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2016年温州中学奥赛数学评估三(必修五)试题卷、答题卷及参考答案


命题者 前进工作室
注:不得使用任何电子产品,检测范围:主要考察必修五

2016.6

奥赛班 数学能力评估三 试题卷
[ MATHEMATICS ] (本卷满分:150分 考试时间:120分钟) 第一部分(共2小题,第I题15分,第II题25分,计40分) I.[解答]如图,设点 P 在?ABC 的外接圆上,直线 C

P 和 AC 相交于点 E, 直线 BP 和 AC 相交于点 F,边 AC 的垂直平分线交边 AB 于点 J,边 AB 的垂直 CE 2 AJ ? JE 平分线交边 AC 于点 K,求证: . ? 2 BF AK ? KF

第I题

II.⑴[填空]某次竞赛共 8 个题, 若某个参赛者做对的题数大于 4, 就称其为 “高手”, 如果做对某个题目的“高手”人数小于全部“高手”人数的一半,那 么称该题为难题.则难题数的最大可能值为 .前进工作室 1 ⑵[解答]设 f ?x ? 是一个 98 次的多项式,使得 f ?k ? ? ,k=1,2,??,99.求 k

f ?100? 的值.前进工作室

奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 1 页 共 11 页

命题者 前进工作室 第二部分(共 3 大题,计 110 分)

一、单项选择题(共 6 小题,每题 5 分,计 30 分) .

1. 当a和b取遍所有实数时,函数 f ?a,b ? ? ?a ? 5 - 3 cos b ? ? ?a ? 2 sin b ? 所能达
2 2

到的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 数列 ?an ?共有11项. a1 ? 0 , a11 ? 4 ,且 ak ?1 ? ak ? 1,k=1,2,??,10.满足 这种条件数列的个数为 ( ) A.100 B.120 C.140 D.160 ??? ? ??? ? x 3. 点Q在x轴上, 若存在过Q的直线交函数y=2 的图象于A, B两点, 满足 QA ? AB , 则称点Q为“Ω点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A. x 轴上仅有有限个点是“Ω 点” B. x 轴上所有的点都是“Ω 点” C . x 轴上所有的点都不是“Ω 点” D. x 轴上有无穷多个点(但非所有的点)是“Ω 点” 2015 nx 4. 已知数列 ?an ?的通项 an ? , n ? N? ,若 ? a k ? 1 ,则 ?x ? 1??2 x ? 1? ? ? ? ?nx ? 1? k ?1 实数x等于 ( ) 3 5 9 11 A. ? B. ? C. ? D. ? 2 12 40 60 5. 设 k 是一个不小于3的正整数, ? 是一个实数.若 cos(k ?1)? 和 cos k? 都是有 理数,则存在正整数 n ? k ,使得M= cos(n ?1)? 和N= cos n? 符合说法( ) A.M为无理数,N为有理数 B.M为有理数,N为无理数 C.M,N均为无理数 D.M,N均为有理数 6. 已知16个点排成一个4× 4的点阵,使得从这个点阵中任取 n n ? N? 个点,一 定存在以这些选取点为顶点的等腰三角形,则n的最小值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题(共 9 小题,每题 6 分,计 54 分) . 7. 钝角 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 ?2a ? c?cosB ? b cosC , sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? ? sin B sin C?? ? R? , 则 ? 的值域为 .前进工作室 sinA sin B ? ? 2 ,且A+B=t,则使得 8. 在 ?ABC 中,已知 cos B cos A sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? a 2t ? 有唯一解的a的值为 在 ?0, .前进工作室 AC ? BD 9. 已知存在一个五边形ABCDE,满足∠A=∠B=∠C=∠D=120° ,则 的 AE ? ED 最小值为 .前进工作室

?

?

? ? ? ?1 - tan tan ? 2 2 10. 设 ?、? 都是锐角,则代数式 A ? ? cot? cot ?

? ? ? ? 的最大值为

2



奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 2 页 共 11 页

命题者 前进工作室 11. 面积为1的 ?ABC 的边AB,AC上分别有点D,E,线段BE,CD相交于点P.点 D,E分别在AB,AC上移动,且四边形BCED的面积是 ?PBC 面积的两倍, 则 ?PBE 面积的最大值为 .前进工作室 12. 已知 U ? ? ? ? ?,An ?.且可 ?x, y? x ? y ? 2,x ? 0,y ? 0?, A ? U , A ? ?A1,A2, 以将A分成两个集合,其中一个集合中,点的横坐标之和不大于6,一个集合 中,点的纵坐标之和不大于6,则n的最大值为 .前进工作室 x x ? log 2 (2 ? 3a) 13. 已知实数 a 使得 2 是不等式 ? 2 的最小整数解,则a的取值范 1 ? log 2 a 围为 .前进工作室 b 14. 已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则 的取值范围 a 是 .前进工作室 15. 设直线系 M:x cos? ? ? y ? 2?sin ? ? 1?0 ? ? ? 2? ? ,对于下列四个命题: ① M 中所有直线均经过一个定点;前进工作室 ② 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上; ③ 对于任意整数 n(n ? 3) 存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上; ④ M 中的直线所能围成的三角形面积都相等. 其中所有真命题的序号是: .前进工作室 三、解答题(本大题分 2 小题,共 26 分) . 16. (本题满分12分)定义在正实数集上的函数 f ?x ? 满足下列条件: ① 存在常数 a?0 ? a ? 1? ,使得 f ?a ? ? 1 ;前进工作室 ② 对任意实数m,当 x ? R ? 时,有 f x m ? mf ?x? . ⑴ 求证:对于任意正数x,y, f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? ;

? ?

8 ⑵ 若不等式 f ? log2 a ? 4 ? x ? ? 2? ? f ? loga (4 ? x) ? ? 3 恒成立,求实数a的取值范

围.前进工作室

奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 3 页 共 11 页

命题者 前进工作室 17. (本题满分14分)设数列 ?an ?的前n项和为 Sn , a1 ? 0 ,vSn?1 ? uSn ? a1v ,其中 u、v为正整数,且u>v,n∈N+.前进工作室 ⑴ 证明: ?an ?为等比数列;前进工作室 ⑵ 设 a1 、 a p 两项均为正整数,其中p≥3. ① 若p≥ a1 ,证明: v u . ② 若存在正整数m,使得 a1 ? m p?1 , a p ? ?m ? 1? 证明: S p ? ?m ? 1? ? m p .前进工作室
p p ?1



奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 4 页 共 11 页

班级 姓名 考号 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 装订线 装订线 装订线

命题者 前进工作室

奥赛班 数学能力评估三 试题卷
[ MATHEMATICS Answer question volume] (满分:150 分 时间: 120 分钟) 第一部分(共2小题,第I题15分,第II题25分,计40分) I. [解答,15 分]如图,设点 P 在?ABC 的外接圆上,直线 CP 和 AC 相交于 点 E,直线 BP 和 AC 相交于点 F,边 AC 的垂直平分线交边 AB 于点 J,边 AB CE 2 AJ ? JE ? 的垂直平分线交边 AC 于点 K,求证: . 2 BF AK ? KF

第I题

奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 5 页 共 11 页

命题者 前进工作室 II. ⑴[填空,5 分]某次竞赛共 8 个题,若某个参赛者做对的题数大于 4, 就称其为“高手”, 如果做对某个题目的“高手”人数小于全部“高手”人数的 一半,那么称该题为难题.则难题数的最大可能值为 .前进工作室 ⑵[解答,20 分]设 f ?x ? 是一个 98 次的多项式,使得
f ?k ? ? 1 ,k=1,2,??,99. k

求 f ?100? 的值.前进工作室

第二部分(共 3 大题,计 110 分) 一、单项选择题(共 6 小题,每题 5 分,计 30 分) .

题目 答案

1

2

3

4

5

6

二、填空题(共 9 小题,每题 6 分,计 54 分) . 7、 10、 13、 8、 11、 14、 9、 12、 15、

奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 6 页 共 11 页

命题者 前进工作室 三、解答题(本大题分 2 小题,共 26 分) . 16、(本题满分12分)定义在正实数集上的函数 f ?x ? 满足下列条件: ① 存在常数 a?0 ? a ? 1? ,使得 f ?a ? ? 1 ; ② 对任意实数m,当 x ? R ? 时,有 f x m ? mf ?x? . ⑴ 求证:对于任意正数x,y, f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? ; ⑵ 若不等式前进工作室 恒成立,求实数a的取值范围.前进工作室

? ?

8 f ? log2 a ? 4 ? x ? ? 2? ? f ? loga (4 ? x) ? ? 3

奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 7 页 共 11 页

命题者 前进工作室 16、(本题满分14分)设数列 ?an ?的前n项和为 Sn , a1 ? 0 , vSn?1 ? uSn ? a1v , 其中u、v为正整数,且u>v,n∈N+.前进工作室 ⑴ 证明: ?an ?为等比数列; ⑵ 设 a1 、 a p 两项均为正整数,其中p≥3. ① 若p≥ a1 ,证明: v u . ② 若存在正整数m,使得 a1 ? m p?1 , a p ? ?m ? 1? 证明: S p ? ?m ? 1? ? m p .前进工作室
p p ?1



奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 8 页 共 11 页

命题者 前进工作室

奥赛班 数学能力评估三试卷 参考答案
[ MATHEMATICS Examination paper reference answer] (本卷满分: 150 分) 第一部分(共2小题,第I题15分,第II题25分,计40分) I. 证明 连接 BK,CJ.前进工作室 ∠E=∠ABP-∠BPE, 而由 A,B,P,C 四点共圆, 知∠BPE=∠A, 故∠E=ABP-∠A,前进工作室 又由 KA=KB, 知∠A=∠ABK, 故∠E=∠ABP-∠ABK=∠KBF.(①)(3 分) 同理∠F=∠JCE.(②)(5 分) 由①,②得?JEC∽?KBF.(7 分) CE JE JE ? ? , (③) 由此 BF KB AK CE JC AJ ? ? . (④),前进工作室 BF KF KF 将③,④两式左端、右端分别相乘即得结论.(15 分)

II.⑴ [填空] (5 分) ⑵ [解答]前进工作室 解

5

构造 g ?x ? ? xf ?x ? ? 1为 99 次多项式,(5 分)

∴ g ?x ? ? 0 ,x=1,2,??,99,前进工作室

g ?x? ? a?x ?1??x ? 2?? ? ? ?x ? 99? ,(10 分)
由 f ?x ? ?
g ?x ? ? 1 知,前进工作室 x

只需 a?x ? 1??x ? 2?? ? ? ?x ? 99? ? 1的常数项为 0 即可.(15 分)

?a?

1 ,(17 分) 99! 1 .(20 分) 50

将 x=100 代入即得 f ?100 ? ?

奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 9 页 共 11 页

命题者 前进工作室 第二部分(共 3 大题,计 120 分) 一、单项选择题(共 6 小题,每题 5 分,计 30 分) . [ 1~6 ] B B B D B C

二、填空题(共 9 小题,每题 6 分,计 54 分) . 7、 ?- 1 , 0? ?

? 3, 2?

8、 1 11、 5 2 - 7 14、 ?e, 7?

9、

3 4

10、 3 ? 2 2
?1 ? 13、 ? , 1? ?2 ?

12、 11 15、 ②③

三、解答题(本大题分 2 小题,共 26 分) . 15、(12 分)(可能有多种解法)前进工作室 ⑴证明: 且0 ? a ?1 , 根据指数函数性质可知, 总有实数 m, n ? x, y 均为正数, 使得 x ? a m , y ? a n ,于是 f ?xy? ? f a m a n ? f a m?n ? ?m ? n? f ?a? ? m ? n , 又 f ? x ? ? f ? y ? ? f (am ) ? f (an ) ? mf (a) ? nf (a) ? m ? n , ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ??????????????????3 分 ⑵解:令 loga (4 ? x) ? t ,原不等式化为 f ?t 2 ? 2? ? f ?8t ? ? 3 ,其中 t ? 0 .
? x? ? f ( x) ? f ( y) ? f ( x) ? f ( y ?1 ) ? f ? ? 且 f (a) ? 1(0 ? a ? 1) , ? y?
3 不等式可进一步化为 f ? ? ? f ? a ? ,??????????????5 分 8 t ? ?

?

?

?

?

? t2 ? 2 ?

又由于单调递减(任设 x1 , x2 ? R ? , x1 ? x2 ,可令 x1 ? x2 t ?t ? 1? ,t ? a? (? ? 0) . 则由⑴知 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x2t ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 ? ? f ?t ? ? f ?x2 ?
? f ?t ? ? f ? a? ? ? ? f ? a ? ? ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? .

? f ( x) 在正实数集上单调递减前进工作室
? t2 ? 2 ? a3 对于 t ? 0 恒成立.??????????????????8 分 8t

奥赛班 数学能力评估三试题卷 第 10 页 共 11 页

命题者 前进工作室
2 ? ? ? t2 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ,前进工作室 ? ?? t ? ? 2 2 而 ? ? ? ? 2 2 8t 8 ?? t ? ? ?

且当 t ? 2 时 ?
? a3 ? 1 2 2

? t2 ? 2 ? 1 .?????????????????10 分 ? ? ? 8t ?min 2 2
2 .????????????12 分 2

,又 0 ? a ? 1 ,终得 0 ? a ?

(共 12 分) 16、(14 分)(可能有多种解法)前进工作室

(3 分)

(5 分) (7 分)

(9 分)

(12 分)

(14 分)

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