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高一数学必修三课件3.1.3概率的基本性质


新课导入
事件的分类及概率的定义: 必然事件 确定事件 不可能事件 事件 随机事件 概率P(A) :随机事件发生的可能性大小。

频率和概率的关系:
nA (1) 频率fn(A)= n 总在P(A)附近摆动

当n越大时,摆动幅度越小。 (2)0≤P(A)≤1 不可能事件的概率为 0; 必然事件为 1; 随机事件的概率

:0<P(A)<1。

在掷骰子试验中,可以定义许多事件,例如:
C1={出现1点} C2={出现2点} …… C6={出现6点} 事件间有什 么关系呢? D={出现的点数不大于1 } E={出现的点数小于7} F={出现的点数大于6} G={出现的点数为偶数} H={出现的点数为奇数} T={出现的点数为3的倍数}

1.事件的关系与运算 2.概率的几个基本性质

教学目标
知识与技能
(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相 等事件,以及互斥事件、对立事件的概念; (2)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与 对立事件的区别与联系。

(3)概率的几个基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,

因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:

P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然

事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有
P(A)=1—P(B)。

过程与方法
通过事件的关系、运算与集合的关系、 运算进行类比学习,培养学生的类化与归纳 的数学思想。

情感态度与价值观
通过数学活动,了解教学与实际生活的 密切联系,感受数学知识应用于现实世界的 具体情境,从而激发学习数学的情趣。

教学重难点
重点
概率的加法公式及其应用。

难点
事件的关系与运算。

1.事件的关系与运算
在之前的掷骰子试验中,可以定义许 多事件,C1,C2,…C6,D,E,F,G,H,T,他们之 间有什么联系呢? 分析: 事件C1 ={出现 1 点 }发生,则事件 H ={出 现的点数为奇数 }也一定会发生,所以类似于 集合,我们定义:事件H包含事件C1。

包含关系
一般地,对于事件A与事件B,如果 事件A发生,则事件B一定发生,这时称事 件B包含事件A(或称事件A包含于事件 B),记作 B ? A(或A ? B) 。

包含关系的图解: 如图:

观察

B A
任何事件都包括不可能事件。

相等关系
一般地,对事件A与事件B, 若 B ? A且A ? B ,那么称事件A与事件 B相等,记作A=B。

相等关系的图解: 如图:

观察

BA

举例
事件 C1 ={ 出现1 点 }发生,则事件 D1 ={出 现的点数不大于 1 }

就一定会发生,反过来也一样,所以C1=D1。

并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事

件B发生,则称此事件为事件A和事件B的并
事件(或和事件),记作 B ∪ A(或A + B) 。

并事件关系的图解: 如图:

观察

B

A

举例
例.若事件 J={出现 1 点或 5 点 } 发生,则 事件C1 ={出现 1 点 }与事件 C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会发生, 则 。 J ? C1 ? C5

交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件 B发生,则称此事件为事件A和事件B的交事 件(或积事件),记作 B ? A(或AB) 。

交事件关系的图解: 如图:

观察

B

A

举例
例.若事件 M={出现 1 点且 5 点}发生,则 事件 C1 ={出现 1 点} 与事件 C5 ={出现 5 点} 同时发生, 则 M ? C1 ? C5 。

互斥事件
若 A ? B 为不可能事件( A ? B = θ ), 那么称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A 与事件B在任何一次试验中都不会同时发生。

互斥事件关系的图解: 如图:

观察

A

B

举例
例.因为事件 C1 ={出现 1 点} 与
事件C2 ={出现 2 点}不可能同时发生,

故这两个事件互斥。

对立事件
若 A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然 事件,那么称事件A与事件B互为对立事件, 其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中 有且仅有一个发生。

互斥事件关系的图解: 如图:

观察

A

B

举例

例. 事件G ={出现的点数为偶数}与 事件H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。

(1)包含关系: B ? A(或A ? B)

(2)相等关系: A=B (B ? A且A ? B)
(3)并事件(和事件): A ∪ B(或A + B) (4)交事件(积事件): (5)互斥事件: A ∩ B = θ

A ∩ B(或AB)

(6)互为对立事件:

A∩B = θ

且 A U B 是必然事件

概率的加法公式
如果事件 A 与事件 B 互斥,则
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

特别地,如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件, 则 P ( A) ? 1 ? P( B)

2. 概率的基本性质: ①0≤P(A)≤1 ②必然事件为1 ③不可能事件的概率为0 ④当事件A与事件B互斥时:n(A∪B)= fn(A)+ fn(B) f 概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+ P(B)

⑤事件A与事件B互为对立事件 P(A)=1-P(B)

如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机 抽取一张,那么 取到红心(事件A)的概率是 1/4,取到方块(事件B)的概率是1/4。问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

解: (1)因为 C = A U B ,且A与B不会同时发生, 所以A与B是互斥事件,根据概率的加法公式, 得

1 P(C) = P(A) + P(B) = 2

(2)因为C与D是互斥事件,又由于 C U D 为必 然事件,所以 C与D互为对立事件,所以

1 P(D) = 1 - P(C) = 2

袋中有12个小球,分别为红球、黑球、 黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概 1 率为 3 ,得到黑球或黄球的概率是 5 ,
5 得到黄球或绿球的概率也是 , 12
12

试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的 概率各是多少?

解: 从袋中任取一球,记事件“摸到红球” 、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿 球”为A、B、C、D,则有 5 P(B∪C)=P(B)+P(C)= 12 5 P(C∪D)=P(C)+P(D)= 12

2 1 P(B∪C∪D)=1-P(A)=1= 3 3 1 1 1 解的P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 4 6 4
6 4

答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分 1 1 1 别是 4

课堂小结
1. 概率的基本性质: (1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因 此0≤P(A)≤1; (2)当事件A与B互斥时,满足加法公式: P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事 件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B);

2. 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不 会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件A发生且事件B不发生; (2)事件A不发生且事件B发生; (3)事件A与事件B同时不发生, 而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个 发生,其包括两种情形;(a)事件A发生B不发 生;(b)事件B发生事件A不发生,对立事件互 斥事件的特殊情形。

高考链接
1(2007浙江)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比 赛规则为”3局2胜“,即以先赢2局者为胜。根 据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本 次比赛甲获胜的概率是( ) D

A.0.216
C.0.432

B.0.36
D.0.648

解析:
甲获胜有两种情况,一是甲以2:0获 胜,此时P1=0.62=0.36,二是甲以2:1获胜, 1 此时P2=C · 2 0.6×0.4×0.6=0.288,甲获胜 的概率P=P1+P2=0.648。

2(2007湖北)连掷两次筛子得到的点数分别为 m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为 ? θ,则θ∈(0, ]( C ) 2

5 A. 12

1 B. 2

7 C. 12

5 D. 6

解析: 向量夹角的定义,当点A(m,n)位于直线y=x ? 上及其下方时,满足θ∈(0, ],点A(m,n)的 2 总个数为6×6个,而位于直线y=x上及其下方的 1 1 1 1 点A(m,n)有6+1+C 2 +C 3 +C 4 +C 5 =21个,故 7 所求概率为
12

3(2009湖北)甲、乙、丙三人将参加某项测试, 他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三 人都达标的概率是______,三人中至少有一人 0.24 达标的概率是________。 0.96

解析: 本题考查概率的基础知识,三人都达 标的概率为P=0.8× 0.6 ×0.5=0.24,三人 中至少有一人达标的概率是P1=1-(1-0.8)(10.6)(1-0.5)=0.96 。

随堂练习
1.如果某士兵射击一次,未中靶的概率为0.05, 求中靶概率。 解:设该士兵射击一次,“中靶”为事件A,“未 中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件,故P(A)=1-P(B) =1-0.05=0.95。

2.甲,乙两人下棋,若和棋的概率是0.5,乙 获胜的概率是0.3 求:(1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率。 解:(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立 事件,因为“和棋” 与“乙获胜”是互斥事件, 所以 甲获胜的概率为:1-(0.5+0.3)=0.2 (2)设事件A={甲不输},B={和棋},C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件,所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7

3.已知,在一商场付款处排队等候付款的人数 及其概率如下: 排队 人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 0.04

求至多2个人排队的概率。

解:设事件Ak={恰好有k人排队},事件A={至 多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0,A1,A2这三个

事件是互斥事件,
所以, P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56

习题答案
1. 2. 3. 4. 5. 0.7 0.615 0.4 D B


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