当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学


对数的运算性质 1.例题分析:

x2 y xy 例 1.用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1) log a ; (2) log a . 3 z z
解: (1) log a

xy z

(2) log a

x2 y
3
<

br />? loga ( xy) ? loga z ? loga x ? loga y ? loga z ;
例 2.求下列各式的值:
7 5 (1) log 2 4 ? 2 ;

z ? loga ( x2 y ) ? loga 3 z

? loga x2 ? loga y ? loga 3 z 1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z . 2 3

?

?

(2) lg 5 100 .

解: (1)原式= log 2 47 ? log 2 25 = 7log 2 4 ? 5log 2 2 ? 7 ? 2 ? 5 ?1 ? 19 ; (2)原式= lg10 ?
2

1 5

2 2 lg10 ? 5 5 7 ? lg 7 ? lg18 ; 3
(2)

例 3.计算: (1)lg14 ? 21g

lg 243 ; lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg1.2

解: (1)解法一: lg14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg18 ? lg(2 ? 7) ? 2(lg 7 ? lg3) ? lg 7 ? lg(32 ? 2) 3

? lg 2 ? lg 7 ? 2lg 7 ? 2lg3 ? lg 7 ? 2lg3 ? lg 2 ? 0 ;
解法二: lg14 ? 2 lg

14 ? 7 7 2 7 ? lg 7 ? lg18 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 = lg 7 2 3 3

? lg1 ? 0 ;

( ) ? 18 3

说明:本例体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质常常逆用,应引起足够的重视。 (2)

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 ? ? ? ; lg 9 lg 32 2 lg 3 2

3 1 1 (lg 3 ? 2lg 2 ? 1) 3 lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(33 ) 2 ? lg 23 ? 3lg10 2 2 (3) = ? ? . 2 3? 2 lg 3 ? 2lg 2 ? 1 2 lg1.2 lg 10
例 4.已知 lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ,求 lg1.44 的值。 分 析 : 此 题 应 注 意 已 知 条 件 中 的 真 数 2 , 3 , 与 所 求 中 的 真 数 有 内 在 联 系 , 故 应 将 1.44 进 行 恰 当 变 形 :

1.44 ? 1.22 ? (3 ? 22 ?10?1 )2 ,然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
2 2 ?1 2 解: lg1.44 ? lg1.2 ? lg(3? 2 ?10 ) ? 2(lg 3 ? 2lg 2 ? 1)

? 2(0.4771 ? 2 ? 0.3010 ? 1) ? 0.1582 .

说明:此题应强调注意已知与所求的内在联系。 例 5.已知 log a x ? log a c ? b ,求 x . 分析:由于 x 是真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的形式, b 的存在使变形产生困

难,故可考虑将 loga c 移到等式左端,或者将 b 变为对数形式。 解: (法一)由对数定义可知: x ? a
loga c ?b

? a loga c ? ab ? c ? ab .
x x ? b ,由对数定义知: ? a b ,∴ x ? c ? a b . c c

(法二)由已知移项可得 loga x ? loga c ? b ,即 log a (法三)

b ? loga ab ,∴ loga x ? loga c ? loga ab ? loga c ? ab ,∴ x ? c ? ab .

说明:此题有多种解法,体现了基本概念和运算性质的灵活运用,可以对于对数定义及运算性质的理解。 1.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, 那么(1)loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2)log a (3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 证明: (性质 1)设 loga M ? p , log a N ? q , 由对数的定义可得 ∴ MN ? a ? a ? a
p q

M ? log a M - log a N ; N

M ? a p , N ? aq ,
p ?q

(性质 3) 设 loga M ? p , 由对数的定义可得 ∴M ?a ,
n np



M ? ap ,

∴ log a ( MN ) ? p ? q , 即证得 loga MN ? loga M ? loga N .

∴ loga M n ? np , 即证得 loga M n ? n loga M .

练习:证明性质 2. 说明: (1)语言表达: “积的对数 = 对数的和”??(简易表达以帮助记忆) ; (2)注意有时必须逆向运算:如

log10 5 ? log10 2 ? log10 10 ? 1 ;

(3)注意定义域: log2 ( ?3 )( ?5 ) ? log2 ( ?3 ) ? log2 ( ?5 ) 是不成立的,

log10 ( ?10 )2 ? 2 log10 ( ?10 ) 是不成立的;
(4)当心记忆错误: loga ( MN ) ? loga M ? loga N ,试举反例,

log a( M ? N ) ? l o g a M ?l o g a N ,试举反例。
例 6. (1)已知 3 ? 2 ,用 a 表示 log3 4 ? log3 6 ; (2)已知 log3 2 ? a , 3 ? 5 ,用 a 、 b 表示 log3 30 .
a b

解: (1)∵ 3 ? 2 ,∴ a ? log3 2 , ∴
a

log 3 4 ? log 3 6 = log 3

2 ? log 3 2 ? 1 ? a ? 1 . 3

(2)∵ 3 ? 5 ,
b

∴ b ? log3 5 ,

又∵ log3 2 ? a ,∴ log3 30 =

1 1 1 log 3 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? log 3 2 ? log 3 3 ? log 3 5 ? ? (a ? b ? 1) . 2 2 2
换底公式

1.换底公式: log a N ?

log m N ( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1 ) log m a

证明:设 log a N ? x ,则 a ? N ,两边取以 m 为底的对数得: logm a x ? logm N ,∴ x log m a ? log m N ,
x

从而得: x ?

logm N , logm a

∴ loga N ?

logm N . logm a

说明:两个较为常用的推论: (1) loga b ? logb a ? 1 ; (2) log a m b ?
n

n log a b ( a 、 b ? 0 且均不为 1) . m

证明: (1) loga b ? logb a ? 2.例题分析: 例 1.计算: (1) 5 解: (1)原式 =
1?log0.2 3

lg b lg a lg bn n lg b n (2) log am bn ? ? ? 1; ? ? log a b . lg a lg b lg a m m lg a m



(2) log4 3 ? log9 2 ? log2 4 32 .

5 ? 15 ; 1 5 3 1 1 5 1 5 3 log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 2 ? ? ? . (2) 原式 = 2 2 4 4 4 2
log0.2 3

5

?

5

1 log5 5 3

?

例 2.已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,求 log36 45 (用 a, b 表示) .
b

解:∵ log18 9 ? a , 又∵ 18 ? 5 ,
b

∴ log 18

18 ? 1 ? log 18 2 ? a , 2
∴ log36 45 ?

∴ log18 2 ? 1 ? a ,

∴ log18 5 ? b ,

log18 45 log18 9 ? log18 5 a ? b . ? ? log18 36 1 ? log18 2 2?a

例 3.设 3 ? 4 ? 6 ? t ? 1 ,求证:
x y z

1 1 1 ? ? . z x 2y lg t lg t lg t ,y ? ,z ? , lg 3 lg 4 lg 6

证明:∵ 3 ? 4 ? 6 ? t ? 1 ,∴ x ?
x y z



1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg 4 1 ? ? ? ? ? ? . z x lg t lg t lg t 2 lg t 2 y

例 4.若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 . 解:∵ log8 3 ? p , ∴ log2 3 ? 3 p ? lg 3 ? 3 p lg 2 ? 3 p(1 ? lg 5) , 又∵ log3 5 ?

lg 5 ? q ,∴ lg 5 ? q lg 3 ? 3 pq(1 ? lg 5) , ∴ (1 ? 3 pq) lg 5 ? 3 pq lg 3
4

∴ lg 5 ?

3 pq . 1 ? 3 pq

例 5.计算: (log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1
2

32 .

解:原式 ? (log 22 3 ? log 23 3)(log3 2 ? log32 2) ? log 1 2 4
2

5

1 1 1 5 ? ( log log 2? log 2 3? 2 3) ( l o3g 3 2) ? 2 3 2 4

?

5 3 5 5 5 5 log 2 3 ? log 3 2 ? ? ? ? . 6 2 4 4 4 2

例 6.若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2 ,求 m . 解:由题意可得:

1 lg 4 lg 8 lg m 1 ? ? ? , ∴ lg m ? lg 3 ,∴ m ? 3 . 2 lg 3 lg 4 lg 8 2
对数函数

例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ; (2) y ? loga (4 ? x) ; (3) y ? loga (9 ? x 2 ) .

分析:此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定义域 (0, ??) 求解。
2 解: (1)由 x >0 得 x ? 0 ,∴函数 y ? loga x 2 的定义域是 x x ? 0 ;

?

?

(2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 ,∴函数 y ? loga (4 ? x) 的定义域是 x x ? 4 ;
2 (3)由 9- ? x ? 0 得-3 ? x ? 3 ,∴函数 y ? loga (9 ? x 2 ) 的定义域是 x ? 3 ? x ? 3 .

?

?

?

?

说明:此题只是对数函数性质的简单应用,应强调学生注意书写格式。

?1? ?1? 例 2.求函数 y ? ? ? ? 2 和函数 y ? ? ? ?5? ?2?

x

x 2 ?1

? 2 ( x ? 0) 的反函数。

?1? 解: (1) ? ? ? y ? 2 ?5?

x

∴ f ?1 ( x) ? log 1 ( x ? 2)
5

(x ? - 2 ; )
5 ) . 2

?1? (2) ? ? ?2?

x2 ?1

? y-2

∴ f ( x ) ? ? log 1 ( x - 2)
-1 2

( 2? x ?

例 4.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log2 3.4 , log2 8.5 ; (2) log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; (3) loga 5.1 , loga 5.9 .

解: (1)对数函数 y ? log 2 x 在 (0, ??) 上是增函数, 于是 log 2 3.4 ? log2 8.5 ; (2)对数函数 y ? log0.3 x 在 (0, ??) 上是减函数, 于是 log0.3 1.8 ? log 0.3 2.7 ; (3)当 a ? 1 时,对数函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上是增函数, 于是 loga 5.1 ? loga 5.9 , 当 o ? a ? 1 时,对数函数 y ? loga x 在 (0, ??) 上是减函数, 于是 loga 5.1 ? loga 5.9 .

例 5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log6 7 , log7 6 ; (3) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ;
0.9

(2) log3 ? , log2 0.8 ; (4) log5 3 , log6 3 , log7 3 .

解: (1)∵ log6 7 ? log6 6 ? 1 , log7 6 ? log7 7 ? 1 ,∴ log6 7 ? log7 6 ; (2)∵ log3 ? ? log3 1 ? 0 , (3)∵ 1.1 ∴ 1.1
0.9

log 2 0.8 ? log 2 1 ? 0 ,∴ log3 ? ? log2 0.8 .

? 1.10 ? 1 , log1.1 0.9 ? log1.1 1 ? 0 , 0 ? log0.7 1 ? log0.7 0.8 ? log0.7 0.7 ? 1 , ? log0.7 0.8 ? log1.1 0.9 .
∴ log5 3 ? log6 3 ? log7 3 .

0.9

(4)∵ 0 ? log3 5 ? log3 6 ? log3 7 ,

例 6.已知 logm 4 ? logn 4 ,比较 m , n 的大小。 解:∵ logm 4 ? logn 4 , ∴

1 1 1 1 ,当 m ? 1 , n ? 1 时,得 0 ? , ? ? log 4 m log 4 n log 4 m log 4 n 1 1 ? ? 0, log 4 m log 4 n

∴ log 4 n ? log 4 m , ∴ m ? n ? 1.当 0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1 时,得

∴ log 4 n ? log 4 m , ∴ 0 ? n ? m ? 1 .当 0 ? m ? 1 , n ? 1 时,得 log 4 m ? 0 , 0 ? log 4 n , ∴ 0 ? m ? 1, n ? 1 , ∴ 0 ? m ? 1 ? n . 综上所述, m , n 的大小关系为 m ? n ? 1或 0 ? n ? m ? 1 或 0 ? m ? 1 ? n . 例 7.求下列函数的值域:
2 (1) y ? log 2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x ) ; (3) y ? loga ( x2 ? 4 x ? 7) ( a ? 0 且 a ? 1 ) .

解: (1)令 t ? x ? 3 ,则 y ? log 2 t ,
2 (2)令 t ? 3 ? x ,则 0 ? t ? 3 ,

∵ t ? 0 , ∴ y ? R ,即函数值域为 R .
∴ y ? log 2 3 , 即函数值域为 (??,log 2 3] . 当 a ? 1 时, y ? loga 3 , 即值域为 [loga 3, ??) ,

(3)令 t ? x ? 4x ? 7 ? ( x ? 2) ? 3 ? 3 ,
2 2

当 0 ? a ? 1 时, y ? loga 3 , 即值域为 (??,log a 3] . 例 8.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性。 解:∵ x2 ? 1 ? x 恒成立,故 f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f (? x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x)

? ? log 2

1 x ?1 ? x
2

? ? log 2

x2 ? 1 ? x ( x ? 1) ? x
2 2 2

? ? log 2 x 2 ? 1 ? x ? ? f ( x) ,所以, f ( x) 为奇函数。

例 9.求函数 y ? 2log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间。
3

解:令 u ? x ? 3x ? 2 ? ( x ? ) ?
2 2

3 2

3 3 1 在 [ , ??) 上递增,在 (??, ] 上递减, 2 2 4

又∵ x ? 3x ? 2 ? 0 ,
2 2

∴ x ? 2 或 x ? 1, 又∵ y ? 2log 1 u 为减函数,
3

故 u ? x ? 3x ? 2 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减,
2

所以,函数 y ? 2log 1 ( x ? 3x ? 2) 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减。
3

说明:利用对数函数性质判断函数单调性时,首先要考察函数的定义域,再利用复合函数单调性的判断方法来求单调 区间。 例 10.若函数 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。 解:令 u ? g ( x) ? x 2 ? ax ? a , ∵函数 y ? ? log 2 u 为减函数,

?a ? ? 1? 3 ∴ u ? g ( x) ? x ? ax ? a 在区间 (??,1 ? 3) 上递减,且满足 u ? 0 ,∴ ? 2 ,解得 2 ? 2 3 ? a ? 2 , ? g (1 ? 3) ? 0 ?
2

所以, a 的取值范围为 [2 ? 2 3, 2] .
对数函数

1 如图,曲线是对数函数

的图象,已知

的取值

,则相应于曲线



值依次为(

).

(A )

(B )

(C )

(D ) 2.函数 y=logx-1(3-x)的定义域是 如果对数 logx?7 ( x
2

? 6x ? 5) 有意义,求 x 的取值范围;

解:要使原函数有意义,则

? x2 ? 6x ? 5 ? 0 ? ? x?7 ?0 ? x?7 ?1 ?
解之得:

-7<x<-6或-6<x<-5或x>-1
(-6,-5) (-1,+ ? )

∴原函数的定义域为-7,-6) 函数

5 y ? lg[ x 2 ? (k ? 2) x ? ] 的定义域为一切实数,求 k 的取值范围。 4

? 5 ?2? k ? 5 ?2
利用图像判断方程根的个数

3.已知关于 x 的的方程

log3 x ? a ,讨论 a 的值来确定方程根的个数。
作出函数与

解:因为

?log3 x( x ? 1) 在同一直角坐标系中 y ? log3 x ? ? ?? log3 x(0 ? x ? 1)
? 0 时,两个函数图象无公共点,所以原方程根的个数

y ? a 的图象, 如

图可知:①当 a ②当 a

为 0 个; 为 1 个; 为 2 个。

? 0 时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根的个数 ③当 a ? 0 时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根的个数
4.若关于 x 的方程 lg(ax) ? lg(ax 解:由原方程可化为
2

) ? 4 的所有解都大于

1,求 a 的

取值范围.

(lg a ? lg x)(lga ? 2 lg x) ? 4 ,变形整理有

2 lg2 x ? 3 lg a ? lg x ? lg2 a ? 4 ? 0 (*)
? x ? 1 ,? lg x ? 0 ,由于方程(*)的根为正根,则

? ?? ? 9 lg 2 a ? 8(lg2 a ? 4) ? 0 ? 1 ? 3 解之得 lg a ? ?2 ,从而 0 ? a ? ?? lg a ? 0 100 ? 2 ?1 2 (lg a ? 4) ? 0 ? ?2
5.求函数 .解:设

y ? log1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调区间.
2

y ? log1 u , u ? x 2 ? 2 x ? 3 ,由 u ? 0 得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,知定义域为
2

(??,?1) ? (3,??) 又 u ? ( x ? 1) 2 ? 4 ,则当 x ? (??,?1) 时,u 是减函数;当 x ? (3,??) 时,u 是增函数,而 y ? log1 u
2

在 R 上是减函数

?

? y ? log 1
2

( x 2 ?3 x ?3)

的单调增区间为 (??,?1) ,单调减区间为 (3,??)

题目 2】求函数

y ? log( 1
2

1 2 5 -3x+ ) 的单调区间。 x 2 2

正解】由

1 2 5 1 2 5 -3x+ ? 0 得 x<1 或 x>5,即函数 y ? log( -3x+ ) 的定义域为{x| x<1 或 x>5}, 1 x x 2 2 2 2 2 ? 1 2 5 1 2 5 -3x+ 是减函数, y ? log 1 t 是减函数,所以 y ? log( -3x+ ) 是增函数; 1 x x 2 2 2 2 2 2 1 2 5 1 2 5 -3x+ 是增函数, y ? log 1 t 是减函数,所以 y ? log( -3x+ ) 是减函数; 1 x x 2 2 2 2 2 2

当 x<1 时, t

当 x>5 时, t

?

所以

y ? log( 1
2

1 2 5 的增区间是(-∞,1) ;减区间是(5,∞, ) 。 -3x+ ) x 2 2

6、设函数 分析:由值域为 解: 令

,若

的值域为

,求实数

的取值范围. 能取遍所有正实数的问题.

和对数函数的单调性可将问题转化为 ,依题意

应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集.则有



,解得
2 2



已知函数 f(x)=lg[(a -1)x +(a+1)x+1]. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 解:(1)(a -1)x +(a+1)x+1>0 对 x∈R 恒成立.
2 2

a2-1=0 时,a=±1,经检验 a=-1 时恒成立;

a2-1≠0 时,

a<-1 或 a>



∴a≤-1 或 a>
2

.

(2)a -1=0,即 a=1 时满足值域为 R;

a2-1≠0 时,

1 <a ≤

.

∴1≤a≤ 7

.
2

y ? log (a x +ax ? 1) 的定义域为 R,求 a 的取值范围。
2

【正解】①当 a=0 时,y=0,满足条件,即函数 y=0 的定义域为 R; ②当 a≠0 时,由题意得: ?

? ?

a?0
2

? ? ? ? a ? 4a ? 0

? 0 ? a ? 4;

由①②得 a 的取值范围为[0,4) 。 【评注】参数问题,分类要不重不漏,对于不等式 a 8.函数 y=log 1 [(1-x)(x+3)]的递减区间是(
2

x +bx ? c>0 不一定是一元二次不等式。
) D.(-1,+∞)
2

2

A.(-3,-1)

B.(-∞,-1)
2

C.(-∞,-3)

【解析】设 t=(1-x)(x+3)=-x -2x+3=-(x+1) +4 由(1-x)(x+3)>0 得-3<x<1 当 x∈(-3,-1)时,t=(1-x)(x+3)

递增∴y=log 1 [(1-x)(x+3)]的递减区间是(-3,-1)
2

9.已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A.0<a<1 B.a>1 C.1<a<2 D.1<a≤2

)

【解析】若 0<a<1,则函数在定义域上是增函数;若 a>1,则当 0≤x≤1 时,2-ax>0 恒成立即 x< 10.求函数 y=loga(2-a -a )的值域。 【解】由于 2-a -a >0,得-2<a <1。∴t=2-a -a =(a +
x 2x x x 2x x x 2x

2 a

,因此

2 a

>1∴1<a<2

1 2

)+

2

9 4

∈(0,2) 。

又当 a>1 时,y=logat 递增,∴y<loga2;当 0<a<1 时,y=logat 递减,∴y>loga2。 故当 a>1 时,所求的值域为(-∞,loga2) ;当 0<a<1 时,所求的值域为(loga2,+∞) 。 11.求函数 y=log2

x x ·log (x∈[1,8])的最大值和最小值. 2 4
2 2

【解】 令 t=log2x,x∈[1,8],则 0≤log2x≤log28 即 t∈[0,3] ∴y=(log2x-1)(log2x-2)=(t-1)(t-2)=t -3t+2=(t-

3 2

)-

2

1 4

t∈[0,3]

3 ∴当 t= 2

3 1 ,即 log x= ,x=2 2 =2 2 时,y 有最小值=- 2 4
2

3

.

当 t=0 或 t=3,即 log2x=0 或 log2x=3,也即 x=1 或 x=8 时,y 有最大值=2. 12.设函数 y=f(x),且 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),(1)求 f(x)的表达式及定义域; (2)求 f(x)的值域。 【解】 (1)若 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义,

? x ? 0, ?0 ? x ? 3, ? 则 ?3 ? x ? 0,即? 又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=10 ?lg y ? 0, ? y ? 1. ?
3 (2)∵3x(3-x)=-3x +9x=-3(x2
2

3x(3-x)

(0<x<3)。

27 )+ 4
2

27 (0<x<3),∴0<-3x +9x≤ 4
2

。∴1<y≤10

27 4



∴y=f(x)的定义域为(0,3) ,值域为(1,10

27 4

) 。

13 函数
14 已知函数

在区间

上的最大值比最小值大 2,则实数

=___.




② 当 时,求

.① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性; 值.

的最大值,最小值及相应的

①在

上单调递减, 在

上单调递增. ②当

时,

, 当

时,



x 15、已知函数y=loga(1-a )(a>0且a≠1)。(1)求函数的定义域和值域;(2)证明函数图象关于直线y=x对称。 (1)当a>1时,函数的定义域和值域均为(-∞,0);当0<a<1时,函数的定义域和值域均为(0,+∞)。 x x y x y y -1 x (2)由y=loga(1-a ),得1-a =a ,即a =1-a ,∴x=loga(1-a ),∴f (x)=loga(1-a )=f(x)。 x -1 ∵f(x)与f 的图象关于直线y=x对称,函数y=loga(1-a )的图象关于直线y=x对称。

x ? ? 1 1? ? x?? , ? f ( x) ? ? log3 ? (log3 3x) 27 ? ? 27 9 ? ,求函数 ? 16、.设 的最大值。
、12

17、已知函数

f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) x ?1 。

(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的值域。 (1)函数的定义域为(1,p)。(2)当p>3时,f(x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2); 当1<p= ? 时,f(x)的值域为(- ? ,1+log2(p+1))。

2(log1 x) 2 ? 7 log 1 x ? 3 ? 0
18、已知
2 2



求函数

x 4 y ? (log 2 ) ? (log 1 ) 2 x 2

2, ?
的最大值和最小值 、 ) 答案:B。

1 4

19:已知 y 的减函数,则 a的取值范围是( ? l o g ( 2 ? a x ) 在 0 , 1 上 是 x a A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.

? ?

?? ? ?2,

? 0 , a ? 1 解析:本题作为选择题,用排除法求解较简,由于这里虽然有 a ,故 u 在[0,1]上定为减函数,依题设必有 ?? 2a x
2? ? ,故应排除 A 和 C,在 B、D 中要作选择,可取 a? ,则已知函数为 y ,但是此函数的定义域为 ? ?? , ? , ? l o g ( 23 ? x ) a? 1 3 3 ? 3?
它当然不可能在区间[0,1]上是减函数,故又排除了 D,从而决定选 B。 20.函数 ( )图象的对称轴方程为 对称,则 ,求 ,即 的值.

解:解法一:由于函数图象关于

,解得 解法二: 偶函数,即 函数

, 的图象关于直线





, 的图象关于 轴对称,则它为

对称,则函数

, 21 已知 f(x)= [3-(x-1) ],求 f(x)的值域及单调区间.
2

分析:分清内层与外层函数.
2

解:令 u(x)=-(x-1) +3≤3,则 f(x)≥

3=-1,∴f(x)值域为[-1,+∞). ,1+ ).u(x)在(1- ,1]上递增,在(1,1+ )上递减.

f(x)的定义域 u(x)>0,即-(x-1)2+3>0,x∈(1-

∵0<

<1,∴f(x)在(1-

,1]上递减,在(1,1+

)上递增.

22 已知 y=log0.5(x -ax-a)在区间(-∞,-

2

)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

解:函数 y=log0.5(x -ax-a)由 y=log0.5t 与 t=x -ax-a 复合而成,其中 y=log0.5t 为减函数,又 y=log0.5(x -ax-a)在(-∞,-

2

2

2

)上

是增函数,故 t=x -ax-a 在区间(-∞,-
2

2

)上是减函数.从而

a∈[-1,

].

23.已知函数 f(x)=loga(ax -x), 是否存在实数 a,使它在区间[2,4]上是增函数?如果存在,说明 a 可取哪些值;如果不存在,说明理 由. 解:设 g(x)=ax -x. 当 a>1 时,为使函数 y=f(x)=loga(ax -x)在 x∈[2,4]上为增函数,只需 g(x)
2 2

=ax -x 在[2,4]上为增函数,故应满足
2

2

得 a>

.∴a>1.
2

当 0<a<1 时,为使函数 y=f(x)=loga(ax -x)在 x∈[2,4]上为增函数,只需 g(x)=ax -x 在 x∈[2,4]上为减函数,

故 4]上为增函数.

无解.∴a 不存在. ∴当 a>1 时, f(x)=loga(ax -x)在 x∈ [2,

2

对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式,形象显示了函数的性质。为研究它的数 量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. (一) 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 图象的平移变换 画出函数

例1 .

y ? log2 ( x ? 2) 与 y ? log2 ( x ? 2) 的图像,并指出两个

图像之间的关系? 解:函数

y ? log2 x 的图象如果向右平移 2 个单位就得到 y ? log2 ( x ? 2) 的图像;如果向左平移 2 个单位就得到 y ? log2 ( x ? 2)
y ? log2 ( x ? 2) 的图象向右平移 4 个单位得到 y ? log2 ( x ? 2) 的图象
y ? f ( x ? b) , (a ? 0) 的图像,可由 y ? f ( x) 的图像向左(+)或向右 ?? ? 平移 a 个单位

的图像,所以把

注:图象的平移变换:1.水平平移:函数 而得到. 2.竖直平移:函数

y ? f ( x) ? b , (b ? 0) 的图像,可由 y ? f ( x) 的图像向上(+)或向下 ?? ? 平移 b 个单位而得到.

(二)图像的对称变换 例 2.画出函数 解:当 x

y ? log2 x 2 的图像,并根据图像指出它的单调区间.

? 0 时,函数 y ? log2 x 2 满足 f (? x) ? log2 (? x) 2 ? log2 x 2 ? f ( x) ,所以 y ? log2 x 2 是偶函数,它的图象关于 y ? 0 时, y ? log2 x 2 ? 2 log2 x 。因此先画出 y ? 2 log2 x
, (x

轴对称。当 x

? 0 )的图象为 c1 ,再作出 c1 关于 y 轴对称 c2 ,

c1 与 c2 构成函数 y ? log2 x 2 的图像,如图:

由图象可以知道函数 例 3. 画出函数

单调增区间 y ? log2 x 2 的单调减区间是 ?? ?,0? ,

是 (0,??) 的关系?

y ? log3 x 与 y ? log1 x 的图像,并指出两个图像之间
3

解:图象如图:把函数

y ? log3 x 的 图 象 作 关 于 x 轴 对 称 得 到
y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 关于 y 轴对称

y ? l o g1 x 的图像
3

注:图象的对称变换:① ② ③

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 关于 x 轴对称 y ? ? f (? x) 与 y ? f ( x) 关于原点轴对称

④ ⑤

y ? f ?1 ( x) 与 y ? f ( x) 关于直线 y ? x 轴对称

y ? f ( x ) 的图像可将 y ? f ( x) , x ? 0 的部分作出,再利用偶
y 轴对称,作出 x ? 0 的图像.

函数的图像关于 二. (一)

利用对数函数的图象解决有关问题 利用图像求参数的值

例 4.已知函数

y ? loga ( x ? b) 的图像如图所示,求函数 a 与 b 的值.
(?3,0) 点 与 (0,3) 点 , 所 以 得 方 程 0 ? loga (?3 ? b) 与

解:由图象可知,函数的图象过

3 ? loga b ,解出 a ? 2 , b ? 4 。
(二)利用图像比较实数的大小 例 5.已知 logm

2 ? logn 2 , m, n ? 1 ,试确定实数 m 和 n 的大小关系. y ? logm x 与 y ? logn x 的图象,再作 x ? 2 的直线,可得
? 1 的部分底越大图象就越接近 x 轴)②底都小于 1 时,底大

解:在同一直角坐标系中作出函数

m ? n。
注:不同底的对数函数图象的规律是:①底都大于 1 时,底大图低(即在 x 图高(即在 0

? x ? 1 的部分底越大图象就越远离 x 轴)

(三)利用图像解有关的不等式 例 6.解关于 x 的不等式 log2 ( x ? 6) 解:在同一直角坐标系中作出函数

? x ?1
y ? x ? 1 的图象,如

y ? log2 ( x ? 6) 与

图:两图象交点的横坐 标为 2 ,所以原不等式的解集为 (四)利用图像判断方程根的个数 例 7.已知关于 x 的的方程

?x x ? 2?
定方程根的个数。

log3 x ? a ,讨论 a 的值来确

解:因为

?log3 x( x ? 1) 在同一直 y ? log3 x ? ? ?? log3 x(0 ? x ? 1)

角坐标系中作出函数



y ? a 的图象,如图可知:①当 a ? 0 时,两个函数图象无公共点,所以原方程根的个数为 0 个;

? 0 时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根的个数为 1 个; ③当 a ? 0 时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根的个数为 2 个。
②当 a 能准确地作出对数函数的图象,利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质。运用数形结合的数学思想,来研究对数函数的有关问 题。


相关文章:
高一数学知识点总结
高一数学知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学知识点总结 高一数学知识总结必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素...
高一数学课本内容
高一数学课本内容_数学_高中教育_教育专区。高一数学课本内容第一章 集合与简易逻辑 本章概述 1.教学要求 [1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空...
高一数学必修一知识点总结
高一数学必修一知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修一知识点总结 高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念...
高一数学集合测试题
高一数学集合测试题_数学_高中教育_教育专区。高一数学集合测试题班级一、单选题: 1.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则C ...
高一数学知识点总结--必修5
高一数学知识点总结--必修5_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修5知识点总结 高中数学必修 5 知识点第一章:解三角形 1、正弦定理:在 ??? C 中,...
高一数学必修1各章知识点总结
高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的...
高一数学
高一数学_数学_高中教育_教育专区。课题:函数的概念(一) 一、复习准备: 1. 讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关 系? 2.回顾初中...
高一数学换底公式
高一数学换底公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。对数换底公式及应用 何根 [学习目标]使学生理解对数换底公式的变形及意义,掌握其变形公式并熟悉公式特点,学会...
新课标人教A版高一数学必修1知识点总结
新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的...
高一数学必修一函数知识点总结
高一数学必修一函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高一数学必修一函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。二、函数的有关...
更多相关标签:
高一数学必修1 | 高一数学课本 | 高一数学视频 | 高一数学家教 | 数学高一练习册 | 高三数学冲刺 | 高一 | 高中数学必修1 |