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导学案:指数函数及其性质


§2.1.2 指数函数及其性质(学案)
一、问题情境 问题 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,......, 依此类推,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与分裂次数 x 有怎 样的函数关系? ____________________________ 问题 2: 《庄子·天下篇》中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭。

”请 你写出截取 x 次后,木棰剩余量 y 关于 x 的函数关系式?__________________

二、指数函数的定义 一般地,函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫指数函数(exponential 其中 x 是自变量,函数定义域是 R 。 (思考:为什么规定底数 a >0且 a ≠1呢?) function),

三、探究指数函数的性质 学习函数的一般模式(方法) : 解析式(定义)

图像
数形结合

① 定义域 ② 值域

性质

③ 单调性 ④ 奇偶性

应用

⑤ 其他

要研究指数函数的性质,我们就先考虑怎样得到指数函数的图像。请问:要 画出函数的图像一般用什么方法?_______________________。

?1? 任 务 1:在同一直角坐标系画出 y ? 2 、y ? ? ? 这两个指数函数的图像 ? 2?
x

x

第一步:列表求值

x

?

-3

-2

-1

0

1

2

3

?

y ? 2x

?

?

x
?1? y ?? ? ? 2?
x

? ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

第二步:描点、连线作图

思考

这两个函数的 图像有何关系? 你能否猜想出 一个相关结论?

变化过程中的不 变特征就是性质

任 务 2:各小组按照下列步骤利用 Excel 或几何画板探究指数函数的相关性质 (1)在 Excel 图表里查表求值,并判断 ①在 Excel 图表里改变底数的值为 1.7 ②在 Excel 图表里改变底数的值为 0.8 并在左边列表里找出 当 x=2.5 时,y = _____ 当 x= 3 时, y = _____ 并比较 1.7 2.5 与1.7 3 的大小关系。 并在左边列表里找出 当 x=-0.1 时, 当 x=-0.2 时, y = _____ y = _____

并比较 0.8?0.1 与0.8?0.2 的大小关系。

1.7 2.5 1.7 3

0.8 ?0.1

0.8 ?0.2

思考:上面两个大小关系,能否不通过查表直接得出?

) (2) 在几何画板 1 里改变底数 a(a ? 0且a ? 1 的若干个不同取值(如下表) ,

观察底数 a 与指数函数的图像特征有什么样的联系? 改变 ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 0.5 ⑤ 0.33 ⑥ 0.25 ??

a

观察:①图象在直角坐标系的哪些象限? ______________________________________________________ ②图象与坐标轴的相交情况? ______________________________________________________ ③图象的上升下降趋势与底数 a 有什么关系? ______________________________________________________ (3)在几何画板 2 拖动图上面的任意值点或点击动画演示按钮,观察指数函数 的图像特征与底数 a 有什么样的联系, 并在下面逐条写出你们小组发现的指数函 数的其它性质。

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________ 任务 3:各小组汇报你们组的探究成果。

请各小组派一名代表小结你们小组所得到的结论.请其他小组注意: 第一,认真听取他的发言,并关注他们小组所得到的结果; 第二,请你们对他们的发言作出补充意见,包括数学语言表达的准确性、结论的 正确性和完整性。 第三,注意使总结的数学结论条理化,可以采用表格的形式来呈现。

指数函数的图像与性质 底数 a





定义域 值域

单调性 最值 奇偶性

与坐标轴 的交点

其他性质

四、指数函数的性质的简单应用 例题:比较下列各题中两个值的大小:

(1) 1.7 2.5, 1.7 3

(2) 0.8?0.1, 0.8?0.2

(3) 1.7 0.3, 0.93.1

方法小结:_________________________________________________ ___________________________________________________________

?1? 任务 4:你能否在下面的直角坐标系迅速画出 y ? 2 、y ? ? ? ? 2?
x

x



?1? y ? 3 、y ? ? ? 这四个函数的草图。 ? 3?
x

x

五、小结 利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性 质时可以联想指数函数的图像。

六、作业


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