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离散型随机变量及其分布列


一对一授课教案
学员姓名: 上课时间: 老师签名 教学主题 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 离散型随机变量及其分布列 年 年级: 月 日 时 所授科目: 分至 时 分共 学生签名 小时

离散型随机变量的均值与方差 1.一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn 为 ξ 均值或数学期望,简称期望. 的

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

称 D? = ( x1 ? E? ) ? p1 + ( x2 ? E? ) ? p2 +?+ ( xn ? E? ) ? pn 为随机变量 ? 的均方差,
2 2

2

简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ? 的期望. 标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ? 的标准差,记作 ?? .

1

2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的平均水 平;方差 DX 表示 X 对 EX 的平均 偏离程度, DX 越大,表示平均偏离程度越大,说明 X 的取值越分散; DX 越小,表示平均偏离程度越小,说明 X 的取值越集中稳定。 正态分布: 1.正态分布密度函数:
? 1 f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

,(σ >0,-∞<x<∞)

其中π 是圆周率;e 是自然对数的底;x 是随机变量的取值;μ 为正态分布的均值;σ 是正 态分布的标准差.正态分布一般记为 N (? , ? 2 )
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2.正态分布 N (? , ? 2 ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布

3.正态曲 线的性质:正态分布由参数μ 、σ 唯一确定,如果随机变量 ? ~N(μ ,σ ),根
2

据定义有:μ =E ? ,σ =D ? 。 正态曲线具有以下性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交。
2

(2)曲线关于直线 x =μ 对称。 (3)曲线在 x =μ 时位于最高点。 (4)当 x <μ 时,曲线上升;当 x >μ 时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐近线,向它无限靠近。 (5)当μ 一定时,曲线的形状由σ 确定。σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中。 4.标准正态曲线:当μ =0、σ =l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是

f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

,(-∞<x<+∞),其相应的曲线称为标准正态曲线

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标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问 题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题:
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y 标准正态分布曲线 f?x? =

? ?

1 ?e 2??

??
x2 2

x

x

2

对于标准正态总体 N(0,1), ?( x0 ) 是总体取值小于 x0 的概率,即 ?( x0 ) ? P( x ? x0 ) , 其中 x0 ? 0 ,图中阴影部分的面积表示为概率 P( x ? x0 ) 只要有标准正态分布表即可查表
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解决.从图中不难发现:当 x0 ? 0 时, ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) ;而当 x0 ? 0 时,Φ (0)=0.5 三种分布 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)二项分布,X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p); (3)若 X 服从超几何分布,则 E(X)=n .

M N

[例 1]

一只口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球,那么: (1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少? (2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?

[思路点拨] 先摸出 1 个白球后放回或不放回, 影响到后面取到白球的概率, 应注意两个事 件同时发生的概率的不同.

[精解详析]

(1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A,“再摸出 1 个白球”为事件 B,则

“先后两次摸到白球”为 AB,先摸 1 球不放回,再摸 1 球共有 4×3 种结果. ∴P(A)= 2×3 1 2×1 1 = ,P(AB)= = . 4×3 2 4×3 6 ∴P(B|A)= P?AB? 1 = . P?A? 3

(2)设“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1,“再摸出 1 个白球”为事件 B1,两次都摸到白球 为事件 A1B1. 2×4 1 2×2 1 ∴P(A1)= = ,P(A1B1)= = . 2 4×4 4×4 4 1 P?A1B1? 4 1 ∴P(B1|A1)= = = . P?A1? 1 2 2

3

[例 2]甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地

一年中雨天所占的比例分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?

解:设“甲地为雨天”为事件 A,“乙地为雨天”为事件 B,由题意,得 P(A) =0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12. (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)= (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)= P?AB? 0.12 = ≈0.67. P?B? 0.18 P?AB? 0.12 = =0.60. 0.2 P?A?

1.某种动物能活到 20 岁的概率为 0.8,能活到 25 岁的概率为 0.4,现有一只 20 岁的这种动 物,问它能活到 25 岁的概率是________. 2.1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到 的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于()

1 A. 8

B.

1 4

C.

2 5

D.

1 2

答案:1. 0.5

2.B
区别

互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系.(投彩子举例)
名称 定义 互斥 事件 对立 事件 事件个数 在一次试验中不能同时发 两个或两个以 生的事件 上 ①两事件互斥, 但不一 定对立;反之一定成 在一次试验中不能同时发 两个 立; ②两事件独立, 则 生但必有一个发生的事件 不一定互斥(或对立); ③两事件互斥(或对 一个事件的发生与否对另 两个或两个以 立),则不相互独立 一个事件发生的概率没有 上 影响 联系

独立 事件

4

高考真题演练: (全国 2 卷 2015)(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查 了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。 假设两地区用户的评 价结果相互独立。根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

(条件概率) 5.某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良学科网的概率是 0.75, 连续两为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的 概率是( A. 0.8 ) B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

(全国 2 卷 2013)14.(2013 课标全国Ⅱ,理 14)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两 个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为

1 ,则 n=__________. 14

5

(2013 课标全国Ⅱ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内, 每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到 销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. 以 X(单位: t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量, T(单位: 元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如: 若需求量 X∈[100,110), 则取 X=105, 且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望.

6

(全国 2 卷 2013)19.解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T ? ?

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.

7

练习 考向一 离散型随机变量的均值和方差 【例 1】?A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1、A2、A3,B 队 队员是 B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵队员

A 队队员胜的概率
2 3 2 5 2 5

A 队队员负的概率
1 3 3 5 3 5

A1 和 B1 A2 和 B2 A3 和 B3

现按表中对阵方式出场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 X,Y (1)求 X,Y 的分布列;(2)求 E(X),E(Y). [审题视点] 首先理解 X,Y 的取值对应的事件的意义,再求 X,Y 取每个值的概率,列成分 布列的形式,最后根据期望的定义求期望. 解 (1)X,Y 的可能取值分别为 3,2,1,0.

P(X=3)= × × = ,P(X=2)= × × + × × + × × = , P(X=1)= × × + × × + × × = ,P(X=0)= × × = ;
8 28 根据题意 X+Y=3,所以 P(Y=0)=P(X=3)= ,P(Y=1)=P(X=2)= , 75 75 2 3 3 5 3 1 2 3 5 3 5 5 1 3 2 2 3 5 5 5 1 3 3 3 3 5 5 25

2 2 3 5

2 8 5 75

2 2 3 3 5 5

1 2 3 5

2 2 5 3

3 2 28 5 5 75

P(Y=2)=P(X=1)= ,P(Y=3)=P(X=0)= . X 的分 X P
0 3 25 1 2 5 2 28 75 3 8 75 布列为

2 5

3 25

Y 的分

Y P

3 3 25

2 2 5

1 28 78

0 8 75

布列为

8 28 2 3 22 23 (2)E(X)=3× +2× +1× +0× = ;因为 X+Y=3,所以 E(Y)=3-E(X)= . 75 75 5 25 15 15 (2)由 X 的期望、方差求 aX+b 的期望、方差是常考题之一,常根据期望和方差的性质求解.

8

【训练 1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自 行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收 费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各 1 1 租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 , ;两小时以上且不超过三小时 4 2 1 1 还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4 (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ ,求ξ 的分布列及数学期望 E(ξ ).

1 1 解 (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 , . 4 4 1 1 1 1 1 1 5 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A,则 P(A)= × + × + × = . 4 2 2 4 4 4 16 5 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 16 (2)ξ 可能取的值有 0,2,4,6,8.

P(ξ =0)= × = ;P(ξ =2)= × + × = ;P(ξ =4)= × + × + × = ; P(ξ =6)= × + × = ;P(ξ =8)= × = .
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ 的分布列为 ξ 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16 1 1 1 1 2 4 4 4 3 16 1 4 1 4 1 16

1 1 1 4 2 8

1 4

1 1 4 2

1 5 2 16

1 2

1 1 4 4

1 1 2 4

1 5 4 16

P

1 5 5 3 1 7 所以 E(ξ )=0× +2× +4× +6× +8× = . 8 16 16 16 16 2

9

一. 选择题: (1)设集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? (
2



3 3 3 3 ( ?3, ? ) ( ?3, ) ( ,3) (1, ) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 2 (A)
(2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x,y 是实数,则 x ? yi = (A)1 (B) 2 (C) 3 (3)已知等差数列 (D)2 ( )

{an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 = ( )

(A)100 (B)99 (C)98 (D)97 (4)某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班 车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( ) 1 (A) 3 1 2 3 (B) (C) (D) 2 3 4

x2 y2 (5 已知方程 2 – 2 =1 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4, 则 n 的取值范围 m +n 3m –n 是( ) (A)(–1,3) (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3) (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几 何体的体积是,则它的表面积是 (A)17π (B)18π (C)20π (D)28π (7)函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )

(A)

(B)

(C) (D) 0 ? c ? 1 ,则 (8)若 a ? b ? 1,
10

(A) a c ? b c (B) abc ? bac (C) a logb c ? b loga c (D) loga c ? logb c (9)执行右面的程序图,如果输入的 x ? 0,y ? 1 ,n ? 1 ,则输出 x,y 的值满足( ) (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的标准线于 D、E 两点.已知 |AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为( (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 )

(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, a ? 平面 ABCD=m, a ? 平 面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的正弦值为( (A) 3 (B) 2
2 2



(C) 3
3

(D)

1 3

12.已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0, ? ?

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x ) 的零点, x ?

?
4

为 y ? f ( x) 图

? 5? ? 像的对称轴,且 f ( x ) 在 ? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为( 18 36 ? ?
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5 第 II 卷



本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=.______ (14) (2 x ?

x )5 的展开式中,x3 的系数是_________.(用数字填写答案)

(15)设等比数列满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2?an 的最大值为__________。 (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg, 用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业 现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元_________。 一、选择题 (1)D (7)D (2)B (8)C (3)C (9)C (4)B (10)B (5)A (11)A (6)A (12)B

二、填空题:
11

(13)-2

(14)10

(15)64

(16)21600

1 7 ? n2 ? n 1 n ( n ?1) a1a2 ? an ? a1n q1? 2??? ( n ?1) ? 8n ? ( ) 2 ? 2 2 2 a a ? an 最大 2 15. , n ? 3 或 4 时, 1 2

26 ? 64 .
12. 试 题 分 析 : 因 为 x ? ?

?
4

为 f ( x) 的 零 点 , x ?

?
4

为 f ( x) 图 像 的 对 称 轴 , 所 以

?

? T ? 4k ? 1 4k ? 1 2 ? ? (? ) ? ? kT ,即 ? T? ? ,所以 ? ? 4k ? 1(k ? N *) ,又因为 4 4 4 2 4 4 ?
5? ? ? T 2? ? ? 5? ? ? ? ? ? f ( x) 在 ? , ? 单调,所以 ,即 ? ? 12 ,由此 ? 的最大值为 9. 36 18 12 2 2? ? 18 36 ?

12



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