k x+ k
QB
2

2

当 k=2 时,

QA

?5 5 ,

从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0

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绝密★考试结束前

2009 年普通高等学校招生全国统一考试



学(文科)

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 3 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式
S ? 4? R
2

棱柱的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式

球的体积公式

4 V ? ?R 3 3
其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式

V?

1 h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 如果事件 A, B 互斥, 那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

1 V ? Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? ? B ? ( ) U A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} D. {x | x ? 1} 1. B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识,在集合的运算考查对 于集合理解和掌握的程度,当然也很好地考查了不等式的基本性质. 【解析】 对于 CU B ? x x ? 1 ,因此 A ? ? B ? {x | 0 ? x ? 1} . U 2.“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系,题中的设问通过对不等关系的分 析,考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度. 【解析】对于“ x ? 0 ” ? “ x ? 0 ”;反之不一定成立,因此“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的充 分而不必要条件. 3.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则

?

?

2 2 ?z ?( z



A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i 3.D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直 接考查了对于复数概念和性质的理解程度.

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2 2 2 ?z ? ? (1 ? i)2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i z 1? i 4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( ) A.若 l ? ? ,? ? ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? ,? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?
【解析】对于 4.C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系,通过对平行和垂直的 考查,充分调动了立体几何中的基本元素关系. 【解析】对于 A、B、D 均可能出现 l // ? ,而对于 C 是正确的. 5.已知向量 a ? (1, 2) ,b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b ,c ? (a ? b) ,则 c ?( A. ( , ) )

7 7 9 3

B. (? , ? )

7 3

7 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. (? , ? )

7 9

7 3

5.D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系 的考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 【解析】不妨设 C ? ( m, n) ,则 a ? c ? ?1? m ,2 ? n ?, a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b ,则 有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ?

??

? ?

? ?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

7 9

7 3

x2 y 2 6. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 在椭圆上, BF ? x 点 且 a b
轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( A.

??? ?
2 2

??? ?

) D.

3 2

B.

C.

1 3

1 2

6. 【命题意图】 D 对于对解析几何中与平面向量结合的考查, 既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用. 【 解 析 】 对 于 椭 圆 , 因 为 AP ? 2 PB , 则

??? ?

??? ?

O A2 ?

O ,? F

?a2

1 ,? ?e c 2

7. 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 k 的值是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 【命题意图】 A 此题考查了程序语言的概念和基本的应用, 通过对程序语言的考查, 充分体现了数学程序语言中循环语言 的关键. 【 解 析 】 对 于 k ? 0, s ? 1,? k ? 1 , 而 对 于

k ? 1, s ? 3,? k ? 2 , 则 k ? 2 , s ? 3 ? 8 , k ? , 后 面 是 ? 3
k ? 3, s ? 3 ? 8 ? 211 ,? k ? 4 ,不符合条件时输出的 k ? 4 . a 2 8.若函数 f ( x) ? x ? (a ? R) ,则下列结论正确的是( ) x A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数
8.C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的
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考查结合函数的性质进行了交汇设问.
2

【解析】对于 a ? 0 时有 f ? x ? ? x 是一个偶函数 9.已知三角形的三边长分别为 3, 4,5 ,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9.C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识,全面而不失灵活,考查的方法上面 的要求平实而不失灵动,既有切线与圆的位置,也有圆的移动 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于 圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 10.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ) ...

10.D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而 丰富,结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度. 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? .

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合 a

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.设等比数列 {an } 的公比 q ?

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? a4 2



11.15 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知 识点的考查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系. 【解析】对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q 3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q )

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12.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则此几何体的体积是 cm . 12. 18 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三 视图,通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考 查要求,与表面积和体积结合的考查方法. 【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为 3 ? 3 ?1 ? 9 , 因此其几何体的体积为 18
3

? x ? y ? 2, ? 13. 若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y ? x ? y ? 0, ?
的最小值是 . 13. 4【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题,此题的考查既体现了正确画 线性区域的要求,也体现了线性目标函数最值求解的要求

2 x ? Z 过点 ? 2, 0 ? 时, ? 2 x ? 3 y ?min ? 4 3 14.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间 [4,5) 上的数据的频数 ..
【解析】通过画出其线性规划,可知直线 y ? ? 为 . 14. 30【命题意图】此题考查了频率分布直方 图, 通过设问既考查了设图能力, 也考查了运用 图表解决实际问题的水平和能力

【解析】 对于在区间 ? 4, 5? 的频率/组距的数值为

0.3 ,而总数为 100,因此频数为 30

15. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的电网销售电价 表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部 分 超过 200 的部分 高峰电价 (单位:元/千瓦 时) 0.568 0.598 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 低谷电价 (单位:元/千瓦 时) 0.288 0.318

超过 200 的部分 0.668 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦 时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答). 15. 148.4 【命题意图】此题是一个实际应用性问题,通过对实际生活中的电费的计算,
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既考查了函数的概念,更侧重地考查了分段函数的应用 【解析】对于应付的电费应分二部分构成,高峰部分为 50 ? 0.568 ? 150 ? 0.598 ;对于低峰 部分为 50 ? 0.288 ? 50 ? 0.318 ,二部分之和为 148.4 16. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S 4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成等差数列. 则 类 比 以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 数列. 16. , ,

T16 成等比 T12

T8 T12 , 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数 T4 T8 T8 T12 T16 , , T4 T8 T12

列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,

成等比数列. 17.有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k , k ? 1 ,其中 k ? 0,1, 2,?,19 . 从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到 标有 9,10 的卡片, 则卡片上两个数的各位数字之和为 9 ? 1 ? 0 ? 10 ) 不小于 14 ” A , 为 则 P( A) ? 17. .

1 【命题意图】此题是一个排列组合问题,既考查了分析问题,解决问题的能力,更 4

侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平 【 解 析 】 对 于 大 于 14 的 点 数 的 情 况 通 过 列 举 可 得 有 5 种 情 况 , 即

7,8;8,9;16,17;17,18;18,19 ,而基本事件有 20 种,因此 P( A) ?

1 4
A 2 5 ? , 2 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 本题满分 14 分) ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ( 在 角 且满足 cos

??? ???? ? A B? A C 3 . ?

(I)求 ?ABC 的面积;
2

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5 4 3 2 又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? ,而 AB. AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 , 5 5 1 1 4 所以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5
18.解析:(Ⅰ) cos A ? 2 cos

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5 19. (本题满分 14 分)如图, DC ? 平面 ABC , EB / / DC , AC ? BC ? EB ? 2DC ? 2 , ?ACB ? 120? , P, Q 分别为 (I)证明: PQ / / 平面 ACD ; (II)求 AD AE, AB的中点. 与平面 ABE 所成角的正弦值. 19.(Ⅰ)证明:连接 DP, CQ , 在 ?ABE 中, P, Q 分别 1 1 是 AE, AB 的中点,所以 PQ // BE , 又 DC // BE ,所 ?? 2 ?? 2
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所以 a ?

0 0 9

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以 PQ // DC ,又 PQ ? 平面 ACD ,DC ? 平面 ACD, 所以 PQ // 平面 ACD
??

(Ⅱ)在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2, AQ ? BQ ,所以 CQ ? AB 而 DC ? 平面 ABC, EB // DC ,所以 EB ? 平面 ABC 而 EB ? 平面 ABE, 所以平面 ABE ? 平面 ABC, 所以 CQ ? 平面 ABE 由(Ⅰ)知四边形 DCQP 是平行四边形,所以 DP // CQ 所以 DP ? 平面 ABE, 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP, 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 ?DAP 在 Rt?APD 中, AD ? 所以 sin ?DAP ?

AC 2 ? DC 2 ? 2 2 ? 12 ? 5 , DP ? CQ ? 2 sin ?CAQ ? 1

DP 1 5 ? ? AD 5 5 2 * 20.(本题满分 14 分)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn ? n , n ? N ,其中 k 是
常数. (I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

20、解析:(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1,

n ? 2, a n ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,
2

? a n ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,? a 2 m ? a m .a 4 m , 即 (4km ? k ? 1) ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: mk (k ? 1) ? 0 ,

? k ? 0或k ? 1 3 2 21.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b? R) . (I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...
对任意的 m ? N ? 成立,
2 解析:(Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 (Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 2 ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有 即函数 f 0 ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a)0? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0 f 又? 整理得: (a ? 5)( a ? 1)( a ? 1) ? 0 ,解得9 5 ? a ? ?1 ? 2 0 22.(本题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距离 4 17 为 . 2 4 3 (I)求 p 与 m 的值;
2

?

f ( 0) ? b ? 0

(II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直 线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于 点M , 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N . MN 若 是 C 的切线,求 t 的最小值. 2 0 0 9 WWW.ZXXK.COM 0 4 2

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22.解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程: y ? ?

p ,根据抛物线定义 2 p 17 1 点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ? ? ,解得 p ? 2 4 2 2 ?抛物线方程为: x ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2 2 (Ⅱ)由题意知,过点 P (t , t ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。
则 l PQ : y ? t ? k ( x ? t ) ,当 y ? 0, x ?
2

? t 2 ? kt , k

则M(

? t 2 ? kt ,0) 。 k

? y ? t 2 ? k (x ? t) 2 联立方程 ? ,整理得: x ? kx ? t (k ? t ) ? 0 2 x ?y ? 即: ( x ? t )[ x ? (k ? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t 1 ? Q(k ? t , (k ? t ) 2 ) ,而 QN ? QP ,?直线 NQ 斜率为 ? k 1 ? 1 ? y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] ? l NQ : y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] ,联立方程 ? k k ? x2 ? y ? 1 1 2 2 2 整理得: x ? x ? (k ? t ) ? (k ? t ) ? 0 ,即: kx ? x ? (k ? t )[ k (k ? t ) ? 1] ? 0 k k k (k ? t ) ? 1 ,或 x ? k ? t [kx ? k (k ? t ) ? 1][ x ? (k ? t )] ? 0 ,解得: x ? ? k k (k ? t ) ? 1 [k (k ? t ) ? 1]2 , ? N (? , ) k k2 [k (k ? t ) ? 1] 2 (k 2 ? kt ? 1) 2 k2 ? K NM ? ? k (k ? t ) ? 1 ? t 2 ? kt k (t 2 ? k 2 ? 1) ? ? k k ? 2k ( k ? t ) ? 2 而抛物线在点 N 处切线斜率: k 切 ? y ? k ( k ?t ) ?1 ? x?? k k

? MN 是 抛 物 线 的 切 线 , ?
k 2 ? tk ? 1 ? 2t 2 ? 0

(k 2 ? k t ? 1) 2 ? 2k (k ? t ) ? 2 ? , k k (t 2 ? k 2 ? 1)

整理得

2 2 2 ? ? ? t 2 ? 4(1 ? 2t 2 ) ? 0 ,解得 t ? ? (舍去),或 t ? ,?t min ? 3 3 3

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 文科数学试卷
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 (1)设 P ? x x ? 1 .Q ? x x ? 4 ,则P ? Q ?
2

?

?

?

?

(A) x ?1 ? x ? 2 (C) x 1 ? x ? 4

?

?

(B) x ?3 ? x ? 1

?

? ?
(D)3

?

?

(D) x ?2 ? x ? 1

?

(2)已知函数 f ( x) ? log ? x ? 1? , 若f (a) ? 1, 则a ? (A)0 (B)1 (C)2

(3)设 i 为虚数单位,则

(A) ?2 ? 3i (C) 2 ? 3i (4)某程度框图如图所示,若输出的 S ? 57 ,则判断框内为 (A) k ? 4? (B) k ? 5? (C) k ? 6? (D) k ? 7? (5)设 S1 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a2 ? 0,则 (A)-11 (6)设 0 ? x ? (B)-8 (C)5

5?i ? 1? i (B) ?2 ? 3i

(D)2 ? 3i

S1 ? S2
(D)11

?
2

, 则“xsin2 x<1”是“xsin x<1”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (7)若实数 x、y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 则 x+y 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
(A)9 (B)

15 7

(C)1

(D)

7 15

(8)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的 体积是

352 3 cm 3 224 3 (C) cm 3
(A)

320 3 cm 3 160 3 (D) cm 3 1 ( 9 ) 已 知 x 是 函 数 f ( x )? 2 的一个零点,若 ? 1? x
(B)
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x2 ? (1, x0 ), x2 ? ( xa , ??) ,则
(A) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (9)已知 x 是函数 f(x)=22+ (A)f(x2)<0,f(x2)<0 (C)f(x1)>0,f(x2)<0 (B) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

1 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+ ? ),则 1? x
(B) f(x1)<0,f(x2)>0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0

(10)设 O 为坐标原点,F1,F2 是双曲线

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0)的焦点,若在 a2 b

双曲线上存在点 P,满足∠F1P F2=60° OP = 7 a,则该双曲线的渐近线方程为 , (A)x± 3 y=0 (C) x± 2 y=0 (B) 3 x±y=0 (D)

2 x±y=0

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分 别是 , . (12)函数 f(x)=sin2 (2x-

? )的最小正周期是 4

.

(13)已知平面向量 α ,β , ? =1, ? =2,α ⊥(α - 2β ),则 2? ? ? 的值是 .

(14)在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,

那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数是 . (15)若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是 . (16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元, 预测六月份销售额为 500 万元, 七月份销售额比六份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八
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月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是 (17)在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P,Q,M, N 分别是线段 OA、OB、OC、OD 的中点.在 A,P,M,C 中任取一点 记 为 E ,在 B ,Q ,N,D 中任 取一 点记 为 F.设 G 为满 足向 量

.

???? ??? ??? ? ? OG ? OE ? OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行
四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (18)(本题满分 13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为 △ABC 的面积,满足 S=

3 (a2+b2-c2). 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sinA+sinB 的最大值. (19)(本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,z 差为 d 的等差数{an}的前 n 项 和为 Sn,满足 S2S6+15=0. (Ⅰ)若 S5=S.求 Sn 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围. (20) (本题满分 14 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°,E 为线段 AB 的中线,将 △ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE,使平面 A′DE⊥平 面 BCD,F 为线段 A′C 的中点. (Ⅰ)求证:BF∥平面 A′DE; (Ⅱ)设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值. (21) (本题满分 15 分)已知函数 f(x)=( π -a) (a-b)(a,b∈R,a<b). (Ⅰ)当 a=1,b=2 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)设 x1,x2 是 f(x)的两个极值点,x3 是 f(x)的一个零点,且 x3≠x1,x3≠x2. 证明:存在实数 x4,使得 x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后构成等差数列,并求 x4. (22)(本题满分 15 分)已知 m 是非零实数,抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点 F 在直线 l:x-my-

m2 =0 上. 2

(Ⅰ)若 m=2,求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 抛物线 C 的准线的垂直,垂足为 A1,B1,△AA1F,△BB1F 的重 心分别为 G,H.求证:对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外.

数学(文科)试题参考答案
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一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 (1)D (2)B (3)C (4)A (5)A (6)B (7)A (8)B (9)B (10)D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 (11)45,46 (14)n2+n (12) (15)18

π 2

(13) (16)20

10
(17)

3 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 (18)本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解 能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题意可知

3 1 absinC= ,2abcosC. 4 2
所以 tanC= 3 . 因为 0<C< π , 所以 C=

π . 3 2π -A) 3

(Ⅱ)解:由已知 sinA+sinB=sinA+sin( π -C-A)=sinA+sin(

=sinA+ 当△ABC 为正三角形时取等号, 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 .

3 1 π A+ sinA= 3 sin(A+ )≤ 3 . 2 2 6

(19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题 解决问题的能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题意知 S0= a=S-S=-8 所以 ?

-15 -3, S5

? Sa1 ? 10d ? 5, ? a 1 ?5d ? ?8.

解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7 (Ⅱ)解:因为 SS+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8.
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所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2 或 d≥2 2 . (20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象 能力和推理论证能力。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 G,连结 GF,CE,由条件易知 FG∥CD,FG= BE∥CD,BE=

1 CD. 2

1 CD. 2

所以 FG∥BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以 BF∥平面 A′DE. (Ⅱ)解:在平行四边形 ABCD 中,设 BC=a, 则 AB-CD=2A,AD=AE=EB=a, 连 CE. 因为∠ABC=120°, 在△BCE 中,可得 CE= 3 a, 在△ADE 中,可得 DE=a, 在△CDE 中,因为 CD2=CE2+DE2,所以 CE⊥DE, 在正三角形 ADE 中,M 为 DE 中点,所以 A′M⊥DE. 由平面 ADE 平面 BCD, 可知 AM⊥平面 BCD,A′M⊥CE. 取 A′E 的中点 N,连线 NM、NF, 所以 NF⊥DE,NF⊥A′M. 因为 DE 交 A′M 于 M, 所以 NF.平面 A′DE, 则∠FMN 为直线 FM 与平面 A′DE 新成角. 在 Rt△FMN 中,NF= 则 cos/

3 1 a,MN= a,FM=a, 2 2

=

1 . 2 1 . 2

所以直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值为

(21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础 知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分 15 分。 (Ⅰ)解:当 a=1,b=2 时, 因为 f′(x)=(x-1)(3x-5). 故 f′(2)=1.

又 f(2)=0,
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所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2. (Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a)(x- 由于 a<b. 故 a<

a ? 2b ), 3

a ? 2b . 3

所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= 不妨设 x1=a,x2=

a ? 2b , 3

a ? 2b . 3

因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点, 故 x3=b. 又因为

a ? 2b a ? 2b -a=2(b- ), 3 3 1 a ? 2b 2a ? b x4= (a+ )= , 2 3 3 2a ? b a ? 2b 所以 a, , ,b 依次成等差数列, 3 3 2a ? b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3
(22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:因为焦点 F(

P ,0)在直线 l 上,得 2

p=m2, 又 m=2,故 p=4. 所以抛物线 C 的方程为 y2=8x. (Ⅱ)证明:因为抛物线 C 的焦点 F 在直线 l 上, 所以 p,lm2, 所以抛物线 C 的方程为 y2=2m2x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

? m2 , ? x ? my ? 由? 2 消去 x 得 ? y 2 ? 2 m 2 x, ?
y2-2m3y-m4=0, 由于 m≠0,故 ? =4m6+4m4>0, 且有 y1+y2=2m3,y1y2=-m4, 设 M,M2 分别为线段 AA1,BB1 的中点, 由于 2 M 1C ? CF , 2M 2 H ? HF , 可知 G(

?????

??? ?????? ?

????

x1 2 y1 x 2y ),H( 2 , 2 ), , 3 3 3 3

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所以

x1 ? x2 m( y1 ? y2 ) ? m2 m4 m2 ? ? ? , 6 6 3 6

2 y1 ? 2 y2 2m3 ? , 6 3
? m 2 m 2 2m 2 ? ? , ?. 6 3 ? ? 3

所以 GH 的中点 M ?

设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径, 则 R2=

1 1 2 GH ? (m2+4)(m2+1)m2. 4 9
m2 ,0), 2
2

设抛物线的准线与 x 轴交点 N(-

? m 2 m 4 m 2 ? ? 2m 3 ? ? ? 则 MN = ? ??? ? 3 6 ? ? 3 ? ? 2
2

1 4 4 m (m +8 m2+4) 9 1 = m4[(m2+1)( m2+4)+3m2] 9 1 > m2 (m2+1)( m2+4)=R2. 9
= 故 N 在以线段 GH 为直径的圆外.

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