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北师大版数学必修四课件:3.1两角和与差的三角函数


求同一个角的三角函数值 利用同角三角函数关系求 值可以按以下步骤、方法进行: (1)一看:考查题设的条件中是否能确定角的范围,角的范 围直接决定三角函数值解的个数. (2)二变:在求值时,往往要在原有关系的基础上先变形, 再列方程(组),具体如下: ①若已知sinθ (或cosθ )求tanθ 常用以下变形: ②若已知tanθ 求sinθ (或cosθ )常用以下变形: (3)三算:利用步骤二建立方程(组),并结合步骤一角的范 围写出该角的三角函数值. 若角θ的范围不确定,涉及开方时,常因三 角函数值的符号问题,对角θ进行分区间(象限)讨论. 【例1】(2011·上海春季高考改编)在△ABC中,tanA ? 2 , 3 求sinA和cosA的值. 【审题指导】该题中的前提条件“在△ABC中”实际上暗示 了角A∈(0,π),又给出 tanA ? 2 , 进一步明确了角A是锐 3 角,因此,在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值 . 【规范解答】因为△ABC中 tanA ? 2 >0, 所以∠A是锐角, ? 22 ? sinA 2 sinA ? ? ? 由 ? tanA ? 解得 ? 11 cosA 3 , , ? ? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ?cosA ? 3 11 ? ? 11 ? 所以 sinA ? 22 ,cosA ? 3 11 . 11 11 3 【例】已知α 是三角形的内角,且 sin? ? cos? ? 1 , 5 求tanα 的值. 【审题指导】由 sin? ? cos? ? 1 及sin2α+cos2α=1,可求 5 sinα,cosα的值. 1 ? sin ? ? cos ? ? ① ? 【规范解答】方法一: 5 ? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ② ? 由①得 cos? ? 1 ? sin?, 将其代入②,整理得 5 25sin2α-5sinα-12=0. ∵α是三角形的内角, 4 ? sin? ? ? 4 ? 5 ?? ,? tan? ? ? . 3 ?cos? ? ? 3 ? 5 ? 1 方法二: Q sin? ? cos? ? , 1 2 2 ? ? sin? ? cos? ? ? ( ) , 5 即 1 ? 2sin?cos? ? 1 ,? 2sin?cos? ? ? 24 , 25 25 24 49 2 ? ? sin? ? cos? ? ? 1 ? 2sin?cos? ? 1 ? ? , 25 25 12 Q sin?cos? ? ? <0,且0<α<π, 25 5 ∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0, ? sin? ? cos? ? 7 , 1 ? sin ? ? cos ? ? ? 5 由 ? , ? ?sin? ? cos? ? 7 ? 5 ? 4 ? sin ? ? ? 4 5 得 ? , ? tan ? ? ? . ? 3 ?cos? ? ? 3 ? 5 ? 5 关于sinα ,cosα 的齐次式的求值 关于sinα ,cosα 的齐次式的求值问题. 关于sinα ,cosα 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sinα ,cosα 的式子,且它们的次数之和相同,其求解策略 为:可用cosnα (n∈N*)去除原式分子、分母的各项,这样 可以将原式化为关于tanα 的表达式,再整体代入tanα =m 的值,从而完成求值任务. 2 2 asin ? ? bcos ? asin

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