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广东省广州市增城市2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版


2012-2013 学年广东省广州市增城市高一(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题的四个选项中,有一项是 符合题目要求的. 1. (5 分)﹣75°是第( )象限角. A.一 B.二 C.三 D.四 考点: 象限角、轴线角. 专题: 计算题. 分析: 由于角﹣75°的终边落在第四象限,可得﹣75

°是第四象限角. 解答: 解:由于角﹣75°的终边落在第四象限,故﹣75°是第四象限角, 故选 D. 点评: 本题主要考查象限角、象限界角的定义,属于基础题.

2. (5 分) A.

的余弦值是( B.

) C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式把要求的式子化为 cos 解答: 解:cos =cos(﹣2π +

,从而得到结果. )=cos = ,

)=cos(﹣

故选 B. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易 错点,属于基础题. 3. (5 分)函数 f(x)=sinx+cosx 的最小正周期是( A.4π B.2π C.π ) D.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由两角和的正弦公式对解析式化简,再由周期公式求出函数的周期. 解答: 解:由题意得,f(x)=sinx+cosx=f(x)= sin(x+ ) , 则函数的最小正周期是 T= 故选 B.
1

=2π ,

点评: 本题考查了两角和的正弦公式,以及三角函数的周期公式应用,属于基础题. 4. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=45,则 S9=( A.18 B.45 C.63 ) D.81

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质得,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45? a5=9,而 S9=9a5,从而可得答案. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45, ∴a5=9; ∴S9= = =9a5=81.

故选 D. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查熟练掌握等差数列的性质进行应用的能力,属于中档 题.

5. (5 分)为了得到函数 象上所有点( ) A. 向右平移 个单位长度 C. 向右平移 个单位长度

的图象,只要把函数

的图

B. D.

向左平移 向左平移

个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 由于 = 的图象上的所有点向右平移 的图象. 解答: 解:∵ 所以只需将函数 得到函数 =

,故只需将函数 个单位长度即可得到函数

的图象上的所有点向右平移 的图象.

个单位长度即可

故选 C. 点评: 本题考查了三角函数图象的平移,属于基础题型. 6. (5 分)在△ABC 中 A.60° B.120° ,则 B=( ) C.60°或 120°

D.30°或 150°
2

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理

=

及 a<b 即可求得 B 的值. ,b=6 , = = ,

解答: 解:∵在△ABC 中,a= ∴由正弦定理 =

得:sinB=

又 a<b, ∴A<B, ∴B=60°或 B=120°. 故选 C. 点评: 本题考查正弦定理,考查△ABC 中“大边对大角”的应用,属于基础题.

7. (5 分)函数 A. B. C.

的单调递增区间是( D.



考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由 2kπ ﹣ ≤ + ≤2kπ + (k∈Z)与 x∈[﹣2π ,2π ]即可求得答案. 解答: 解:y=sin( + 4kπ ﹣ )的单调递增区间由 2kπ ﹣ (k∈Z) , ≤ + ≤2kπ + (k∈Z)得:

≤x≤4kπ +

∵x∈[﹣2π ,2π ], ∴﹣ ≤x≤ .即 y=sin( + )的单调递增区间为[﹣ , ].

故选 A. 点评: 本题考查复合三角函数的单调性,求得 y=sin( + 中档题. 8. (5 分)已知圆 C1:x +y +2x+8y﹣8=0,圆 关系是( A.相交 ) B.外离 C.外切
2 2

)的单调递增区间是关键,属于

,则两圆的位置

D.内切

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 分别找出两圆的圆心坐标和半径 R 与 r, 利用两点间的距离公式求出两圆心的距离 d,
3

由 d=R+r 得到两圆的位置关系为外切. 2 2 2 2 解答: 解:由圆 C1: (x+1) +(y+4) =25,圆 C2: (x﹣2) +(y﹣2) =10, 得到圆心 C1(﹣1,﹣4) ,圆心 C2(2,2) ,且 R=5,r= , ∴两圆心间的距离 d= =3 ,

∵5﹣ <3 <5+ ,即 r﹣R<d<R+r, ∴圆 C1 和圆 C2 的位置关系是相交. 故选 A. 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系及其判定,以及两点间的距离公式.圆与圆位置关系的 判定方法为:0≤d<R﹣r,两圆内含;d=R﹣r,两圆内切;R﹣r<d<R+r 时,两圆相 交;d=R+r 时,两圆外切;d>R+r 时,两圆相离(d 为两圆心间的距离,R 和 r 分别 为两圆的半径) . ,则 tanα 的值为( B. 或 C. ﹣ D. ﹣

9. (5 分)已知 A. ﹣ 或﹣



考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 通过 sinα +cosα = ,求出 sinα cosα 的值,再给式子添上一个分母 1,把 1 变成角 的正弦与余弦的平方和,分子和分母同除以余弦的平方,得到关于正切的方程,根据 判断的角的范围求出结果. 解答: 解:∵sinα +cosα = , 所以 2sinα cosα =﹣ ∴ ∴ ∴12tan α +25tanα +12=0 根据得到的角的范围得到 tan 故选 C 点评: 本题考查三角函数的化简求值,正弦、余弦函数化为正切,即同角三角函数的基本关 系式的应用,本题解题的关键是弦化切,本题是一个基础题. 10. (5 分) 已知 则实数对(λ 1,λ 2)为( ) A.(1,1) B.(﹣1,1) , 若 ,
2

, ,

=﹣

C.(﹣1,﹣1)

D.无数对

4

考点: 平面向量的正交分解及坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量线性运算法则和向量相等即可得出. 解答: 解:∵ =(2λ +λ ,λ +3λ ) ,
1 2 1 2





,解得



∴实数对(λ 1,λ 2)=(﹣1,1) . 故选 B. 点评: 熟练掌握向量线性运算法则和向量相等是解题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分 11. (5 分) (2013?绵阳一模) 已知 ∥ , 则 x= ﹣4 .

考点: 平行向量与共线向量. 分析: 用两向量共线坐标形式的充要条件公式:坐标交叉相乘相等. 解答: 解:∵ , ∴2×(﹣6)=3x ∴x=﹣4 故答案为﹣4 点评: 考查两向量共线坐标形式的充要条件公式. 12. (5 分)在空间直角坐标系中,已知 A(2,3,5) ,B(3,1,3) ,则|AB|= 3 . 考点: 空间向量的夹角与距离求解公式. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用空间向量模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵ ,∴

=

=3.

故答案为 3. 点评: 熟练掌握空间向量模的计算公式是解题的关键.

13. (5 分)已知

,则 cos(α ﹣β )= ﹣



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 已知两等式两边分别平方,利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式,所求式 子利用两角和与差的余弦函数公式化简后,把各自的值代入计算即可求出值. 解答: 2 2 2 解:已知等式平方得: (cosα +cosβ ) =cos α +2cosα cosβ +cos β = ①,

5

(sinα +sinβ ) =sin α +2sinα sinβ +sin β = ②, ①+②得:2+2(cosα cosβ +sinα sinβ )=1, 即 cosα cosβ +sinα sinβ =﹣ , 则 cos(α ﹣β )=cosα cosβ +sinα sinβ =﹣ . 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握 公式是解本题的关键. 14. (5 分)如图,已知一艘货轮以 20 海里/小时的速度沿着方位角(从指北针方向顺时针 转到目标方向线的水平角)148°的方向航行.为了确定船位,在 B 点观察灯塔 A 的方位角 是 118°,航行半小时后到达 C 点,观察灯塔 A 的方位角是 88°,则货轮与灯塔 A 的最近距 离是 8.7 海里 (精确到 0.1 海里,其中 ) .

2

2

2

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: 确定△ABC 中,∠B=∠A=30°,∠C=120°,BC=10 海里,过 A 作 BC 所在直线的垂线, 垂足为 D,则 AD 为所求. 解答: 解:由题意,在△ABC 中,∠B=∠A=30°,∠C=120°,BC=10 海里, ∴AC=10 海里, 过 A 作 BC 所在直线的垂线,垂足为 D,则 AD 为所求. 在 Rt△ACD 中,AD=ACsin60°=10? 故答案为:8.7 海里 ≈8.7 海里

点评: 本题考查正弦定理在实际问题中的运用,关键是构建三角形,寻找边角关系,属于基 础题.

6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (12 分) 化简



考 点 : 专 题 : 分 析 : 解 答 :

运用诱导公式化简求值.

计算题;三角函数的求值.

利用诱导公式化简要求的式子,从而得出结论.

解:

=

=﹣tanα . 点 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错 评 点. :

16. (12 分)已知 (1)求 与 的夹角; (2)求 .

,且



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: (1)利用向量的数量积公式,可求向量的夹角. (2)通过向量的模的平方等于向量的数量积即可求解向量的模. 解答: 解:因为 ,且 . , 所以 cosθ = ,

7

所以 θ =120 , 与 的夹角 120°. (2)因为 =9﹣12+16=13 所以 = . ,

0

点评: 本题考查向量的数量积公式的应用,向量模的求法,是一道基础题. 17. (14 分)在等比数列{an}中,a1=﹣1,a4=64 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求和 Sn=a1+2a2+3a3+?+nan. 考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等比数列{an}的公比为 q,由等比数列的性质和题意求出 q,代入通项公式化 简; (2)由(1)求出 nan 代入 Sn,根据式子的特点利用错位相减法求出 Sn. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q, 由题意得, =﹣64,解得 q=﹣4,
n﹣1

∴数列{an}的通项公式 an=﹣(﹣4) , n﹣1 (2)由(1)得,nan=﹣n(﹣4) , 2 n﹣1 ∴Sn=﹣1﹣2×(﹣4)﹣3×(﹣4) ﹣?﹣n(﹣4) ①, 2 3 n﹣1 n ﹣4Sn=4﹣2×(﹣4) ﹣3×(﹣4) ﹣?﹣(n﹣1) (﹣4) ﹣n(﹣4) ②, 2 3 n﹣1 n ①﹣②得,5Sn=﹣1﹣[(﹣4)+(﹣4) +(﹣4) +?+(﹣4) ]+n(﹣4) =﹣1﹣ = ∴Sn=﹣ , . +n(﹣4)
n

点评: 本题本题考查等比数列的通项公式和性质,以及错位相减法求数列的和,考查了计算 能力. 18. (14 分)设圆 C 的圆心在直线 3x+y﹣7=0 上,且圆经过原点和点(3,﹣1) . (1)求圆 C 的方程; (2)若点 P 是圆 C 上的动点,点 Q 是直线 3x+4y﹣25=0 上的动点,求|PQ|的最小值. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆.
8

分析: (1)设圆心 C 坐标为(a,7﹣3a) ,则由圆经过原点和点(3,﹣1)可得 a +(7﹣3a) 2 2 2 2 =(a﹣3) +(7﹣3a+1) =r .解得 a 的值,可得圆心的坐标和半径 r,从而求得所 求的圆的方程. (2)求得圆心 C(2,1)到直线 3x+4y﹣25=0 的距离为 d=3>r,可得|PQ|的最小值 为 d﹣r,运算求得结果. 2 解答: 解: (1)设圆心 C 坐标为(a,7﹣3a) ,则由圆经过原点和点(3,﹣1)可得 a +(7 2 2 2 2 ﹣3a) =(a﹣3) +(7﹣3a+1) =r . 2 解得 a=2,故圆心的坐标为(2,1) ,半径 r= ,故所求的圆的方程为(x﹣2) +(y 2 ﹣1) =5. (2)由于圆心 C(2,1)到直线 3x+4y﹣25=0 的距离为 d= =3>r,

2

故|PQ|的最小值为 d﹣r=3﹣ . 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用, 属于中档题. 19. (14 分)如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 60°的扇形,∠POQ 的平分线交弧 PQ 于点 E,扇形 POQ 的内接矩形 ABCD 关于 OE 对称;设∠POB=α ,矩形 ABCD 的面积为 S. (1)求 S 与 α 的函数关系 f(α ) ; (2)求 S=f(α )的最大值.

考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) 由题意可得△AOD 为等边三角形, 求得 BC=2sin ( 求得∠ABO=

﹣α ) =cosα ﹣

sinα . 再

﹣α ,△OAB 中,利用正弦定理求得 AB=2sinα .

可得矩形 ABCD 的面积 S=f(α ) =AB?BC= (2)由(1)可得 S=f(α )=2sin(2α + )﹣ . .再由 0<α < ,根据正弦函

数的定义域和值域求得 S=f(α )的最大值. 解答: 解: (1) 由题意可得 AB∥OE∥CD, ∴∠POE=∠PAB= ﹣2α ,△AOD 为等边三角形. 故 BC=2sin( ﹣α )=2( cosα ﹣

, ∴∠OAD=

=∠ADO, ∠BOC=

sinα )=cosα ﹣

sinα .

9

再由∠ABO=π ﹣∠AOB﹣∠OAD﹣∠BAD=π ﹣α ﹣ 弦定理可得 即 = ,



=

﹣α ,△OAB 中,利用正

,化简可得 AB=2sinα .

故矩形 ABCD 的面积 S=f(α ) =AB?BC= (2)由(1)可得 S=f(α )=2sinα cosα ﹣2 ( sin2α + =2sin(2α + 再由 0<α < cos2α )﹣ )﹣ 可得 . <2α + < ,故当 2α + = ,即当 时,S=f
2

. sin α =sin2α + cos2α ﹣ =2

(α )取得最大值为 . 点评: 本题主要考查直角三角形中的边角关系、两角和差的三角公式、正弦函数的定义域和 值域,正弦定理的应用,属于中档题. 20. (14 分)一数列{an}的前 n 项的平均数为 n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 (3)设 然数 n,都有 f(x)≤0. 考 数列的函数特性;数列的概念及简单表示法. 点: 专 函数的性质及应用. 题: 分 (1)利用平均数的意义和当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出; 析: (2)作差 bn+1﹣bn,证明其大于 0 即可; (3)利用(2) 递增,因此有最小值 .解出 ,即可知道是否存在最大的数 M. 解 解: (1)由题意可得 ,∴ 答: 当 n=1 时,a1=S1=1; 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1. 当 n=1 时也成立.故 an=2n﹣1. , ,证明数列{bn}是递增数列; ,是否存在最大的数 M?当 x≤M 时,对于一切非零自

10

(2)作差 bn+1﹣ bn= = , ∴bn+1>bn 对于任意正整数 n 都成立,因此数列{bn}是递增数列. (3)∵ ∴ 递增,∴有最小值 , ,解得 x ﹣4x+1≥0,
2

=

=

. 所以 M= . 存在最大的数 M= ,当 x≤M 时,对于一切非零自然数 n,都有 f(x)≤0. 点 熟练掌握数列的通项公式与其前 n 项和之间的关系、作差法比较数的大小、一元二次不 评: 等式的解法及其转化法等是解题的关键.

11


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