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高中全程复习方略课时提能演练:3.6倍角公式和半角公式


课时提能演练(二十一)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.
3-sin70° =( 2-cos210° 1 2

100 分)

)
2 2

(A)

(B)

(C)2

(D)

>3 2 3 5 π 4

2.(2012?滁州模拟)已知 α 为第三象限的角,cos2α =- ,则 tan( +2α ) =( (A)-
1 7

) (B)
1 7 cos2α

(C)-7 =-

(D)7 )

3.(2012?宜春模拟)若

π sin(α - ) 4 1 2

2 ,则 cosα +sinα 的值为( 2

(A)-

7 2

(B)-

(C)

1 2

(D)

7 2

4.已知 tanθ =2,则 sin 2θ +sinθ cosθ -2cos2θ =( (A)-
4 3

)

(B)

5 4

(C)-

3 4

4 (D) 5

5.(预测题)已知函数 f(x)=

1+cos2x x x -asin cos(π - )的最大值为 2,则常 π 2 2 4sin( +x) 2

数 a 的值为( (A) 15

) (B)- 15 (C)± 15
π 2

(D)± 10

6.若函数 f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m 在[0, ]上有零点,则实数 m 的取 值范围为( )

(A)[-1, 2]

(B)[-1,1]

(C)[1, 2]

(D)[- 2,-1]

二、填空题(每小题 6 分, 共 18 分) 7.化简
1+sin2θ -cos2θ = 1+sin2θ +cos2θ π 4

.
1 4

8.(2012?合肥模拟)已知 sin( +α )= ,则 sin2α 的值为

.

9.(易错题)函数 y=(acosx+bsinx)cosx 有最大值 2,最小值-1,则实数(ab)2 的值为 .

三、解 答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012?汉中模拟)已知函数 f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a(x∈R). (1)若 f(x)有最大值 2,求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 11.(2012?阜阳模拟)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)若 θ 为锐角,且 f(θ + )= 【探究创新】 (16 分)已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数, (1)求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域和最小正周期; (2)若 f(x)=2f′(x),求
1+sin2x 的值. cos2x-sinxcosx π 8 2 , 求 tan2θ 的值. 3

答案解析
3-sin70° 3-sin70° 1.【解析】选 C.因为 = 2 2-cos 10° 1+cos20° 2- 2



2(3-sin70°) 2(3-sin70°) = =2. 3-cos20° 3-sin70°

故答案为 C. 3 3 2 2.【解析】选 A.cos2α=- ,∴2cos2α-1=- ,2cos2α= ,∴cosα= 5 5 5 - 5 -2 5 ,sinα=- 1-cos2α= , 5 5

2tanα 4 4 ∴tanα=2,tan2α= = =- , 2 1-tan α 1-4 3 π 4 tan +tan2α 1- 4 3 π 1 tan( +2α)= = =- . 4 π 4 7 1-tan tan2α 1+ 4 3 π 3.【解析】选 C.∵sin(α- )≠0, 4 π ∴α- ≠kπ,(k∈Z) 4 π 即α≠kπ+ ,∴sinα≠cosα. 4 cos2α cos2α-sin2α 则 = π π π sin(α- ) sinαcos -cosαsin 4 4 4 = (cosα+sinα)(cosα-sinα) 2 (sinα-cosα) 2 2 . 2

=- 2(cosα+sinα)=- 1 ∴cosα+sinα= . 2

4.【解析】选 D.sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ

sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ tan2θ+tanθ-2 = = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 4+2-2 4 又 tanθ=2,故原式= = . 4+1 5 5.【解题指南】先利用公式进行三角恒等变形,把 f(x)化成 f(x)=Acos(ωx+ φ)的形式,再利用最大值求得 a. 2cos2x 1 【解析】选 C.因为 f(x)= + asinx 4cosx 2 1 1+a2 1+a2 = (cosx+asinx)= cos(x-φ)(其中 tanφ=a),所以 =2,解得 a 2 2 2 =〒 15. 6.【解析】选 A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m =1+sin2x-2cos2x-m =1+sin2x-1-cos2x-m π = 2sin(2x- )-m, 4 π 又∵0≤x≤ ,∴0≤2x≤π, 2 π π 3π ∴- ≤2x- ≤ , 4 4 4 ∴-1≤ 2sin(2x- π )≤ 2, 4 π ]上有零点. 2

故当-1≤m≤ 2时,f(x)在[0,

7.【解题指南】分子、分母分别用倍角公式变换注意约分. 1+2sinθ·cosθ-(1-2sin2θ) 【解析】原式= 1+2sinθ·cosθ+(2cos2θ-1)

2sinθ·cosθ+2sin2θ 2sinθ·(cosθ+sinθ) = = =tanθ. 2sinθ·cosθ+2cos2θ 2cosθ·(sinθ+cosθ) 答案:tanθ π 2 2 1 2 8.【解析】sin( +α)= cosα+ sinα= ,∴cosα+sinα= ,平方 4 2 2 4 4 1 7 得 1+sin2α= ,∴sin2α=- . 8 8 7 答案:- 8 9.【解析】y=acos2x+bsinxcosx =a· = 1+cos2x b + sin2x 2 2

1 2 a a +b2sin(2x+φ)+ 2 2
2 2

?1 a +b +a=2 ?2 2 ∴? 1 a - a +b + =-1 ? 2 ? 2
2 2



∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8. 答案:8 【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧 (1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等 进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上. (2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且 还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变 换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特

点. (3)在三角变换时要选准解决问题的突破口,要善于观察角的差异,注意拆角和 拼角的技巧;观察函数名称的异同,注意切化弦、化异为同的方法的选用;观 察函数式结构的特点等. ①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧: (ⅰ)常值代换,特别是“1”的代换,如:1=sin2θ+cos2θ等; (ⅱ)项的分拆与角的配凑; (ⅲ)降次与升次; (ⅳ)万能代换. ②对于形如 asinθ+bcosθ的式子,要引入辅助角φ 并化成 a2+b2sin(θ+φ) b 的形式,这里辅助角 φ 所在的象限由 a,b 的符号决定,φ 角的值由 tanφ= 确 a 定.对这种思想,务必强化训练,加深认识. 10. 【解析】 (1)f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a=1+cos2x+ 3sin2x+a=2sin(2x + π )+1+a, 6 π )=1,f(x)有最大值为 3+a, 6

当 sin(2x+

∴3+a=2,解得 a=-1; π π π (2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ, 2 6 2 π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 3 6 π π ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6

11.【解析】(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x =sin2x+cos2x = 2( 2 2 sin2x+ cos2x) 2 2

π = 2sin(2x+ ). 4 2π ∴f(x)的最小正周期为 =π,最大值为 2. 2 (2)∵f(θ+ π 2 )= , 8 3 π 2 )= . 2 3

∴ 2sin(2θ+ 1 ∴cos2θ= . 3

π ∵θ为锐角,即 0<θ< ,∴0<2θ<π. 2 ∴sin2θ= 1-cos22θ= sin2θ ∴tan2θ= =2 2. cos2θ 【误区警示】在求解(2)时要注意θ的范围,从而确定 sin2θ的正负,继而确定 tan2θ的正负. 【探究创新】 【解题指南】(1)先求出 f′(x),代入 F(x)进行三角恒等变换得到 F(x)= Asin(ωx+ ? )+B 的形式,求其性质;(2)根据 f(x)=2f′(x)求出 tanx 的值, 化简所求的式子后代入. 【解析】(1)∵f′(x)=cosx-sinx, 2 2 . 3

∴F(x)=f(x) f′(x)+f2(x). =cos2x-sin2x+1+2sinxcosx =1+sin2x+cos2x π =1+ 2sin(2x+ ) 4 ∴函数 F(x)的值域为[1- 2,1+ 2], 2π ∴最小正周期为 T= =π. 2 (2)∵f(x)=2f′(x) ?sinx+cosx=2cosx-2sinx, 1 ∴cosx=3sinx ?tanx= , 3 1+sin2x 2sin2x+cos2x ∴ = cos2x-sinxcosx cos2x-sinxcosx 11 2tan x+1 9 11 = = = . 1-tanx 2 6 3
2


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