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第二章 简单随机抽样


第二章 简单随机抽样
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 概述 总体均值与总量的简单估计 总体比例的简单估计 样本量的确定 放回简单随机抽样

第一节 概述
一、简单随机抽样 1、定义:全部可能的样本被抽中的概率都相等。 2、分类:有放回SRS 、无放回SRS。 3、特点:有放回SRS ,只讨论和使用考虑顺序的情形; 无放回SRS,只

讨论和使用不考虑顺序的情形。 4、结论:在实践中,一般多采用不考虑顺序无放回SRS。 二、实施方法 ? 1、抽签法 ? 2、随机数表法 三、局限性 ? 1、要求总体中的每个单元都有一个号码 ? 2、实际调查中困难很多

第二节 总体均值与总量的简单估计
一、简单估计及其无偏性 ?在没有其它信息的条件下,对总体均值 的简单估计为:

?y y?
n

i

?抽样理论证明样本平均数是总体均值的 有效、无偏估计量。 ?证明:对称性论证法。

二、估计量的方差
? ? E ?Yi ? Y ?
2 2

1 ? N

? ?Y ? Y ?
N i ?1 i

2

S

2

N 1 ? ? ?Yi ? Y N ? 1 i ?1

?

2

N ? n 2 1? f 2 V ?y? ? S ? S Nn n

说明:
?在不考虑1-f的情况下,估计量的方差与

样本容量n成反比;
?样本均值的方差与总体方差成正比。

三、估计量的方差估计 n 1 2 2 s ? ? ? yi ? y ? n ? 1 i ?1 1 ? n 2 2? ? ? ? y i ? ny ? n ? 1 ? i ?1 ?
1? f 2 V ?y? ? S n
用s2代替S2

1? f 2 v? y ? ? s n

?总量的方差估计:
N ?N ? n ? 2 V ?Y ? ? V ?Ny ? ? S n
N ?N ? n ? 2 v? Ny ? ? s n

?置信区间:

? 1? f 1? f ? y ? u? s, y ? u? ? n n ?

? s? ? ?

例题
为调查某地区1960个村新棉收购情况,
以简单不重复抽样方式随机抽取49个村 进行调查,求得 x ? 7000公斤及s ? 180公斤 试以95%的可靠程度估计该地区平均每村 收购多少斤?

样本设计效果的测定
样本设计效果又称为抽样效果,判断的根据 估计量方差或均方误差。 SRS是最基本的样本设计,因此,习惯上将 各种样本设计的估计量方差或均方误差与 SRS简单估计量方差对比测定样本设计效果, 称之为设计效果系数。 Deff=MSE(θ)/Vsrs(θ)

设计效应与样本量的确定 ?设计效应是指一个特定的抽样设计估计 量的方差对相同样本量下不放回简单随 机抽样的估计量的方差之比。 即:
所考虑抽样设计估计量的方差 deff ? 相同样本量下不放回简单随机抽样估计量的方差

设计效应还可用来确定样本量。

第三节 总体成数的简单估计
一、对总体的描述
? 成数:总体中具有某种特征的单位在总体中所占的比例。
N i ?1

A ? ? Yi , 其中:Yi ? 1, 若第i单元入样;否则为零 A P? N 1? f 2 N ? n N PQ N ? n v( P) ? S ? . PQ ? n Nn N ? 1 n N ?1 n 2 2 由于S 的无偏估计为s ? pq,所以 n -1

1? f v( p) ? pq n ?1 是总体比例方差的无偏估计 N (1 ? f ) v ( Np) ? pq n ?1
2

?例:从5620个中学中抽出一个含有300个 学校的简单随机样本,其中有187个学校 赞成一项提案,试估计赞成该提案的比 例及总的学校数。

二、估计量及其性质 a 1 2 p? s ? p (1 ? p ) n n ?1 E ( p ) ? P E ( Np) ? NP ? A

N ? n PQ V ( p) ? ? N ?1 n 2 N ? n N PQ V ( Np) ? ? N ?1 n

?例:对某问题进行调查,在总体中抽取
容量为200的简单随机样本,若赞成,反

对及不表态的人数分别为132,51,17,
试给出赞成、反对及不回答比例的90%

的近似置信区间。

?置信区间:

[ p ? u?

?1 ? f ? pq , p ? u ?1 ? f ? pq ]
n ?1
?

n ?1

[a ? u?

N ( N ? n) pq N ( N ? n) pq , a ? u? ] n ?1 n ?1

第四节 样本量的确定
一、确定样本量的原则与主要考虑因素 ?1、费用 ?2、误差限 ?3、其他因素 原则:在经费一定的前提下,样本容量 的选择要使精度达最高,或在精度要求 确定的前提下,样本容量的选择要使经 费达到最省。

二、估计总体均值或总量时样本量的确 定方法 ?若给定估计量的方差上限V

S V n? 2 1 ? S NV
令n0 ? S 2 V n0 n? 1? n0 N

2

?(1)若给定d
2 2 2 ? u? S ? u? S d n0 ? ? ? n? 2 2 2 ? d ? 1 ? u? S d N ?(2)若给定r
2

?

?

n0 ? ?u? S rY ?

2

?(3)若给定c

n0 ? ?S cY ?

2

?例:一批电子元件有1600只,为估计元
件的平均寿命,先根据抽样计算出样本 平均寿命为8400小时,标准差为760小时, 如果要求估计的绝对误差限为168小时, 可靠程度在95%以上,问至少应抽取多 少只元件?

三、估计总体比例时样本量的确定法 ?1、若给定d

u? PQ n0 ? 2 d
?2、若给定r

2

n0 n? n0 ? 1 1? N
2

u? Q n0 ? 2 r P

?3、若给定方差上限V
PQ n0 ? V ?4、若给定变异系数上限c
Q n0 ? 2 c P

?例:在人口变动情况调查中,出生率是
一个十分重要的指标。根据以前调查的 数据,出生率的估计可取为18‰,问在 置信度为95%下,实际调查估计P的绝对 误差限为0.5‰和相对误差限为5%各需要 多大的样本量?

?例:某销售公司希望了解全部3000家客 户对该公司的综合满意程度,决定用电 话来调查一个简单随机样本,这时销售 公司希望以95%的把握保证客户满意的 总体比例P在样本比例p±10%的范围内, 但对总体P无法给出一个大致的范围,这 时,应该调查多少个客户才能保证对总 体比例估计的要求?

四、逆抽样法
适用对象:稀有事件的比例估计问题 原理:根据调查精度的要求,事先确定其样本中含 有稀有事件的个数m,然后一个一个地随机抽取样本, 直至样本中含有m个稀有事件为止,此时样本量是一 个随机变量。

p(? ? n) ? C

m ?1 n ?1

p q

m

n?m

主要结论: 1. E(n)=m/p 2. 总体比例无偏估计为:p=m-1/n-1 3. 离散系数(精度)上界:cv2(p) ≈1/m-1

第五节 放回简单随机抽样
一、估计量及其性质
1 y ? ? yi n V ( y) ?

?2
n
样本方差s2是总体方差? 的无偏估计量
2

s2 v( y ) ? n


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