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12 互斥事件有一个发生的概率


1.2 互斥事件有一个发生的概率 学法导引 本节主要是学会用事件的互斥分解的方式来解决概率问题.加强对互斥这一概念的理解和 运用是掌握这节知识的关键,而对较复杂的概率问题,可多联想用求事件的对立事件的方法 求解. 知识要点精讲 知识点 2 互斥事件的概率,如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B).

知识点 4 对立事件的概率 对立事件概率的和等于 1,即 解题方法、技巧培养 出题方向 1 互斥事件至少有一个发生的概率 互斥事件至少有一个发生的概率,通常情况下, 可以使用公式 例 1 有 10 件产品分 3 个等级,其中一等品 4 件,二等品 3 件,三等品 3 件,从 10 件产 品中任意取出 2 件,求取出的 2 件产品同等次的概率. 出题方向 2 利用事件分解解决互斥事件的概率. 通过对事件的分解来解决互斥事件的概率问题,是概率问题中的一个主要方法之一. 例 2 现有 10 张奖券,其中 2 张是有奖的,由甲、乙、丙三人按顺序各抽一张,求:(1) 乙中奖的概率;(2)甲未中奖的概率;(3)乙、丙至少有一人中奖的概率;(4)三人中只有一人 中奖的概率. [分析] 设 A、B、C 分别表示甲、乙、丙中奖这一事件. (1)事件乙中奖,可以分解成甲中乙中丙不中、甲不中乙中丙中、甲不中乙中丙不中这三个 事件的和事件. 所以乙中奖的概率为: 点拨 利用分解的方式来处理复杂事件的概率,是一种特别有效的方法. 出题方向 3 利用对立事件的概率来求事件概率 有时求一个事件的概率比较麻烦,我们就可以利用该事件的对立事件的概率来求该事件的 概率. 例 3 两台雷达独立地工作,在一段时间内,甲雷达发现飞行目标的概率为 0.9,乙雷达发 现飞行目标的概率为 0.85,计算在这段时间内,下列各事件的概率 (1)至少有一台雷达发现飞行目标;(2)至多有一台雷达发现目标. [分析] 设事件 A:甲雷达发现飞行目标;事件 B:乙雷达发现飞行目标.因为两雷达独立 工作,故事件 A 与事件 B 相互独立. [解法一] 因为至少有一台雷达发现目标, 即事件: [解法二] ①因为事件至少有一台雷达发现飞行目标,与事件两台雷达均未发现目标是对 立事件,所以所求的概率为 [解法三] 至多有一台雷达发现目标与两台雷达同时发现目标是对立事件,可以利用对立 事件的概率来求解. 所求事件的概率为 1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.9×0.85=0.235. 易错易混点警示 例 4 有一个电路图如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 0.25,图 中都是断开的位置,而且各开关是否闭合均为独立的,则灯亮的概率是多少.

[错解] 分类讨论.当 AB 段成为通路时,是 A、B 同时闭合,其概率为 0.25×0.25;同理, 当 EF 段成为通路时,是 E、F 同时闭合,其概率也为 0.25×0.25;又 AB 段、EF 段、D 段、C 段分别成为通路是互斥的,所以灯亮的概率为 [错因分析] 在错解中 AB 段、EF 段、D 段、C 段分别成为通路并不是互斥的,它们可能同 时发生. [正解] 设 A、B 中至少有一个不闭合的事件为 T,E、F 中至少有一个不闭合的事件为 R, 则 综合应用创新 【综合能力升级】 概率与解析几何的综合是常见的题型,解题时,通常采用分类思想,将复杂的事件化为彼 此互斥的事件的和. 例 5 已知直线 Ax+By+C=0,若 A、B、C、从-5,-3,-1,0,2,4,7,9 八个数中 选取不同的三个数,求确定斜率小于 0 的直线的概率. 例 6 袋中装有 3 个五分硬币,3 个二分硬币,4 个一分硬币,现从中随机取 3 个,求总数 超过八分的概率. [分析] 设总分超过八分为事件 A,则 A 包含以下四个事件:(1)取到 3 个五分硬币;(2) 取到 2 个五分硬币和 1 个一分硬币;(3)取到 2 个五分硬币和 1 个一分硬币;(4)取到 1 个五 分硬币和 2 个二分硬币,并且把这四个事件分别设为 B、C、D、E,则事件 A=B+C+D+E, 由于这四个事件分别互斥,所以 由此可见,分解成互斥事件的和事件的形式,是解决问题的一种好办法. 【应用创新能力升级】 互斥事件的概率可应用于体育项目用以检查运动员的综合水平,对立事件的概率广泛应用 于含“至少”“至多”等类型的实际问题. , 例 7 甲击中目标的概率是 0.5,乙击中目标的概率是 0.4,两人各射击一次, “目标被击 中的概率是 0.5+0.4=0.9” ,这种说法对吗?为什么? [分析] 本题不是计算题,不妨逆向思考,看其是否符合概率的某种类型. [解] 题中说法不对. 因为“甲射击一次,击中目标”与“乙射击一次,击中目标”这两件事不互斥,而且有可 能同时发生,因此不能运用互斥事件的概率加法公式来计算. 例 8 房间里有 500 个人,问其中至少有 1 人的生日在 10 月 1 日的概率是多少?(一年 365 天) [分析] 直接按互斥的类型去思考入手较繁,可考虑对立事件. [解] 设 A 为至少有 1 个人的生日在 10 月 1 日,则 A 为没有 1 人的生日在 10 月 1 日. 点拨 “至少”“至多”问题,一般采用求此事件的对立事件的概率. 、 高考链接 本节知识是高考考查的重点内容之一,主要考查如何将一事件分解为互斥事件或利用对立 事件求某一事件的概率,题型多以大题的形式出现. 例 9 (2002 年, 天津)某单位 6 名员工借助互联网开展工作, 每个员工上网的概率都是 0.5, 而且相互独立. (1)求至少 3 人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于 0.3. [分析] (1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率. 因此,至少 5 人同时上网的概率小于 0.3. 例 10 (2004 年,四川)已知 8 支球队有 3 支弱队,以抽签的方式将这 8 支球队分成 A、B

两组,每组 4 支,求: (1)A、B 两组中恰有两支弱队的概率; (2)A 组中至少有两支弱队的概率. 而 A、B 两组中恰有两支弱队即 A 组有两支弱队或 B 组中有两支弱队, 方法 2:A、B 两组中恰有两支弱队的对立事件为 3 支弱队在同一个组中. (2)A 组中至少有两支弱队分为 A 组中恰有两支弱队或 A 组中有 3 支弱队,A 组中有 2 支弱 队的概率为


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