当前位置:首页 >> 高中教育 >>

0573数学-江苏省新海高级中学2013届高三数学周练六


江苏省新海高级中学 2013 届高三数学周练六
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上. 1.已知集合 M ? { x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? { x | ? 4 ? x ? 2} ,则 M ? N ?
2





2.

各项是正数的等比数列 { a n } 中, a 2 ,
? ?

1 2

a 3 , a 1 成等差数列,则数列 { a n } 公比 q= ▲ .

3.已知函数 y ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? 0 , 0 ? ? ? 所示,则点 ? ? , ? ? 的坐标是 ▲

? ?

? ,且此函数的图象如图 2 ?

4.已知向量 a ? ? ? , ? 2 ?, b 数 ? 的取值范围 ▲
5.已知 x>1,则 x ?
2 x ?1

? ? ? 3 , 5 ? ,且 a

与 b 的夹角为钝角,则实

5 3 2

. ▲

的最小值为

6. 在△ ABC 中, 内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 已知 a ? 5 ,b ?

,A ?

?
4



则 cos B ? ▲ . 7.若函数 f ( x ) ? ( x ? 2 )( x 2 ? c ) 在 x ? 2 处有极值,则函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切 ▲ 线的斜率为 . 8.已知 co s ?
? 1 7 , co s( ? ? ? ) ? 13 14

,且 0

? ? ?? ?

?
2

,则 c o s ?

?



. .

) 9.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (x ??

log1 ), ? 2( ?x x?0

1 2 x ?f (x? )? f (x? ), ?0

,则 f(5)= ▲

10. 已知数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2 n ? 2 a n ,则数列{ a n }的通项公式为 ▲ . 11、 F 是双曲线 设
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的右焦点, 双曲线两条渐近线分别为 l 1 , l 2 , F 作直线 l 1 的 过

垂线, 分别交 l 1 , l 2 于 A 、 B 两点。 OA , AB , OB 成等差数列, 若 且向量 BF 与 FA 同向, 则双曲线离心率 e 的大小为___▲________. 12.已知函数 f ? x ? ? 的取值范围是
1 3 x ? 2 x ,对任意的 t ? ? ? 3, 3 ? , f
3

? tx ? 2 ? ?

f

?x? ?

0 恒成立,则 x



13.设等比数列 ? a n ? 的公比 q ? 1 , S n 表示数列 ? a n ? 的前 n 项的和,T n 表示数列 ? a n ? 的前 n 项的乘积, T n ? k ? 表示 ? a n ? 的前 n 项中除去第 k 项后剩余的 n-1 项的乘积,即
Tn ? k

?

?

Tn ak

?n, k ? N

?

,k ? n? , 则数列

S nTn T n ?1 ? ? T n ? 2 ? ? ? ? T n ? n ?

的前 n 项的和是 ▲

(用 a 1 和 q 表示) 14.已知使函数 f(x)=x3-ax2+1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数 a 恰有 3 个,则 M0 的取值 范围是 ▲ 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知 a ?
?

?

? ? ? π 3 s in x , s in x , b ? ? s in x , c o s x ? ,设函数 f ( x ) ? a ? b , x ? [ , π ] 2

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的零点;

1

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, BD ? CD ,正方形 ADEF 所在的 平面和平面 ABCD 垂直, H 是 B E 的中点, G 是 A E , D F 的交点. (1)求证: GH // 平面 CDE ; (2)求证: B D ? 平面 CDE .

2 17. (本小题满分 14 分)函数 g ( x ) ? a x ? 2 a x ? 1 ? b ( a ? 0 ) 在区间[2, 3]上的最大值为 4,

最小值为 1,记 f ( x ) ? g (| x |).

(Ⅰ)求实数 a,b 的值;

(Ⅱ)若不等式 f ( lo g 2 k ) ? f ( 2 ) 成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)定义在[p,q]上的一个函数 m(x),用分法 T : p ? x 0 ? x 1 ? ? ? x i ? ? ? x n ? q 将 区 间 [p,q] 任 意 划 分 成 n 个 小 区 间 , 如 果 存 在 一 个 常 数 M>0 , 使 得 和 式
n

?
i ?1

m ( x i ) ? m ( x i ? 1 ) ? M 恒成立,则称函数 m ( x ) 为在[p,q]上的有界变差函数,试判断函

数 f ( x ) 是否为在[1,3]上的有界变差函数?若是,求 M 的最小值;若不是,请说明理由。 (参考公式: ?
i ?1 n

f ( x i ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

……+ f ( x n ) )

18. (本小题满分 16 分)如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。在点 A 处有一 0 个可转动的探照灯,其照射角 ? PAQ 始终为 45 (其中点 P , Q 分别在边 BC , CD 上), 设 ? PAB ? ? , tan ? ? t . (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ? CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)?
D Q C

P
45
0

A 2

?

第 18 题图

B

19. (本小题满分 16 分) 设 A 1、 A 2 与 B 分别是椭圆 E : 圆 C : x ? y ? 1 相切。
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 的左右顶点与上定点,直线 A 2 B
1 ? 1 b
2



(1)求证:

a

2

?1 ;
1 3

(2) P 是椭圆 E 上异于 A 1、 A 2 的一点, 直线 PA 1 , PA 2 的斜率之积为 ?

, 求椭圆 E 的方程;

(3)直线 l 与椭圆 E 交于 M , N 两点,且 OM ? ON ? 0 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并 说明理由。

20. (本小题满分 16 分) 已知等比数列 { a n } 的首项 a 1 ? 2 0 1 2 ,公比 q ? ? 记为 ? ( n ) .
1 2

,数列 { a n } 前 n 项和记为 S n ,前 n 项积

(Ⅰ)求数列 ? S n ? 的最大项和最小项;

(Ⅱ)判断 ? ( n ) 与 ? ( n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n ) 取得最大值; (Ⅲ)证明 { a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列, 总可以使其成等差数列, 如果所有这 些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为 d 1 , d 2 , d 3 , ? d n , 证明:数列 { d n } 为等比数列。
3

江苏省新海高级中学 2013 届高三数学周练六参考答案
一.填空题 1、{-1} 2、 -5 8、
1 2
n ?1 9、 10、a n ? 2 ? 2 1

5 ?1 2

3、 ( 2 ,

?
4

)

4、 ? ? ?

10 3

,且 ? ?

6 5

5、 2 2 ? 1

6、

2 3

2

7、

11、

5 2

12、( ? 1, )
2

1

13、

a 1 (1 ? q )
2 n

1? q

14、[

26 63 , ) 9 16

二.解答题 15.已知 a ?
?

?

? ? ? π 3 s in x , s in x , b ? ? s in x , c o s x ? ,设函数 f ( x ) ? a ? b , x ? [ , π ] 2

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的零点; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. (Ⅰ)解:由题意: f ( x ) ?
3 s in
2

x ? s in x c o s x

,x?[

π 2

, π ] .………………1 分

令 f ( x ) ? 0 ,得 s in x ? ( 3 s in x ? c o s x ) ? 0 , 所以 s in x ? 0 ,或 ta n x ? ? 由 s in x ? 0 , x ? [ 由 ta n x ? ?
3 3 3 3

.

………………2 分

π 2

, π ] ,得 x ? ?
π 2 5? 6 5? 6

,x?[

, π ] ,得 x ?


……………6 分 ……………8 分

综上,函数 f ( x ) 的零点为 (Ⅱ)解: f ? x ? ? 因为 x ? [
π 2

或?



3 2

?1 ? c o s 2 x ? ?
?
3

1

? ? 3 ? s in 2 x ? s in ? 2 x ? ?? 2 3 ? 2 ?
2π 5π , ] 3 3

, π ] ,所以 2 x ?

?[

4

当2x ? 当2x ?

?
3 π 3

?

2π 3

,即 x ? ,即 x ?

π 2

时, f ( x ) 的最大值为 3 ; 时, f ( x ) 的最小值为 ? 1 ?
3 2

……………12 分 . ……………14 分

?

3π 2

11π 12

16.(满分 14 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, BD ? CD ,正方形 ADEF 所在的平面和 平面 ABCD 垂直, H 是 B E 的中点, G 是 A E , D F 的交点. (1)求证: GH // 平面 CDE ; (2)求证: B D ? 平面 CDE . 证明:(1)由题意可知 GH // AB,又 AB∥CD,所以 GH // CD, 又 CD ? 面 CDE,所以 GH // 平面 CDE 。 (2)因为正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直,且交线为 AD, 而 ED⊥AD,所以 ED⊥面 ABCD,而 BD 在面 ABCD 内,所以 ED⊥BD,又 CD⊥BD,所以 B D ? 平面 CDE 。
2 17.已知函数 g ( x ) ? a x ? 2 a x ? 1 ? b ( a ? 0 ) 在区间[2,3]上的最大值为 4,最小值为 1,

记 f ( x ) ? g (| x |). (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若不等式 f ( lo g 2 k ) ? f ( 2 ) 成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)定义在[p,q]上的一个函数 m(x),用分法 T : p ? x 0 ? x 1 ? ? ? x i ? ? ? x n ? q 将 区 间 [p,q] 任 意 划 分 成 n 个 小 区 间 , 如 果 存 在 一 个 常 数 M>0 , 使 得 和 式
n

?
i ?1

m ( x i ) ? m ( x i ? 1 ) ? M 恒成立,则称函数 m ( x ) 为在[p,q]上的有界变差函数,试判断函

数 f ( x ) 是否为在[1,3]上的有界变差函数?若是,求 M 的最小值;若不是,请说明理由。 (参考公式: ?
i ?1 n

f ( x i ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

……+ f ( x n ) )

2 17.解:(Ⅰ) g ( x ) ? a x ? 2 a x ? 1 ? b ( a ? 0 ) ,因为 a ? 0 ,

所以 g ? x ? 在区间[2,3]上是增函数,故 ? 分

?g ?2? ? 1 ? ? g ?3? ? 4 ?

,解得 ?

?a ? 1 ?b ? 0

;…………5

(Ⅱ)由已知可得 f ( x ) ? g (| x |) ? x ? 2 x ? 1 为偶函数,
2

所以不等式 f ( lo g 2 k ) ? f ( 2 ) 可化为 lo g 2 k ? 2 ,……………8 分 解得 k ? 4 或 0 ? k ?
1 4

;…………………………10 分

(Ⅲ)函数 f ? x ? 为[1,3]上的有界变差函数。 因为函数 f ? x ? 为[1,3]上的单调递增函数, 且对任意划分 T : 1 ? x 0 ? x 1 ? ? ? x i ? 1 ? x i ? ? ? x n ? 3 有 f ? 1 ? ? f ? x 0 ? ? f ? x1 ? ? ? ? f ? x n ? 1 ? ? f ? x n ? ? f ? 3 ?
n

所以 ?
i ?1

| f ( x i ) ? ( x i ?1 ) | ? f

? x1 ? ? ? xn ? ?

f f

? x0 ? ? ? x0 ? ?

f

? x2 ? ?
f

f

? x1 ? ? ?

f

? xn ? ?

f

? x n ?1 ?

? f
n

?3? ?

f ?1 ? ? 4

所以存在常数 M,使得 ?
i ?1

| m | ( x i ) ? m ( x i ? 1 ) | ? M 恒成立。……………14 分

18.如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。在点 A 处有一个可转动的探照灯,其
5

照 射 角 ? PAQ 始 终 为 45
? PAB ? ? , tan ? ? t .

0

( 其 中 点 P , Q 分 别 在 边 BC , CD 上 ), 设

(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ? CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)? D 18.解:(1) BP ? t , CP ? 1 ? t , 0 ? t ? 1 .
? DAQ ? 45 CQ ? 1 ? 1? t 1? t
CP
2

Q

C

0

? ? , DQ ? tan( 45 ? 2t 1? t
2

0

??) ?

1? t 1? t

,
P
45
0

. ------------------3 分
? (1 ? t ) ? ( 2t 1? t ? 1? t
2

A

?

? PQ ?

? CQ

2

)
2

2

1? t

-------- ----------6 分

第 18 题图

B

? l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ?

2t 1? t

?

1? t

1? t

? 1 ? t ? 1 ? t ? 2 ------ -----------9 分

(2) S ? S 正方形
?1? t 2 ? 2 ? ( ?

ABCD

? S ? ABP ? S ? ADQ ? 1 ? 1 ? ?1? t 2 ? 1 2 ?(

1 2 2

?1 ? t ?

1 2

?1 ? 1 2

1? t 1? t ? t 2

?1? ? 1

t 2

? ?

1 1? t ? 2 1? t

1 2

?

2 ? ( t ? 1) 1? t 1 t ?1

1? t

? 1) ? 1 ?

t ?1

t ?1 2

?

) -----------------12 分
t ?1 2 ? 1 t ?1 ) ? 2 ? 2 t ?1 2 ? 1 t ?1 ? 2 ?

?1? t ? 0? S ? 2 ? (

2

(当且仅当

t ?1 2

?

1 t ?1

,即 t ?

2 ? 1 等号成立) -----------15 分 2 平方百米.-----------16 分

答:探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 ?

19. (本小题满分 16 分) A 1、 A 2 与 B 分别是椭圆 E : 设 与上定点,直线 A 2 B 与圆 C : x ? y ? 1 相切。
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 的左右顶点
1 ? 1 b
2

(1)求证:

a

2

?1 ;

(2) P 是椭圆 E 上异于 A 1、 A 2 的一点, 直线 PA 1 , PA 2 的斜率之积为 ?

1 3

, 求椭圆 E 的方程;

(3)直线 l 与椭圆 E 交于 M , N 两点,且 OM ? ON ? 0 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并 说明理由。

6

20.已知等比数列 { a n } 的首项 a 1 ? 2 0 1 2 ,公比 q ? ? 项积记为 ? ( n ) . (Ⅰ)求数列 ? S n ? 的最大项和最小项;

1 2

,数列 { a n } 前 n 项和记为 S n ,前 n

(Ⅱ)判断 ? ( n ) 与 ? ( n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n ) 取得最大值; (Ⅲ)证明 { a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列, 总可以使其成等差数列, 如果所有这 些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为 d 1 , d 2 , d 3 , ? d n , 证明:数列 { d n } 为等比数 列。 解:(Ⅰ) S n
n a 1 [1 ? ( ? 1 ) ] n 2 ? ? 2 a 1 [1 ? ( ? 1 ) ] 1) 3 2 1 ? (? 2

2 n (1)当 n 是奇数时, S n ? 2 a 1 [1 ? ( 1 ) ] , 单调递减,? S 1 ? S 3 ? S 5 ? ? ? ? ? S 2 n ? 1 ? a 1 ,

3

2

3

7

2 n (2)当 n 是偶数时, S n ? 2 a 1 [1 ? ( 1 ) ] , 单调递增,? S 2 ? S 4 ? S 6 ? ? ? ? ? S 2 n ? a 1 ;

3

2

3

综上,当 n=1 时, S n 有 最 大 值 为 S 1 (Ⅱ)? | ? ( n ) | ? | a 1 a 2 a 3 ? a n | ,?
? 2012 2
11

? 2012

; 当 n=2 时, S n 有 最 小 值 为 S 2
? | a n ? 1 |? 2 0 1 2 ( 1 n ) , 2

? 1006

.…4 分

| ? ( n ? 1) | | ? (n) |

?1?

2012 , 10 2

则当 n ? 1 0 时, | ? ( n ? 1) | ? | ? ( n ) | ;当 n ? 1 1 时, | ? ( n ? 1) |? | ? ( n ) | ,……6 分 又 ? (1 0 ) ? 0 , ? (1 1) ? 0 , ? (9 ) ? 0 , ? (1 2 ) ? 0 ,
? ? ( n ) 的最大值是 ? (9 ) 和 ? (1 2 ) 中的较大者.
? ? (1 2 ) ? (9 ) ? a 1 0 a 1 1 a 1 2 ? a 1 1 ? [ 2 0 1 1( ?
3

1 10 3 ) ] ? 1 ,? ? (1 2 ) ? ? (9 ) , 2

因此当 n=12 时, ? ( n ) 最大. ………………………10 分 (Ⅲ) | a n | 随 n 增大而减小,数列 { a n } 的奇数项均正数且递减,偶数项均负数且递增. ①当 n 是奇数时,调整为 a n ? 1 , a n ? 2 , a n .则
a n ?1 ? a n ? a1 ( ? a1 1 n 1 n ?1 ) ? a1 ( ? ) ? n 2 2 2

, 2an?2

? 2 a1 ( ?

a1 1 n ?1 ) ? n 2 2



? a n ? 1 ? a n ? 2 a n ? 2 , a n ? 1 , a n ? 2 , a n 成等差数列; ②当 n 是偶数时,调整为 a n , a n ? 2 , a n ? 1 ;则

………………………12 分
a1 1 n ?1 ) ? ? n 2 2

a n ?1 ? a n ? a1 ( ?

a1 1 n 1 n ?1 ) ? a1 ( ? ) ? ? n 2 2 2

, 2an?2

? 2 a1 ( ?



? a n ?1 ? a n ? 2 a n ? 2 , a n , a n ? 2 , a n ?1

成等差数列;

综上可知,数列 { a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列.14 分 ①n 是奇数时,公差 d n ②n 是偶数时,公差 d n
? a n ? 2 ? a n ? 1 ? a 1 [( ? ? a n ? 2 ? a n ? a 1 [( ?
? 3 a1 2
n ?1

3 a1 1 n ?1 1 n ) ? ( ? ) ] ? n ?1 2 2 2

; .

3 a1 1 n ?1 1 n ?1 ) ? ( ? ) ] ? n ?1 2 2 2
dn d n ?1 ? 1 2

无论 n 是奇数还是偶数,都有 d n 因此,数列 { d n } 是首项为 3
4 a1

,则

, …………………16 分

,公比为 1 的等比数列.
2

8


相关文章:
0573数学-江苏省新海高级中学2013届高三数学周练六
0573数学-江苏省新海高级中学2013届高三数学周练六 隐藏>> 江苏省新海高级中学 2013 届高三数学周练六一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分...
江苏省新海高级中学2013届高三数学周练
江苏省新海高级中学 2013 届高三数学周练六参考答案一.填空题 1、{-1} 2、...0573数学-江苏省新海高级... 8页 免费 江苏省南通市天星湖中学... 14页 免...
理科数学周练六
理科数学周练六_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三理科数学周练六(填空、解答训练)时间: 30 分钟一、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 1. 总分:...
2015届高三数学(理)周练六
2015届高三数学(理)周练六_数学_高中教育_教育专区。亭湖高级中学 2015 届高三数学(理)周练六命题:张卫国 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 ...
江苏省新海高级中学2016届高三午练1~11
江苏省新海高级中学2016届高三午练1~11_数学_高中教育_教育专区。高三数学午练一 1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关系为___. 2.若?...
江苏省木渎高级中学天华学校高三数学周练4
江苏省木渎高级中学天华学校高三数学周练4_数学_高中教育_教育专区。天华学校 ...2010年11月份江苏省木渎... 5页 免费 江苏省新海高级中学2013... 7页 免费...
江苏省青阳高级中学2013届高三数学综合练习(六) 附答案
江苏省青阳高级中学2013届高三数学综合练习(六) 附答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学综合练习(六) 正题部分(满分 160 分...
2013届高三下学期数学周练教师版---邓国平
正大学校 2012---2013 学年度下学期高三数学(理)周练(2)命题人:邓国平 审题...? ? π B.?94+2? ? ? 同学投篮次数 X 的数学期望 E(X)=___. 13 9...
高三一轮数学复习周周练六
高三一轮数学复习周周练六_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮复习...( m ? 1) x 2 , 扬子中学 2013 届高三周周练数学试卷 第 8 页共 9 ...
更多相关标签:
高三语文周练 | 高三英语周练答题卡 | 江苏省2017届高三语文 | 2014江苏省高三二模 | 2014江苏省高三一模 | 江苏省苏州市2016高三 | 江苏省高三语文试卷 | 江苏省高级人民法院 |