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2015-2016学年高一数学课件:3.1.1《方程的根与函数的零点》(新人教A版必修1)


第三章

函数的应用

3.1 函数与方程

3.1.1

方程的根与函数的零点

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系. 2.会求函数的零点. 3.掌握函数零点存在的条件,并会判断函数零点的个数.

课前热身 1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把__________叫做函数y= f(x)(x∈D)的零点. 2.确定函数y=f(x)的零点,就是要求______________. 3.一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且__________,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在x0∈(a,b),使得__________,这个x0 也就是方程f(x)=0的根.

自 1.使f(x)=0的实数x 我 2.方程f(x)=0的实数根 校 对 3.f(a)· f(b)<0 f(x0)=0

思考探究1

函数y=f(x)有零点等价于哪些说法?

提示 函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ?方程f(x)=0有实数根. 思考探究2 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断

的,零点存在性定理成立吗? 提示 不一定成立,由下图可知.

思考探究3

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续

不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点, f(a)· f(b)<0是否一定成立? 提示 不一定成立,由下图可知.

名师点拨 1.对函数零点概念的理解 (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数 时,其函数值等于零. (2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横 坐标. (3)一般我们只讨论函数的实数零点.

2.函数零点与方程的根的关系 根据函数零点的定义可知,函数f(x)的零点,就是方程f(x) =0的根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是 判断方程f(x)=0是否有实数根,有几个实数根. 函数零点的求法: (1)解方程f(x)=0,所得实数根就是f(x)的零点. (2)画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为 函数f(x)的零点.

3.函数零点的判断 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲 线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点,即存在x0∈(a,b),使f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0 的根. 但要注意:如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断 的曲线,且x0是函数在这个区间上的一个零点,却不一定有 f(a)· f(b)<0.如f(x)=x2,在区间[-1,1]上有零点x=0,但f(- 1)· f(1)>0.

4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点 (1)Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0有两个不等实 根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零 点. (2)Δ=0时,二次方程有两个相等的实根,这时图象顶点 在x轴上,函数只有一个零点(二重零点). (3)Δ<0时,二次方程无实根,图象与x轴无交点,函数无 零点.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



求函数的零点
求下列函数的零点.

【例1】

(1)y=x2-5x+4; (2)y=x3-8x. 【分析】 求函数的零点,就是求方程f(x)=0的根.

【解】

(1)由x2-5x+4=0,得x=1,或x=4.

所以函数y=x2-5x+4的零点是1,4. (2)y=x3-8x=x(x2-8) =x(x+2 2)(x-2 2) 令y=0,得x=0,或x=-2 2,或x=2 2. 所以函数y=x3-8x的零点是-2 2,0,2 2.

误区警示

函数的零点是一个实数,不是函数的图象与x

轴的交点,而是交点的横坐标.

变式训练1

求下列函数的零点.

(1)y=-x2+5x; (2)y=(x2-2)(x2-3x+2).

解 (1)由-x2+5x=0,得x=0,或x=5. ∴函数y=-x2+5x的零点为0,5. (2)由(x2-2)(x2-3x+2)=0, 得(x+ 2)(x- 2)(x-1)(x-2)=0, ∴x1=- 2,x2= 2,x3=1,x4=2. ∴函数y=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为- 2, 2,1,2.



函数零点的判断
对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0, )

【例2】

则函数f(x)在区间(a,b)内( A.一定有零点

B.一定没有零点

C.可能有两个零点 D.至多有一个零点

【解析】

若函数f(x)的图象及给定的区间(a,b),如图

①,图②所示,可知A错.若如图③所示,可知B错、D错.故 C对.

【答案】

C

规律技巧

数形结合是解决此类问题的关键:根据题意作

出符合要求的一个或几个图形,排除选项,从而得到正确答 案.

变式训练2 ( ) A.(1,2) C.(3,4)

2 函数f(x)=lnx- x 的零点所在的大致区间是

B.(2,3) D.(e,+∞)

2 解析 ∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3- 3 >0, ∴f(2)· f(3)<0,故选B.

答案

B



函数零点的应用
【例3】 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如

下表: x … -3 -2 -1 y … 6 0 0 1 2 3 4 …

-4 -6 -6 -4 0 6 …

则使ax2+bx+c>0成立的自变量x的取值范围是 __________.

【解析】

由表中数据可知f(-2)=0,f(3)=0,因此函数

的零点有两个是-2和3.这两个零点将x轴分成三个区间(-∞, -2),[-2,3]和(3,+∞). 在区间(-∞,-2)中取特殊值-3,则f(-3)=6>0,因此 根据二次函数零点的性质,得当x∈(-∞,-2)时,都有 f(x)>0;同理可得当x∈(3,+∞)时,也有f(x)>0.

故使f(x)>0的自变量x的取值范围是 (-∞,-2)∪(3,+∞).

【答案】

(-∞,-2)∪(3,+∞)

规律技巧

只要利用表中数据,结合函数的零点及性质,

即可求解,无须求出f?x?的解析式.

变式训练3 a,b的值.

若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求



由题意可知,f(2)=0,f(-4)=0,
? ?a=2, 解得? ? ?b=-8.

? ?4+2a+b=0, 即? ? ?16-4a+b=0,

∴a=2,b=-8.



求函数零点的个数

【例4】

求函数f(x)=lg(x+1)+2x-2的零点个数.

【解析】

解法一:∵f(0)=0+1-2=-1<0,f(2)=lg3

+4-2=2+lg3>0,∴f(x)在(0,2)内必存在实数根.易知f(x)= lg(x+1)+2x-2在定义域(-1,+∞)内是增函数,故方程f(x) =0有且仅有一个实根.故函数f(x)只有一个零点.

解法二:在同一坐标系内分别作出h(x)=lg(x+1)和g(x)=2 -2x的图象,由图象可知,h(x)=lg(x+1)与g(x)=2-2x有且只 有一个交点,故f(x)=lg(x+1)+2x-2有且只有一个零点.

规律技巧

判断函数零点的方法主要有两种:

其一是用计算器计算函数值 f?a?,f?b?,由 f?a?· f?b?<0 确定 零点,再利用函数的单调性确定零点的个数.如解法一;其二是 由 f?x?=h?x?-g?x?=0,得 h?x?=g?x?,在同一坐标系中作出 y1 =h?x?及 y2=g?x?的图象,利用两图象的交点个数确定 f?x?的零 点个数.如解法二.

变式训练 4

定义在 R 上的奇函数 f(x)满足: 当 x>0 时, f(x) )

=2014x+log2014x,则在 R 上方程 f(x)=0 的解的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3

解析 ∵f(x)为奇函数, 又 x=0 时有定义, ∴f(0)=0.当 x>0 时,2014x+log2014x=0 有一个解(画出 y=2014x 与 y=-log2014x 的图象知有一个交点).由于奇函数的对称性,在 x<0 时,也应 有一解,∴f(x)=0 在 R 上有 3 个根,故选 D.

答案 D

易 错 探 究 【例 5】 若函数 y=ax2-x+1 只有一个零点,求实数 a 的值. 【错解】 ∵函数 y=ax2-x+1 只有一个零点,

∴方程 ax2-x+1=0 只有一个实根. 1 ∴Δ=1-4a=0,∴a= . 4

【错因分析】 没有对函数 y=ax2-x+1 的二次项系数进 行讨论,直接把 y=ax2-x+1 看作二次函数处理,忽略了 a=0 的情况,造成了错解.

【正解】 (1)当 a=0 时,函数为 y=-x+1,显然有一个 零点 x=1; (2)当 a≠0 时,函数 y=ax2-x+1 为二次函数, ∵函数 y=ax2-x+1 只有一个零点, ∴方程 ax2-x+1=0 有两个相等的实根. 1 ∴Δ=1-4a=0,∴a= . 4 1 综上所述,a 的值为 0 或 . 4

当 堂 检 测 1.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2) )

解析 f(x)为增函数,f(0)=1>0. f(-1)=2-1-3<0, ∴f(x)的零点位于区间(-1,0)内,选 B.

答案

B

2.方程-log3x=x+2 的根所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)

)

解析

在同一直角坐标系中作出 y=-log3x 及 y=x+2 的

图象(如下图 ),可看出两图象交点落在 (0,1)内,故方程的根在 (0,1)内.

答案 A

3.函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点, 则 a 的取值范围是( 1 A.-1<a<5 ) 1 B.a>5

1 C.a> 或 a<-1 D.a<-1 5

解析

若 a>0,则 f(-1)=-5a+1<0 且 f(1)=a+1>0,若

1 a<0,则 f(-1)=-5a+1>0 且 f(1)=a+1<0.解得 a> 或 a<-1, 5 选 C.

答案 C

4.函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 C.3 B.2 D.4

)

解析

函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数即为函数 y=

1 |log0.5x|与 y= x图象的交点个数. 在同一直角坐标系中作出函数 2 1 y=|log0.5x|与 y= x的图象,易知有 2 个交点. 2

答案

B

5.已知二次函数 y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)有两个 零点,一个大于 1,一个小于 1,求实数 m 的取值范围.



设 f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3),如图,有两种情
? ?m+2>0, 况.第一种情况,? ? ?f?1?<0,

1 解得-2<m<-2.

? ?m+2<0, 第二种情况,? ? ?f?1?>0,

此不等式组无解.

1 综上,m 的取值范围是-2<m<-2.


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