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框架-剪力墙结构的内力和位移计算
第一节
一、问题的提出
框架-剪力墙结构是由框架和剪力墙组成的结构体系, 在这种结构体系中, 剪力墙的侧 向刚度比框架的侧向刚度大得多。 由于剪力墙的侧向刚度大, 因而承受水平荷载的主要部分, 框架有一定的侧移刚度,也承受一定的水平荷载;它们各承受水平荷载的多少,主要取决于 剪力墙和框架侧向刚度之比, 但又不是一个简

单的比例关系。 因为框架-剪力墙结构是由框 架和剪力墙两部分共同组成的, 因而在水平荷载作用下, 就存在框架与剪力墙之间是如何协 同工作的问题。 为了说明问题,不妨先把框架-剪力墙结构拆开呈框架和剪力墙两个独立部分(图 1) 。 图 1(a)剪力墙是一个竖向悬臂梁,在水平荷载作用下,变形曲线如图 1(a)中虚线所示, 以弯曲变形为主;图 1(b)框架在水平荷载作用下的变形如图 1(b)中虚线所示,是以剪 切变形为主的。

框架-剪力墙协同工作原理和计算简图

图1

剪力墙和框架的变形

但是,框架-剪力墙结构是互相连结在一起的一个整体结构,并不是单独分开的[图 2 (a)],因此,它的变形曲线就不会像图 1 那样,而是介于弯曲型和剪切型之间的一种中间 状况,为了清楚起见,将它画在图 2(c)中。图 2(c)中 a 为剪力墙单独变形的曲线,b 为框架单独变形的曲线,c 为框架-剪力墙结构协同变形的曲线。 从图 2(c)可以看出,在结构的上部剪力墙的位移比框架要大,而在结构的下部,剪 力墙的位移又比框架要小。在结构下部,框架把墙向右拉,墙把框架向左边拉[图 2(b)], 因而框架-剪力墙的位移比框架的单独位移要小,比剪力墙的单独位移要大;在结构上部, 与之相反,框架把墙向左推,墙把框架向右推[图 2(b)],因而框架-剪力墙结构的位移比 框架的单独位移要大,比剪力墙的单独位移要小。

图2

框架-剪力墙协同工作受力和变形

由以上的初步分析可见, 楼板和连梁的连接作用使框架与剪力墙协同工作, 有共同的变 形曲线,因而在框架与剪力墙之间产生了相互作用的力,这些力之上而下并不是相等的,有 时甚至会改变方向[图 2(b)]。 在以往的设计中,为了计算简单,常常假设剪力墙承担 80%的水平力,框架承担 20% 的水平力,显然,这样没有考虑框架和剪力墙协同工作的特点,而是一律按固定的比例来分 配水平力,结果不仅太粗糙,也是不合理的。所以,较准确的计算应考虑框架-剪力墙的协 同工作,正确的解决框架与剪力墙之间的相互作用力。 框架-剪力墙结构协同工作的计算方法很多, 但主要分两大类: 一类用矩阵位移法通过 计算机进行求解; 一类是在基本假设基础上的简化计算方法。 本章主要介绍工程中常用的一 种借助于图表曲线的简化计算方法。

二、两种计算简图
框架-剪力墙结构的计算简图,主要是确定如何合并总剪力墙、总框架,以及确定总剪 力墙和总框架之间的连接和相互作用方式。剪力墙和框架之间的连接有两类: 1. 通过楼板

图3

框架-剪力墙绞结体系

(a)结构平面图; (b)计算简图

图 3(a)所示框架-剪力墙结构,框架和剪力墙是通过楼板的作用连接在一起的,刚 性楼板保证了在水平力作用下, 同一楼层标高处, 剪力墙与框架的水平位移是相同的; 另外, 楼板平面外刚度为 0,它对各平面抗侧力结构不产生约束弯矩。如图 3(a)所示框架-剪力

墙结构,计算简图将如图 3(b)所示。图中总剪力墙包含 2 片剪力墙,总框架包含 5 榀框 架,链杆代表刚性楼板的作用,将剪力墙与框架连在一起,同一楼层标高处,有相同的水平 位移。这种连接方式或计算简图称为框架-剪力墙绞结体系。 2. 通过楼板和连梁 图 4(a)所示结构平面是另一种情况。横向抗侧力结构有 2 片双肢墙和 5 榀框架,如 图 4(b)所示,双肢墙的连梁对墙肢会产生约束弯矩,画计算简图时为了简单,常将图 4 (b)画为图 4(c)的形式,将连梁与楼盖链杆的作用综合为总连杆。图 4(c)中剪力墙与 总连杆间用刚结,表示剪力墙平面内的连梁对墙有转动约束,即能起到连梁的作用;框架与 总连杆间用绞结,表示楼盖链杆的作用。被连接的总剪力墙包含 4 片墙,总框架包含 5 榀框 架;总连杆中包含 2 根连梁,每梁有两端与墙相连,即 2 根连梁的 4 个刚结端对墙肢有约束 弯矩作用。这种连接方式或计算简图称为框架-剪力墙刚结体系。

图4

框架-剪力墙刚结体系

(a)结构平面图; (b)双肢墙与框架; (c)计算简图

对图 4(a)所示结构,当计算纵向地震作用时,计算图仍可画为图 4(c)的统一形式。 确定总剪力墙、总框架和总连杆时要注意,中间两片抗侧力结构中,又有剪力墙又有柱;一 端与墙相连、另一端与柱(即框架)相连的梁也称为连梁,该梁对墙和柱都会产生转动约束 作用;但该梁对柱的约束作用已反映在柱的 D 值中,该梁对墙的约束作用仍以刚结的形式 反映,所以仍可画为图 4(c)中一端刚结、一端绞结的形式,所以图 4(a)结构在纵向地 震作用的计算简图仍为图 4 (c) 。 总剪力墙包含 4 片墙, 总框架包含 2 榀框架和 6 根柱子 (也 起框架作用) ,总连杆中包含 8 根一端刚结、一端绞结的连梁,即 8 个刚结端对墙肢有约束 弯矩作用。

最后要指出:计算地震力对结构的影响时,纵、横两个方向均需考虑。计算横向地震力 时,考虑沿横向布置的抗震墙和横向框架;计算纵向地震力时,考虑沿纵向布置的抗震墙和 纵向框架;取墙截面时,另一方向的墙可作为翼缘,取一部分有效宽度,取法见第四章。

三、协同工作的基本原理
图 3(b)和图 4(c)所示的计算简图仍是一个多次超静定的平面结构,欲做简化计算 还需作进一步的假设,采用更简单的计算简图,才适合手算。 现以框架-剪力墙绞结体系(图 5)为例,说明协同工作的基本原理。

图5

框架-剪力墙协同工作原理

框架-剪力墙体系在水平荷载作用下, 由框架和剪力墙共同承受外荷载。 将链杆切断后, 在楼层标高处,剪力墙与框架之间有相互作用的集中力 PFi[图 5(b)]。对剪力墙来说,除 外荷载外还有框架给墙的集中反作用力 PFi。为了计算方便,可以把集中力简化为连续的分 布力 PF[图 5(c)],与此对应,原来只是在每一楼层标高处剪力墙与框架变形相同的变形 连续条件[图 5(a)]也可以简化为沿整个建筑高度范围内剪力墙与框架变形都相同的变形连 续条件。 当楼层数目较多时,这一由集中变为连续的简化不会带来很大误差。这样,剪力墙可视 为下端固定、上端自由,承受外荷载与框架弹性反力的一个“弹性地基梁” [图 5(c)]; 框架就是梁的“弹性地基” [图 5(d)]。由此两者共同承受水平荷载,这就是框架-剪力 墙协同工作的基本原理。

第二节

框架-剪力墙绞结体系在水平荷载下的计算

一、总剪力墙和总框架刚度的计算
总剪力墙抗弯刚度 EI W 是每片墙抗弯刚度的总和,即 EI W = 的等效抗弯刚度,可用第四章中介绍的方法计算。 总框架是所有梁、柱单元的总和,总框架的抗剪刚度是所有框架柱抗剪刚度的总和。框 架的抗剪刚度(或剪切刚度,有时也简称为框架的刚度)定义是:产生单位层间变形间所需 的剪力 C F [图 6(a)], C F 可以由框架柱的 D 值求出来。由图 6,总框架的抗剪刚度为:

∑ EI

eq

。 EI eq 为每片墙

CF = h × ∑ D j
式中求和号表示同层中所有柱 D 值之和。

图6

框架的抗剪刚度

(a)框架的抗剪刚度; (b)框架的 D 值

在连续化的协同工作计算法中,假定总剪力墙各层抗弯刚度相等,为 EI W ;总框架各 层抗剪刚度也相等,为 C F 。而实际工程中,各层的 EI W 或 C F 可能不同,如果各层刚度变 化太大, 则本方法不适用; 如果相差不大, 则可用沿高度加权平均方法得到平均的 EI W 和 C F

EI W =
值:

CF

∑E I ∑h ∑C h = ∑h
Fj j

j Wj j

j

hj ? ? ? ? ? ? ?

式中: E j I Wj 为剪力墙沿竖向各段的抗弯刚度;C Fj 为框架沿竖向各段的抗剪刚度;h j 为各 段相应的高度。 当框架的高度大于 50m 或大于其宽度的 4 倍时,应考虑柱轴向变形对框架-剪力墙体 系的内力和位移的影响,这时可用考虑柱轴向变形影响后的等效刚度来代替上述的框架刚 度,其计算公式为:

CF 0 =

?M CF ?M + ?N

式中:C F 0 为框架考虑了柱轴向变形影响后的等效刚度; ? M 为仅考虑梁、柱弯曲变形时框 架的顶点位移; ? N 为仅考虑柱轴向变形时框架的顶点位移。

? M 和 ? N 可用第三章中的简化方法计算,计算时可以任意给定荷载,但必须使用相同
的荷载计算 ? M 和 ? N 。

二、基本方程及其解
框架-剪力墙绞结体系连续化计算方法的计算归结为计算简图 5(c)所示悬臂墙和图 5 (d)所示框架的协同工作。 对悬臂墙来说,除承受分布荷载 p ( x) 外,还承受框架给它的弹性反力 p F 。弯曲变形、 内力和荷载间有如下的关系(图 7) :

d2y dx 2 d3y VW = ? EI W dx 3 M W = EI W

? ? ? ? ? ? d4y? pW = p ( x) ? p F = EI W ? dx 4 ?

图7

墙的荷载和内力

图8

框架受力与变形

对框架而言,当变形为 θ ?θ =

? ?

dy ? : ? 时,框架所受的剪力为(图 8) dx ?

VF = C Fθ = C F dVF d2y 微分一次得: = CF = ? pF dx dx 2 ?

dy dx

d 4 y C F d 2 y p ( x) ? = EI W dx 4 EI W dx 2

为了以后应用方便,引入符号:

λ=H

CF x ,ξ = H EI W

其中:λ 是一个无量纲的量,称为结构刚度特征值,它是与剪力墙和框架的刚度比有关 的一个参数,对剪力墙的受力状态和变形状态有很大的影响;ξ 为相对坐标,坐标原点取在 固定端处。 引入上述符号后,方程可变为:
2 d4y p(ξ ) H 4 2 d y λ ? = EI W dξ 4 dξ 2

这就是求解侧移 y (ξ ) 的基本微分方程。

边界条件:
(1)当 x = H (即 ξ = 1 )时,在倒三角形分布及均布水平荷载下,框架-剪力墙顶部总 剪力为 0,V = VW + V F = 0 ,即 ?

EI W d 3 y C F dy + = 0 ;在顶部集中水平力作用 H 3 dξ 3 H dξ

下, VW + V F = P ,即 ?

EI W d 3 y C F dy + =P H 3 dξ 3 H dξ dy =0 dξ d2y =0 dξ 2

(2)当 x = 0 (即 ξ = 0 )时,剪力墙底部转角为 0,即

(3)当 x = H (即 ξ = 1 )时,剪力墙顶部弯矩 M W 为 0,即 (4)当 x = 0 (即 ξ = 0 )时,剪力墙底部位移为 0,即 y = 0

在给定的荷载下,由上述边界条件可求出基本微分方程的解,即侧移 y ;侧移 y 求出 后,剪力墙任意截面的转角 θ ,弯矩 M 及剪力 V 可由下列微分关系式求得:

θ=

? ? ? dθ d 2 y EI W d 2 y ? ? = EI W = 2 M W = EI W 2 2 ? dx dx H dξ ? dM W EI W d 3 y ? d3y = ? EI W = ? VW = ? ? dx dx 3 H 3 dξ 3 ? ? dy 1 dy = dx H dξ

正负号仍采用梁中通用的规定,图 7 中所示均为正号方向。 框架的剪力可由下式求出:

VF = C Fθ = C F

dy C F dy = dx H dξ

也可以由总剪力减去剪力墙的剪力得到: V F = V P ? VW

三、三种水平荷载作用时的计算公式与图表
由上面的分析可见,总剪力墙及总框架内力和位移的主要计算公式是 y 、 M W 、VW 及

VF ,下面分别给出三种典型水平荷载下的计算公式。
1. 均布水平荷载

图9

均布水平荷载

2. 倒三角形荷载

图 10

倒三角形水平荷载

3. 顶部作用水平集中力

图 11

顶部水平集中力

PH 3

PH
P

P
4. 计算图表

y 、 M W 、 VW 及 V F 中自变量为 λ 、 ξ ,为使用方便,已分别将三种水平荷载下的位
移、弯矩及剪力画成曲线,分别见课本 P124 图 5-4 至图 5-12。 图表中的值分别是位移系数

M (ξ ) V (ξ ) y (ξ ) 、弯矩系数 W 、剪力系数 W ; f H 是悬臂 fH M0 V0

墙的顶点位移、 M 0 是底截面弯矩、 V0 是底截面剪力,悬臂墙在三种不同的水平荷载下均 有各自的 f H 、 M 0 、V0 值,已分别列于相应的图表中。使用时可根据该结构的 λ 值及所求

截面的坐标 ξ 从图表中查出系数, 代入下式即可求得该截面剪力墙的内力及该结构同一位置 的侧移。

fH

fH

第三节

框架-剪力墙刚结体系在水平荷载下的计算

当考虑连梁对剪力墙的转动约束作用时,框架-剪力墙结构的计算简图如图 12(a)所 示,称为框架-剪力墙刚结体系。当切开连梁,将剪力墙和框架分开后,在楼层标高处,连 梁中除了有相互作用的轴向力 PFi 外,还有剪力[图 12(b)]和弯矩(连梁中间反弯点处弯矩 为 0) ;将剪力和弯矩向墙肢截面形心轴取矩,就形成约束弯矩 Mi [图 12(c)];将约束弯 矩 Mi 简化为分布的线力矩 m [图 12(d)],图 12(d)就是框架-剪力墙刚结体系协同工作 的关系图。 从图中可以看出框架-剪力墙刚结体系与绞结体系主要区别在于总剪力墙和总框 架之间的连梁对墙肢有约束弯矩作用。下面讨论连梁的梁端约束弯矩 Mi。

图 12

框架-剪力墙刚结体系协同工作关系

一、刚结连梁的梁端约束弯矩系数
框架-剪力墙刚结体系的连梁进入墙的部分刚度很大,可用壁式框架中所讲的处理方 法,把进入墙的一部分连梁的刚度视为无限大(图 13 和图 14) ,刚性段的取法参考第四章。 所以,刚结体系的连梁是带有刚性边段(即刚域)的梁。

图 13

剪力墙与框架间的连梁

图 14

剪力墙之间的连梁

图 15 带刚域梁的约束弯矩系数

在水平荷载作用下, 由于假设楼板在本身平面内刚度为无限大, 所以剪力墙与框架协同 工作时,同层墙与框架的水平位移必然相等;同时假设同层所有结点的转角 θ 也相同。我们 把刚结连梁两端都产生单位转角时梁端所需施加的力矩,称为梁端约束弯矩系数,以 m 表 示(图 15) 。第四章中曾推导出梁端约束弯矩系数的公式为:

如果不考虑剪切变形的影响,可令 β = 0 。 令上式中 b = 0 ,就得到仅左面有刚性边段的梁端约束弯矩系数:

这里应指出:在实际工程中,按以上公式计算的结果,连梁的弯矩往往较大,梁配筋很 多,为了减少配筋,允许考虑连梁的塑性变形,进行塑性调幅。塑性调幅的方法是降低连梁 的刚度,在上面两式中用 β h EI 代替 EI , β h 值一般不小于 0.55。 有了梁端约束弯矩系数 m12 和 m 21 ,就可以求出梁端有转角 θ 时的约束弯矩:

M 12 = m12θ ; M 21 = m21θ
将集中的约束弯矩连续化均布在整个层高上,则均布的线弯矩为:

mij =

M ij h

=

mij h

θ

当同一层内连梁有 n 个刚结点与剪力墙连接时,总线约束弯矩为:

m=∑
1

n

mij h

θ

式中总和数为梁与墙连接点的总数;上式就是刚结连梁给剪力墙的线约束弯矩公式。

二、基本方程及其解

图 16

刚结体系剪力墙的受力关系

图 16 计算简图中,刚结连梁的约束弯矩使剪力墙 x 截面产生的弯矩为:

M m = ? ∫ mdx
x

H

相应的剪力和荷载分别为:

上式中剪力及荷载称为“等代剪力”和“等代荷载” ,其物理意义为刚结连梁的约束弯矩作 用所分担的剪力和荷载。 有了约束弯矩后,剪力墙的变形、内力和荷载间的关系可表示为:

与无约束弯矩的剪力墙相比,后两式中均多了一项,即多了“等代剪力”和“等代荷载” 。

由于总框架的受力仍与绞结体系相同, p F 仍与前相同,即:

pF = ?

dV F d2y = ?C F dx dx 2 mij
2 h d y = p ( x) EI W dx 2

?
引入符号:

d y ? dx 4

4

CF + ∑ EI W

λ=H ξ=
其中: C m = C F +

CF + ∑ EI W

mij

x H

? ? h = H Cm ? ? EI W ? ? ? ? ?



mij h
2 d4y p(ξ ) H 4 2 d y ? = λ EI W dξ 4 dξ 2

?

这就是求解侧移 y (ξ ) 的基本微分方程,它与绞结体系的基本微分方程式完全是一样的,因 而绞结体系中所有微分方程的解对刚结体系都适用, 所有曲线也可以应用, 但要注意以下两 点区别: (1)结构的刚度特征值 λ 不同,刚结体系中应考虑刚结连梁约束弯矩的影响; (2)剪力墙、框架剪力计算不同。 由课本 P124 中的曲线图查出的墙剪力系数计算出的 VW 是绞结体系总剪力墙的剪力,而 不是刚结体系总剪力墙的剪力。 在刚结体系中,先把由 y 微分三次得到的剪力记为 VW (图中查得的结果是按此关系得 到的) ;再考虑连梁约束弯矩的影响,有:

d3y EI W = ?VW = ?VW + m dx 3 ? VW = VW + m
因为要考虑刚结连梁约束弯矩的影响,所以对墙和框架分别引入两个广义剪力,即:

VW = VW ? m 和 V F = VF + m ,其中 m 为梁约束弯矩的影响。

由于任意高度处 ( ξ 处) 总剪力墙剪力和总框架剪力之和应与外荷载产生的总剪力相等, 即: V P = VW + V F = VW + V F ,则 V F = V P ? VW 。 最后,将刚结体系剪力墙和框架剪力及连梁约束弯矩的计算步骤列下: (1)由刚结体系的 λ 值及 ξ 值,查课本 P124 图,得墙的剪力系数,算出墙的广义剪力 VW ; (2)将总剪力 V P 减去墙的广义剪力 VW ,得框架的广义剪力 V F ; (3)将 V F 按框架抗剪刚度和连梁刚度比例分配,求出框架的总剪力 V F 和梁端的总约束弯 矩m ;

VF =

? ? ? ? mij ? ∑h ? m= VF ? ? Cm ?
CF VF Cm VW = VW + m

(4)按下式计算墙的剪力

三、各剪力墙、框架和连梁的内力计算
在求出总剪力墙、总框架和总连梁内力之后,还要求出各墙肢、各框架梁柱及各连梁的 内力,以供设计中控制截面所需。 1. 剪力墙内力 剪力墙的弯矩和剪力都是底部截面最大,愈往上愈小,一般取楼板标高处的 M 、V 作 为设计内力。求出各楼板坐标 ξ j 处的总弯矩、剪力后,按各片墙的等效刚度进行分配,第 j 层第 i 个墙肢的内力为:

M Wij = VWij
2. 各框架梁、柱内力

? M Wj ? ∑ EI eqi ? ? EI eqi VWj ? = ? ∑ EI eqi ?
EI eqi

在求得框架总剪力 V F 后,按各柱 D 值的比例把 V F 分配给各柱。应当取各柱反弯点位 置的坐标计算 V F ,近似方法中,可近似求每层柱中点处的剪力;在按各楼板坐标 ξ 计算 V 后,可得到楼板标高处的 V F 。用各楼层上、下两层楼板标高处的 V F ,取平均值作为该层柱

中点的剪力,第 j 层第 i 个柱的剪力为:

VCij =

VF ( j ?1) + VFj Di × 2 ∑ Di

在求得每个柱的剪力后, 可用第三章框架结构计算梁、 柱弯矩的方法计算各杆件的内力。 3. 刚结连梁墙边弯矩和剪力 在求出总线约束弯矩 m 后,利用每根梁的约束弯矩系数 mij 值,按比例将总线约束弯矩 分配给每根梁,得到每根梁的线约束弯矩 mij =

∑m ∑m
mij

mij

m ,则每根梁的梁端集中弯矩为:
ij

M ij = mij h =

mh
ij

上式弯矩为剪力墙轴线处的弯矩,设计时要求出墙边的弯矩和剪力(图 17) 。

M 2′1′

图 17

连梁的弯矩

利用图 17 所示的三角形比例关系可以求出墙边的弯矩和剪力。 实际应用中,可按下式先求出连梁的剪力为:

Vb =

M 12 + M 21 l

因为各墙肢转角相同的假设, 连梁的反弯点总是在跨中点, 因而可由连梁的剪力求出墙边弯 矩为:

M 1′ 2′ = M 2′1′ = Vb
式中: l 0 为连梁净跨。

l0 2

第四节

框架-剪力墙的受力和位移特征

以及本章计算方法的应用条件
一、框架-剪力墙结构的受力和位移特征
下面对框架-剪力墙的受力和位移特征进行一些分析。 1. 侧向位移的特征 框架-剪力墙体系的侧向位移形状,与结构刚度特征值 λ 有很大关系。由式

λ=H

CF 和式 λ = H EI W

CF + ∑ EI W

mij h =H Cm 可知: λ 与框架抗剪刚度和剪力墙抗 EI W

弯刚度的比值有很大关系。

图 18

侧向位移与 λ 的关系

,即框架的刚度与剪力墙的刚度比很小时,侧移曲线像独立的悬 当 λ 很小(如 λ ≤ 1 ) ,即框 臂梁一样,曲线的形状为弯曲变形的形状(图 18 中的实线) ;当 λ 较大(如 λ ≥ 6 ) 架的刚度与剪力墙的刚度比较大时,曲线的形状为剪切变形的形状(图 18 中的虚线) ;当

λ = 1 ~ 6 时,侧向位移曲线界于弯曲和剪切变形之间,下部略带弯曲型,上部略带剪切型, 称为弯剪型变形,此时上下层间变形较为均匀。随着 λ 的增大,剪力墙与框架的刚度比相对
薄弱,框架承担的荷载相对增加了,体系的变形曲线就接近纯框架的变形曲线了。图 18 是 按顶端的侧移量相等时画出的侧移曲线。 2. 荷载与剪力的分布特征 但没有给出荷载的分布特征, 现将此两者结 课本 P124 中给出了剪力墙的剪力分布特征, 合起来进行一些分析, 可以有助于了解框架-剪力墙共同工作的一些特征。 下面以均布荷载 为例进行分析。 首先,框架-剪力墙体系的剪力分配是与结构刚度特征值 λ 有很大关系的,图 19 为均 布荷载作用时的剪力分布示意图。当 λ 很小时,剪力墙几乎承担总剪力的全部;当 λ 较大

时,剪力墙承担的剪力就减小了;当 λ 很大时(即剪力墙很弱) ,则框架几乎承担全部剪力。

图 19

框剪结构剪力分布图

(a) V 图; (b) VW 图; (c) V F 图

图 20

框剪结构荷载分配图 (a) P 图; (b) PW 图; (c) PF 图

图 21

墙、 框共同变形

其次,由图 19、20 分析框架、剪力墙承担剪力和荷载的特点,可以得出以下几点: (1)框架承受的荷载(即框架给剪力墙的弹性反力)在上部为正,在下部出现负值。这是 因为框架和剪力墙单独承受荷载时, 其变形曲线是不同的; 框架和剪力墙共同工作时, 相互间产生上述的荷载形式,使两个不同的变形形式统一起来(图 21) 。 (2)框架和剪力墙顶部剪力不为 0(图 19 所示) 。这是因为相互间在顶部有集中力作用的 缘故(图 20) ,这一点在设计时应该注意,以保证顶层墙与框架的整体性。 ,并且最大值的位置随结构刚度特 (3)框架的剪力最大值在结构的中部( ξ = 0.6 ~ 0.3 ) 。所以,对框架起控制作用的是中 征 λ 的增大而向下移动(参见课本图 5-6 和图 5-9) 部的剪力值。 框架底部剪力为 0,全部剪力均由剪力墙承担(图 19) ,这是由于计算方法的近似性造 成的,并不符合实际情况。

二、本章计算方法的应用条件
本章介绍的计算方法是连续化的协同工作方法。 基本方程及其解是在各层剪力墙抗弯刚 度相等,各层框架抗剪刚度相等,各层连梁刚度也相等的条件下导出的;如果各层刚度变化 太大,则本方法不适用;如果各层刚度相差不大,则可用沿高度加权平均的方法,得到平均 刚度,按平均刚度用本方法进行计算。 另外, 本方法在推导时没有考虑剪力墙和连梁的剪切变形的影响, 也没有考虑剪力墙轴 向变形的影响,但在用式 C F 0 = 变形的影响。 一般来说,当剪力墙的截面高度与墙高的比值 ≤

?M C F 计算等效刚度时,近似的考虑了框架柱轴向 ?M + ?N

1 1 时,当连梁的高跨比 ≤ 时,剪切变 4 4

形的影响是不大的;当框架的高宽比 p 4 时,柱子轴向变形的影响也是不大的。满足这些要 求的框架-剪力墙结构,用本章介绍的计算方法和计算图表可以得到较为满意的结果。

第五节

计算实例

某 12 层住宅楼,建筑尺寸及结构布置分别如图 22 和图 23 所示。设计烈度为 8 度,场 地类别为 I 类,特征周期分区为二区。计算横向地震作用时框架-剪力墙协同工作的内力和 位移。

图 22

剖面简图

图 23

平面简图

一、结构刚度的计算
1. 梁柱刚度计算 梁: 22cm × 55cm ,C20 级混凝土

Ib =

1 × 25 × 55 3 × 1.2 = 4.16 × 10 5 cm 4 (注:1.2 为考虑 T 形截面乘的系数) 12
Ib 4.16 × 10 5 (cm 4 ) = 2.55 × 10 4 ( MPa) × = 2.36 × 10 4 kN ? m 450cm l
表1

ib = E

柱:计算结果列于表 1 中。

2. 框架刚度计算 用 D 值法计算,中柱 7 根,边柱 18 根。 标准层: K =

∑i
2ic
b

b

,α =

K 2+ K

底层: K =

∑i
ic

,α =

0.5 + K 2+K

框架刚度: C F = h ×

∑ D = ∑αi

c

12 h
表2

计算结果列于表 2 中。

3. 剪力墙刚度计算 剪力墙厚度一律取 12cm,混凝土强度等级与柱的强度等级相同。

图 24

剪力墙截面

剪力墙的抗弯刚度可按第四章中介绍的方法进行计算, 本题由于具体尺寸的计算涉及到剪力 墙截面的设计与构造问题,因此本题不再给出详细的计算步骤,仅给出计算结果。 墙 1:计算时要注意有效翼缘的宽度, EI W = 10.08 × 10 kN ? m
7 2

墙 2: EI W = 7.37 × 10 kN ? m
7

2

则:

∑ EI

W

= 34.90 × 10 7 kN ? m 2

二、地震作用计算
1. 绞结体系(不考虑连梁的约束弯矩作用) 计算地震作用,先要确定自振周期,有剪力墙的高层框架结构,其自振周期可按下式进 行计算: T1 = ? 1 H
2

w (由于大家没有学过结构动力学,这里仅给出计算公式,而不 gEI W

进行详细的推导) 。 式中: w 为沿建筑高度单位长度的平均重量, kN / m ; g 为 9.81 m / s ; ? 1 可根据刚度特
2

征值 λ 的值查表查出。 在本例中: λ = H

CF 93.16 × 10 4 = 39.8 × = 2.056 ,查表得 ?1 = 1.12 。 EI W 34.90 × 10 7 w=
81456.4 = 2040kN / m 39.8

T1 = ? 1 H 2

w 2040 = 1.12 × (39.8) 2 = 1.37 s gEI W 9.81 × 34.90 × 10 7

修正周期: T1 = 0.8 × 1.37 = 1.1s 本题场地类别为 I 类,特征周期分区为二区,则特征周期值 Tg = 0.30 s ;设计烈度为 8 度 时, α max = 0.16 。

? Tg α1 = ? ?T ? 1

? ? 0.3 ? ? ? ? α max = ? ? 1.1 ? ?

0.9

0.9

× 0.16 = 0.05

结构底部剪力(总水平地震作用)为:

FEK = α 1Geq = 0.05 × 0.85 × 81456.4 = 3461.9kN

图 25

地震作用

顶点附加水平作用为(图 25) :

?Fn = δ n FEK = (0.08T1 + 0.01) FEK = 0.098 × 3461.9 = 339.2kN
沿高度分布的地震作用为:

Fi = (1 ? δ n ) FEK

Gi H i Gi H i = 3122.7 ∑ Gi H i ∑ Gi H i

2. 刚结体系(考虑连梁的约束弯矩作用,图 26)

EI b

图 26

刚结体系

刚域取法如图 26 所示,当忽略剪切变形影响时:

m12 =

6 EI b (1 + a ) l (1 ? a ) 3

al =

4.5 + 0.45 hb 4.95 0.55 ? = ? = 2.34m 2 4 2 4 l = 4.5 + 2.25 = 6.75m 2.34 a= = 0.347 6.75

m12 =

6 EI b (1 + a ) 6 × 2.55 × 10 7 × 0.416 × 10 ?2 (1 + 0.347) = × = 45.60 × 10 4 kN ? m 3 3 6.75 l (1 ? a) (1 ? 0.347)

平均约束弯矩为:

∑m ∑h

ij

=

i

12 × 45.60 × 10 4 = 13.75 × 10 4 kN ? m / m 39.8

则:



mij h

= 4 × 13.75 × 10 4 = 55.0 × 10 4 (式中乘以 4 是因有 4 处连梁与剪力墙相连接)

本例中: λ = H

CF + ∑ EI W

mij

4 h = 39.8 × (93.16 + 55.0) × 10 = 2.59 ,查表得 ? = 1.0 。 1 34.90 × 10 7

T1 = ? 1 H 2

w 2040 = 1.0 × (39.8) 2 = 1.22 s gEI W 9.81 × 34.90 × 10 7

修正周期: T1 = 0.8 × 1.22 = 0.98s

? Tg α1 = ? ?T ? 1

? ? 0.3 ? ? ? ? α max = ? ? 0.98 ? ?

0.9

0.9

× 0.16 = 0.055

总地震作用为: FEK = α 1Geq = 0.055 × 0.85 × 81456.4 = 3808.1kN

?Fn = δ n FEK = (0.08T1 + 0.01) FEK = 0.088 × 3808.1 = 335.1kN Fi = (1 ? δ n ) FEK Gi H i GH = 3473 i i ∑ Gi H i ∑ Gi H i

绞结体系和刚结体系下 Fi 、 Vi 、 Fi H i 值列表计算如表 3 所示。 表3

Fi 、 Vi 、 Fi H i 值计算表(顶点地震作用为 Fi + ?Fn )

将楼层处集中力按基底等弯矩折算成倒三角形荷载,计算结果列于表 4 中。 表4

三、框架-剪力墙协同工作计算
1. 由 λ 值及荷载类型查图表计算总内力 当不考虑连梁的约束弯矩影响时,计算内力、位移所用的 λ 值与计算地震力时相同,取

λ = 2.06
当考虑连梁的约束弯矩影响时, 内力计算中要考虑连梁塑性变形的影响, 将连梁刚度系数乘 以 0.55,重新计算 λ 值。


λ=H

mij h

= 55.0 × 10 4 × 0.55 = 30.25 × 10 4 kN ? m / m mij

CF + ∑ EI W

4 h = 39.8 × (93.16 + 30.25) × 10 = 2.37 34.90 × 10 7

则总框架分担的剪力为:

VF =
总连梁的总线约束弯矩为:

CF 93.16 VF = VF = 0.755VF Cm 93.16 + 30.25

m=



mij h V = F 30.25 VF = 0.245V F 93.16 + 30.25

Cm

因此,剪力墙的总剪力为:

VW = VW + m
上述计算均列表进行,具体详见表 5。

表5 各层剪力墙底截面内力 M W 、 VW 即为表 5 中的计算结果。 各层总框架柱剪力可由上、下楼层处 V F 值取平均计算: V Fj =

倒三角形荷载作用下内力计算表

VF ( j ?1) + VFj 2

各层连梁总约束弯矩由下式计算: M bj = m(ξ ) 计算结果均列于总内力表 6 中。 表6

h j + h j +1 2

总内力

2. 位移计算 结果列于表 7 中。 表7

四、讨论
(1)考虑梁的约束作用时,结构刚度特征值 λ 增大,自振周期 T1 减小,地震作用增大,因 此总基底剪力增大,剪力墙承担的剪力加大,但除底层外,截面弯矩反而有所减小; 框架承担的剪力减小,建筑物顶点位移减小,但层间位移加大。 (2)本例中连梁断面较小,因此考虑与不考虑连梁约束计算得到的内力及位移相差不大, 在连梁刚度很小时,近似计算中可忽略其刚度而按绞结体系进行计算。 (3)在求得总剪力墙、总框架、总连梁内力以后,需根据各构件刚度进行第二步分配并进 行构件内力计算: 各片剪力墙弯矩及剪力均按墙刚度 EI eq 进行分配; 各柱剪力按柱 D 值进行分配,然后计算柱弯矩、梁弯矩、梁剪力及柱轴力; 各连梁梁端约束弯矩按刚度 mij 进行分配,然后由各梁两端的约束弯矩计算梁截面弯 矩(洞口边)及梁剪力。 注意:在刚结体系中还应计算由连梁剪力引起的墙肢及柱中轴力。


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