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对数与对数函数


[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1.若 x∈(e A.c>b>a
-1,

1?ln x ln x 1),a=ln x,b=? ?2? ,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为( B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c

)

1?ln x

-1, 解析:依题意得 a=ln x∈(-1,0),b=? ?2? ∈(1,2),c=x∈(e 1),因此 b>c>a,选 B. 答案:B 2.(2013 年高考湖南卷)函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个 数为( A.3 C.1 ) B.2 D.0

解析:画出两函数的大致图像,可得两图像的交点个数为 2. 答案:B 3.函数 y=log2|x|的图像大致是( )

? ?log2x,x>0, 解析:函数 y=log2|x|=? ?log2?-x?,x<0, ?

所以函数图像为 A. 答案:A 4. (2014 年宣城模拟)若 a= A.a>b>c C.c>b>a ln26 ln2π , b=ln 2×ln 3, c= , 则 a, b, c 的大小关系是( 4 4 B.c>a>b D.b>a>c ln 2+ln 3?2 ln26 2 ? ? = 4 =a,排除 D, )

解析:∵ln 6>ln π>1,∴a>c,排除 B,C;b=ln 2· ln 3<? 故选 A. 答案:A

log x x>0, ? ? 2 5.设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ?log2?-x?,x<0. ?

)

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)
? ?a>0 解析:由题意可得? 或 ?log2a>-log2a ?

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

a<0 ? ? ? 1 , log ?-a?>log2?-a? ? ? 2 解得 a>1 或-1<a<0,因此选 C. 答案:C 1 6.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0, )

?

2? 2?

B.?

2 ? C.(1, 2) ? 2 ,1?

D.( 2,2)

解析:利用指数函数和对数函数的性质求解. 1 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴0<a<1,排除答案 C,D; 2 1 1 1 11 取 a= ,x= ,则有 4 =2,log =1,显然 4x<logax 不成立,排除答案 A;故选 B. 2 2 2 22 答案:B 二、填空题 7.(2013 年高考四川卷)lg 5+lg 20的值是________. 1 1 解析:原式= lg 5+ (lg 4+lg 5) 2 2 1 1 = lg 5+lg 2+ lg 5=lg 2+lg 5=1. 2 2 答案:1 1 ? ?log2x,x≥1 8.(2013 年高考北京卷)函数 f(x)=? 的值域为________. x ? ?2 ,x<1 1 解析:由 x≥1 时,log x≤0,x<1 时,0<2x<2, 2 ∴f(x)的值域(-∞,2) 答案:(-∞,2) 1? 9.若不等式 x2-logax<0 在? ?0,2?内恒成立,则 a 的取值范围是________. 1? 解析:∵不等式 x2-logax<0 在? ?0,2?内恒成立, 1 1 ∴0<a<1,且 <loga . 4 2

0<a<1, ? ? 1 ∴? 1 1 解得 <a<1. 16 ? ?a4>2, 1 ? 答案:? ?16,1? 三、解答题 1 1 1 1 lg 32+log416+6lg ?+ lg . 10.求值 ? 2? 5 5 5? 1?6 1? 1 解析:原式= ?lg 32+2+lg? ?2? +lg5? 5? 1 1?? 1 · = ? 2+lg? 64 5?? ?32· 5? 1 1 2+lg ? = ? 10? 5? 1 1 = [2+(-1)]= . 5 5 11.求函数 f(x)=loga(2x2-5x+3)的单调区间. 解析:设 y=logau,u=2x2-5x+3. 3 由 2x2-5x+3>0,解得 x<1 或 x> . 2 且 u=2x2-5x+3 在(-∞,1)上是减函数, 3 ? 在? ?2,+∞?上是增函数. 当 a>1 时,y=logau 是增函数, 3 ? 则函数 f(x)的单调减区间是(-∞,1),单调增区间是? ?2,+∞?. 当 0<a<1 时,y=logau 是减函数, 3 ? 则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,1),单调减区间是? ?2,+∞?. 12.(能力提升)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a· 2x-a)有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 log4(4 x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,


1 即(2k+1)x=0,∴k=- . 2 1 (2)依题意令 log4(4x+1)- x=log4(a· 2x-a), 2

x ? 2x-a?· 2x ?4 +1=?a· 即? x , ?a· 2 -a>0 ?

令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满足题意. ①当 a=1,t=-1 时,不合题意. ②上式有一正一负根 t1,t2, Δ=a -4?1-a?>0, ? ? 即? , 1 t1t2= <0 ? 1-a ? 经验证满足 a· 2x-a>0,∴a>1. ③上式有两根相等,即 Δ=0?a=± 2 2-2, 此时 t= a , 2?a-1?
2

a 若 a=2( 2-1), 则有 t= <0, 此时方程(1-a)t2+at+1=0 无正根, 故 a=2( 2- 2?a-1? 1)舍去; a a?2-a? a 若 a=-2( 2+1), 则有 t= >0, 且 a· 2x-a=a(t-1)=a?2?a-1?-1?= ? ? 2?a-1?>0, 2?a-1? 因此 a=-2( 2+1). 综上所述,a>1 或 a=-2-2 2. [B 组 因材施教· 备选练习] 1 1.若 a=log32,b=ln 2,c=5- ,则下列结论正确的是( 2 A.b<a<c C.c<b<a 解析:a= c<a<b. 答案:D 2.两个函数的图像经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四 个函数: f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x), 则是“同形”函数的是( A.f2(x)与 f4(x) C.f1(x)与 f4(x) ) B.f1(x)与 f3(x) D.f3(x)与 f4(x) B.a<b<c D.c<a<b 1 1 1 1 1 1 , b= ,c= ,因为 5>log23>log2e>1,所以 < < ,即 log23 log2e 5 5 log23 log2e )

解析:因为 f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以 f2(x)=log2(x+2),沿着 x 轴先向右平移 2 个 单位得到 y=log2x 的图像,然后再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可得到 f4(x)=log2(2x)=1+

log2x,根据“同形”函数的定义,f2(x)与 f4(x)为“同形”函数.f3(x)=log2x2=2log2|x|与 f1(x) =2log2(x+1)不“同形”,故选 A. 答案:A 3.(2014 年福州模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”∶x*y=lg(10x+10y),x,y∈R, 当 x*x=y 时,记 x=* y.对于任意实数 a,b,c,给出如下结论: ①(a*b)*c=a*(b*c);②(a*b)+c=(a+c)*(b+c);③a*b=b*a;④* a*b ≥ 其中正确的结论是________.(写出所有正确结论的序号) 解析: 因为 (a*b)*c = [lg(10a + 10b)]*c = lg(10lg(10a + 10b) + 10c) = lg(10a + 10b + 10c) , a*(b*c) = a*[lg(10b + 10c)] = lg(10a + 10lg(10b + 10c)) = lg(10a + 10b + 10c) , 所 以 (a*b)*c = a*(b*c),即①对;(a*b)+c=lg(10a+10b)+c=lg[(10a+10b)×10c]=lg(10a c+10b c)=(a+
+ +

a+b . 2

c)*(b+c),所以②对;因为 a*b=lg(10a+10b),b*a=lg(10b+10a),所以 a*b=b*a,即③对; 设* a*b=x, 则 x*x=a*b,所以 lg(10x+10x)=lg(10a+10b),2×10x=10a+10b,所以 x= lg 10a+10b 10a+10b 2 10a· 10b a+b ,即* a*b=lg ≥lg = ,故④对.综上,正确的结论是:① 2 2 2 2

②③④. 答案:①②③④


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