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专题:求数列通项公式的方法(000改)


方法一、 观察法:已知前几项,写通项公式

例1 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数: 1 1 1 () 1 1, - , , 2 3 4 () 2 2 , 0 ,, 2 0
注意:用不完全归纳法,只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的.

方法二、前 n 项和法
( n ? 1)

? S1 an ? ? ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

已知前 n 项和,求通项公式

注意:要先分 n=1 和 n≥2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。
2

例 2、(1)设数列 ?an ?的的前 n 项和为 S n ,且满足 s n ? n ? 2n ? 1 , 求 ?an ?的通项公式. (2)数列 ?an ?满足: a1 ? 4 且 an ? S n ?1 ( n ≥ 2 ) ,则 an ?

形如 an ?1 ? an ? f (n) 的递推式 例 3、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n,a1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 方法三、累加法



方法四、累乘法 形如 n ?1 的递推式 n a n ?1 n 例 4、 (1)已知数列 {a n } 满足 ? ,a1 ? 1 ,则它的通项公式是 a n =▁▁▁ an n ?1
变式: (1)已知数列 {a n } 满足 a1a 2 a 3 ...a n ? n ,a1 ? 1 ,则它的通项公式是 a n =▁▁▁
2

a

? f ( n) ? a

(2)已知数列 {a n } 满足 a1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n ? n ,a1 ? 1 ,则它的通项公式是 a n =▁▁▁
2

方法五、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的 基本形式如下: 1、 a n ?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 a n ?1 ? ? =A( a n ? ? )的形式. 例 5: 数列?a ? 满足a ? 1, a ? 2a ? 1 , 求an . n 1 n ?1 n

n 2、 (理科) a n ?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数,下同)型,可化为 a n ?1 ? ? ? C

n ?1

= A(a n ? ? ? C )的
n

形式.例 6: 在数列{ a n }中, a1 ? ?1, a n ?1 ? 2a n ? 4 ? 3

n ?1

, 求通项公式 a n 。

3、 (理科) a n ? 2 ? A ? a n ?1 ? B ? a n 型,可化为 an ? 2 ? ?a n?1 ? ( A ? ? ) ? (a n?1 ? ?a n ) 的形式。 例 7: 在数列{ a n }中, a1 ? ?1, a 2 ? 2 ,当 n ? N , a n ? 2 ? 5a n ?1 ? 6a n 求通项公式 a n .

1

pan 的递推式 qan ? p 例 8: 已知数列{ a n }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

方法六、取倒法

形如 an ?1 ?

a n ?1 ,求通项公式 a n 。 2a n ?1 ? 1

方法七、相除法 形如 an?1 ? Aan ? B ? An?1 的递推式 形如 an ?1 ? an ? pan ?1an 的递推式
例 9 已知数列{ a n }中,其中 a n ?1 ? 3a n +3 ,a1 ? 3 ,求通项公式 a n 。
n ?1

例 10

已知a1 ? 2, an ? 0, 且an ?1 ? an ? 2an ?1an ,求an .

类型 1、已知前几项 2、已知前 n 项和 Sn 3、形如 a ? a ? f (n) n ?1 n 4、形如 5、形如 的递推式 的递推式 的递推式

方法 观察法 前 n 项和法 累加法 累乘法 待定系数法(*) 取倒法

an ?1 ? f (n) ? an an ?1 ? pan ? q

6、形如 7、形如a

a n ?1 ?
n ?1

pan qan ? p

的递推式

? Aan ? B ? An?1 的递推式

an?1 ? an ? pan?1an
练习题: 1.数列 3,7,13,21,31,…,的一个通项公式为 A. a n ? 4 n ? 1 A. ? 6 B . an ? n ? n ? n ? 2
3 2

相除法

C. a n ? n ? n ? 1
2

D.不存在

2.在数列 {a n } 中, a1 ? ?2 , an ?1 ? 2an ? n ,则 a3 ? C. ? 4 D. ? 3 2 * 3.数列{a n } 中,a1=1,对于所有的 n ? 2 , n ? N 都有 a1 ? a2 ? a3 ?a n ? n ,则 a3 ? a5 ? 等于 B. ? 5

61 25 25 B. C. 16 9 16 4.下列各式中,可以作为数列 {a n } 的通项公式的是:
A.
2

D.

31 15

A. a n ?

n?2

B. an ? log n ?1 (n ? 2)

5.在数列 {a n } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an ? 2 A.3 B .4

1 n ? n ?1 ? 2an?1 ? an ,则 a4 ?
C. an ?
2

D. an ? tan

n? 4

C .5

D.6

a S 5 6.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 5 ? , 则 9 ? ( ) a3 9 S5

1 2 2 7.数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n ? a n (n ? 2) ,而 a1 ? 1 ,通过计算 a 2 , a3 , a 4 猜想 a n ? 2 2 2 2 A. B. C. n D. 2 ( n ? 1) ( n ? 1) n 2 ?1 2n ? 1 an?1 (n ? 2) ,则数列{an}的通项公式是: 8.数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ? 1 ? 3an ?1 1 1 1 1 A. B. C. D. 3n ? 2 3n ? 2 2n ? 3 2n ? 3 n a (3 ? 1) 9.数列 {a n } 中,若 S n ? 1 (n ? N ? ) ,且 a4 ? 54 ,则 a1 的值是________. 2 n ?1 10.数列 {a n } 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ? ? 3n ?1 an ? (n ? N * ) ,则 an ? __________. 3 2 2 ? 11.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 2 , ?n ? N , an ? 0 ,且 (n ? 1)an ? an an ?1 ? nan ?1 ? 0 ,
A.1 B.-1 C.2 D. 则数列 {a n } 的通项公式是 a n ? ____。 12.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n , a1 ? ? 可以猜想 S n ? ___ ___________, 13.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, an ? 2 ? 4an ?1 ? 3an (n ? N * ). (1)求 a3 , a4 的值; (2)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (3)求数列 {a n } 的通项公式;

1 2 ? 2 ? an (n ? 2) ,通过计算 S1 , S 2 , S3 , S 4 , Sn ? Sn 3

14.已知数列{an}的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 1 ,数列 {bn } 满足 b1 ? 2 , bn ?1 ? an ? bn 求 a n , bn

15.已知数列 {a n } 满足 an ?1 ? 3an ? 3 (1)求 a1 的值; (2)若数列 {

n ?1

? 1 (n ? N ? ) ,且 a4 ? 365

an ? t (3)求数列的 {a n } 通项 a n 。 } 为等差 数列,求常数 t 的值; 3n

3

16.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对任意正整数 n 都有 2Sn ? (n ? 2)an ? 1 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 Tn ?

1 1 1 ,求 Tn . ? ?? ? a1 ? a3 a2 ? a4 an ? an ?2

17.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, S n ?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项公式。

1 1 ) (n ? N * ) 在曲线 y ? f ( x) 上, 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 Pn (a n ,? 2 an?1 x 且 a1 ? 1, an ? 0 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; T 1 T ? 2n ? 16 n 2 ? 8n ? 3 , (2)数列 {bn } 的首项 b1 ? 1 ,前 n 项和为 Tn 且满足 n ? 2 , an a n?1 求数列 {bn } 的通项公式; 1 (3) (理科)求证: S n ? 4n ? 1 ? 1, n ? N * . 2
18.已知 f ( x) ? ? 4 ?

4


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