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福建省漳州市七校2013届高三5月第四次联考数学理科试题


福建省漳州市七校 2013 届高三 5 月第四次联考 数学理试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
x 1.已知集合 A ? ??1,1? , B ? x 1 ? 2 ? 4 ,则 A ? B 等于

?

?

A

. ??1,0,1 ? 2. 复数 z ?

B. ?1?

C. ??1,1 ?

D. ?0,1?

3?i 的共轭复数 z ? 1? i (A) 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) 2 ? i

(D) 2 ? i

3.下列结论错误的是 .. A. 命题 P:″ ?x ? R ,使得 x2+x+1<0”,则 ?P :"?x ? R, x ? x ? 1 ? 0" ;
2
2 B.“ x ? 4 ”是“ x ? 3x ? 4 ? 0 ”的充分条件;

2 C.已知随机变量 ? 服从正态分布 N( 1,? ),P( ? ? 5 ) ? 0.81 ,则 P( ? ? ?3 ) ? 0.19 ;

D. 已知 a, b ? R? , 2a ? b ? 1, 则
2

2 1 ? ?8 a b

4.函数 f ( x ) ? e1? x 的部分图象大致是

5、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A)4

3 2 2 (C) 3
(B) (D)-1 6.已知数列 ?an ? 是等比数列,且 a2 ? 2, a5 ? (A) 16(1 ? 4 )
?n

(B) 16(1 ? 2 )

?n

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an?1 ? 4 32 32 (1 ? 4? n ) (1 ? 2? n ) (C) (D) 3 3

7.若 l 为一条直线, ?,?,? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ① ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? ?,? ∥? ? ? ? ? ;③ l ∥?,l ? ? ? ? ? ? . 其中正确的命题有
1

A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

8. 已知点 G 是 ?ABC 的重心, G 作直线与 AB, 两边分别交于 M,N 两点,且 AM ? x AB , AN ? y AC 过 AC 则

xy 的值为 x? y
B

A3

1 3

C 2

D

1 2

9.函数 f ( x) ? 2sin ? x ? x ? 3 ? x ? 的零点个数为 A.2 B.4 C.6 D.8

10、 已知集合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) }, 若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M , 存在 ( x2 , y2 ) ? M , 使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={ ( x, y )| y ?

1 };②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 }; x

③M={ ( x, y )| y ? log2 x };④M={ ( x, y )| y ? e x ? 2 }.其中是“垂直对点集”的序号是 (A)①② (B)②③ (C)①④ (D)②④ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

?x ? y ? 2 ? 1 ? 11.已知 O 是坐标原点, M 的坐标为(2, 若点 N(x, 点 1), y)为平面区域 ? x ? 上 2 ? ? y?x ?
的一个动点,则 OM ? ON 的最大值是 。

12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________________;

?1 ? 2 13.设 ? ? x 2 ? 的展开式中的常数项为 a , 则直线 y ? ax 与曲线 y ? x 围成图形的 x ? ?
面积为______________ 14.在区间 [1,5] 和 [2,6] 内分别取一个数,记为 a 和 b ,则方程 曲线的概率为_______________; 15.记 Sk ? 1 ? 2 ? 3 ???? ? n ,当k ? 1, 2,3, …时,观察下列等式:
k k k k

3

x2 y2 ? ? 1(a ? b) 表示离心率小于 5 的双 a2 b2

1 2 1 1 1 1 n ? n, S 2 ? n3 ? n 2 ? n , 2 2 3 2 6 1 1 1 1 1 1 1 S 3 ? n 4 ? n 3 ? n 2 , S 4 ? n 5 ? n 4 ? n 3 ? n, 4 2 4 5 2 3 30 1 5 5 4 S5 ? An6 ? n ? n ? Bn 2 , ??? ,可以推测, A ? B ? _______. 2 12 S1 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)
2

已知函数 f ( x) ? 3 sin 心的距离为

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的两个相邻对称中

? ? ,且过点 ( ,1) . 3 2

(I) 函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 5 , S?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角。 且满 f (

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

17.(本小题满分 13 分) 在某大学自主招生考试中, 所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个 科目的考试, 成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示, 其中“数 学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两 人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级

等级
P

N

18.(本小题满分 13 分)

AC ? 在四棱锥 P ? ABCD 中, ? 平面 ABCD , ABC 是正三角形, 与 BD PA

? 的交点 M 恰好是 AC 中点, PA ? AB ? 4 , CDA ? 120? , N 在线段 PB 上, 又 点
且 PN ? 2 .
B

A D M C

(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ;(Ⅲ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.
3

19.(本小题共 13 分)

已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 的直线 l 与椭圆 2 2 a b

C 交于 M , N 两点,且△ MNF2 的周长为 8 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离 为定值,并求出这个定值.

20. (本小题满分 14 分)
2 ' 已知函数 g ( x) ? (2 ? a) ln x , h( x) ? ln x ? ax ( a ? R ) ,令 f ( x) ? g ( x) ? h ( x) .

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f (x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f (x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ? 3 ? a ? ?2 时, 若对存在 ?1 , ?2 ?[1,3] , 使得 | f (?1 ) ? f (?2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 恒成立, m 的 求 取值范围.

21.本题有(1) (3)三个选做题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则按所 (2) 做的前两题计分。作答时,将所选题号填入对应的括号中。 (1)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A=[

a 1 ]把点(1,1)变换成点(2,2) 0 b

① 求 a、b 的值 ② 求曲线 C:x2+y2=1 在矩阵 A 的变换作用下对应的曲线方程。 (2)选修 4-4:坐标系和参数方程。 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为: ?

?x ? t (t 为参数) ,以 O 为原点,ox 轴为极轴,单位长 ? y ? 1 ? kt
2

度不变,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? sin ①写出直线 l 和曲线 C 的普通方程。 ②若直线 l 和曲线 C 相切,求实数 k 的值。 (3)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x+1|+|x-2|≤(a+

? ? 4 cos?

1 1 )( ? b )对任意正实数 a、b 恒成立,求实数 x 的取值范围。 b a

4

漳州市七校联考试卷理科数学参考答案及评分标准
一、选择题: BBDCA CBBCD 二、填空题: 11 3; 12

1 ; 3

13

9 ; 2

14

15 ; 32

1 .根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为 1;最高次项的系数为该项次数的 4 1 1 1 1 5 ? B ? 1 ,解得 B ? ? ,所以 A ? B ? . 倒数.∴ A ? , A ? ? 6 12 4 2 12
15 解析:答案 三、解答题: 16 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 sin(?x ? ? ) ? [1 ? cos(?x ? ? ) 2 2
1 2
---------------3 分

? sin(?x ? ? ?

?
6

)?

∵两个相邻对称中心的距离为

? ,则 T= ? 2
-------------5 分



2? ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ ? ? 2 |? |

1 2? ? 1 ? ? ? ) ? ? 1 ,化简得 cos ? ? 2 3 3 6 2 ? ? 1 ∵ 0 ? ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? ---------7 分 2 6 2 C ? ? ? 1 7 (Ⅱ) f ( ? ) ? sin( C ? ? ) ? ? 2 12 6 6 2 6 2 ∴ sin C ? -------9 分 3
又 f (x) 过点(

?

,1) sin( ,∴

∵0 ? C ? 又a ?

?
2

∴ cosC ?

5 3

----------10 分

5 , S ?ABC ?

1 1 2 ab sin C ? ? 5 ? b ? ? 2 5 2 2 3
------------11 分
2 2

∴b ? 6,
2

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cosC ? 21,∴ c ?

21 ----------13 分

17.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人………………1 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ……………3 分
(II) (i)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
5

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
………………6 分 (ii)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20………………7 分
2 C6 15 P(? ? 16) ? 2 ? , C10 45 1 1 2 C6C2 C2 13 ? 2 ? , 2 C10 C10 45 1 1 C6C2 12 P(? ? 17) ? 2 ? C10 45 1 1 C2C2 4 ? 2 C10 45

P(? ? 18) ?

P(? ? 19) ?

P(? ? 20) ?

2 C2 1 ? ……………10 分 2 C10 45

所以 ? 的分布列为

X P
………………11 分 所以 Eξ ? 16 ?

16

17

18

19

20

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45

15 12 13 4 1 86 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5 86 ……………13 分 5

所以 ? 的数学期望为

18.证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ………………1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD ………………2 分 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ………………3 分 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC ………………4 分 (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CDA ? 120? ,所以 DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 : 1 ………………5 分 3

在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4 , PB ? 4 2 ,

6

所以 BN : NP ? 3 :1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD ………………7 分 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN / / 平面 PDC ………………8 分 (Ⅲ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD , 分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, 图的空间直角坐标系,
z P

y 轴, z 轴建立如
N

4 3 所以 B(4,0,0), C (2,2 3,0), D(0, ,0), P(0,0,4) 3
B

A M

D

y

C x

由(Ⅱ)可知,

??? ? 4 3 DB ? (4, ? ,0) 为平面 PAC 的法向量………………10 分 3

??? ? ??? ? PC ? (2,2 3, ?4) , PB ? (4,0, ?4)
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

? ? ??? ?n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ? ? 则 ? ? ??? ,即 ? , ? ?4 x ? 4 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ? ? 令 z ? 3, 则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3) ………………12 分 ? ? ??? n ? DB 7 ? 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos ? ? ? ??? ? 7 n ? DB
所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为

7 ………………13 分 7

19 解: (I)由题意知, 4a ? 8 ,所以 a ? 2 . 因为 e ?

1 2

所以

b2 a 2 ? c 2 3 ? ? 1 ? e2 ? , 2 2 a a 4
2

所以 b ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ------4 分 4 3

(II)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A( x0 , x0 ) , B( x0 , ? x0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上,

7

x0 2 x0 2 12 所以 ? ? 1 , x0 2 ? . 7 4 3
所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

12 2 21 . --------6 分 ? 7 7

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? ?1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .
由已知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , x1 x2 ? .----------8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 所以 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 . 即 (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 . 所以 (k ? 1)
2

-----------9 分

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 .-----------11 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

整理得 7m 2 ? 12(k 2 ? 1) ,满足 ? ? 0 . 所以点 O 到直线 AB 的距离

d?
20 题

| m| k 2 ?1

?

12 2 21 为定值. ? 7 7

--------13 分

------1 分

8

----4 分

---5 分

---7 分

---8



-----9 分

-------10 分

9

---12 分

-------14 分

21.(1)解:①由[

a 1 1 2 ?a ? 1 ? 2 ]( )=( )得 ? 0 b 1 2 ?b ? 2

∴a=1,b=2…………………………………………………3 分

1 , ? , ?x , ? x ? y ?x ? x ? 2 y 1 1 ? ? ②∵A=[ ],对应的坐标变换公式为 ? , 得? 0 2 ?y ? 2y ? ?y ? 1 y, ? 2 ?
1 ,2 y ?1 2 1 2 2 ∴所求的曲线方程为: x ? xy ? y ? 1 ……………………7 分 2
代入 x2+y2=1 得 x
,2

? x, y, ?

(2)解:①由 ?

?x ? t 得直线 l 的普通方程为 y=kx+1………2 分 ? y ? 1 ? kt

由 ? sin 2 ? ? 4 cos? 得 ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? , y 2 ? 4 x 曲线 C 的普通方程为 y 2 ? 4 x ………………………………4 分 ②把 y=kx+1 代入 y2=4x 得 k2x2+(2k-4)x+1=0, 由△=( 2k ? 4) 2 ? 4k 2 ? 0,得 k=1…………………………7 分 (3)解: (a ? )(

1 1 1 ? b) ? 2 ? ab ? ?4 b a ab

当且仅当 ab=1 时取“=”号 ∴ (a ?

1 1 )( ? b) 的最小值为 4……………………………………3 分 b a 3 2
∴?

∴|x+1|+|x-2|≤4 当 x≤-1 时, ? x ? 1 ? 2 ? x ? 4, x ? ?

3 ? x ? ?1 2

当 ? 1 ? x ? 2 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 4,3 ? 4

∴ ?1 ? x ? 2
10

当 x≥2 时, x ? 1 ? x ? 2 ? 4, x ? 综上 x 的取值范围是[ ?

5 2

∴2 ? x ?

5 2

3 5 , ]…………………………7 分 2 2

11


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