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0574数学-江苏省徐州七中2013届高三数学一轮专项练习 立体几何


江苏省徐州七中 2013 届高三数学立体几何专题检测
2012.12.3 一.填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.若 m 、 n 表示直线, ? 表示平面,则下列命题中,正确的个数为 ①
m // n ? ?? n ?? m ???





m ??? ? ? m // n n ?? ?<

br />


m ??? ?? m ? n n // ? ?



m // ? ? ?? n ?? m ? n?

2.平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m1 和 n1 ,给出下列 四个命题: ① m1 ⊥ n1 ? m ⊥ n ; ③ m1 与 n1 相交 ? m 与 n 相交或重合; 其中不正确的命题个数是 ② m ⊥ n ? m1 ⊥ n1 ; ④ m1 与 n1 平行 ? m 与 n 平行或重合;



3.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号是 ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?



4.在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可以有_______个。
5.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边 长为 2,则该三角形的斜边长为 。

6.若棱锥底面面积为 150cm2 ,平行于底面的截面面积是 54cm2 ,底面和这个截 面的距离是 12cm ,则棱锥的高为 。 7.侧棱长为 2 的正三棱锥,若其底面周长为 9,则该正三棱锥的体积是 。 8.一个四面体的所有棱长都是 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积 为 。 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,E 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 满足 时,体积 VP ? AEB 恒为定值(写上你认为正确的一个答案即可) .

1

P

D E A B C

10.正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体 积之比为



11. 三平面两两垂直, 他们的三条交线交于点 O, 到三个面的距离分别为 3、 P 4、 5,则 OP= 。 12.正四棱柱的底面边长为 a ,高为 b (a ? b) ,一蚂蚁从顶点 A 出发,沿正四棱 柱的表面爬到顶点 C1 ,那么这只蚂蚁所走过的最短路程为
C 13 . 直 三 棱 柱 A B ? 1



A 的 C 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 B 各 1 1


AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于
.

14.已知正方体 ABCD- A'B'C'D' ,则该正方体的体积、四棱锥 C' -ABCD 的体 积以及该正方体的外接球的体积之比为 。 二、解答题(共 90 分) : 15. (本小题满分 14 分)如图所示,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD;
D C

G








16.(本小题满分 14 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,E 为 棱 CC1 上的的动点. D1 (1)求证:A1E⊥BD; (2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A1BD⊥平面 EBD; A
1

C1 B1

E D
2

C

A

B

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点,点 F 在 PB 上,EF⊥ PB。 (I)求证:PA//平面 BDE; (II)求证:PB⊥平面 DEF;

18. (本小题满分 16 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,
且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点.求证:MN∥平面 DAE.

19. (本小题满分 16 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB∥CD,∠DAB=60° ,AB=AD=2CD=2,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90° ,M 为 AP 的中点. (1)求证:DM∥平面 PCB; (2)求证:AD⊥PB; (3)求三棱锥 P-MBD 的体积.

20.

(本小题满分 16 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 则面 PAD⊥底面 ABCD, 侧棱 PA=PD= 2 , 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD;

3

(Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ) 线段 AD 上是否存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为 的值;若不存在,请说明理由.

3 2

?若存在, 求出

AQ QD

参考答案:
1.3 2.4 3.①④ 4.4 5. 2 3 6. 30cm

7.

3 3 4

8. 3?

9. AB∥CD

10.2:1

11. 5 2

12.

4a 2 ? b 2

13.20 ?

14. 6 : 2 : 3 3? 。

15.(1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC , ∴ BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC 又? BF ? 平面 ACE ,则 AE ? BF

? AE ? 平面 BCE
(2)由题意可得 G 是 AC 的中点,连接 FG

? BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF ,
而 BC ? BE ,? F 是 EC 中点 在 ?AEC 中, FG // AE ,? AE // 平面 BFD 16.证明: (1)连 AC,A1C1 ?正方体 AC1 中,AA1 ? 平面 ABCD

?AA1 ? BD

?正方形 ABCD, AC ? BD 且 AC ? AA1=A

?BD ? 平面 ACC1A1 且 E ? CC1 ?A1E ? 平面 ACC1A1 ?BD ? A1E
4

(2)设 AC ? BD=O,则 O 为 BD 的中点,连 A1O,EO 由(1)得 BD ? 平面 A1ACC1

?BD ? A1O,BD ? EO

? ?A1 EO 即为二面角 A1-BD-E 的平面角。

?AB=a,E 为 CC1 中点

?A1O= ?A1O ? OE

6 a 2

A1E=

3 a 2

3 EO= a 2

?A1O2+OE2=A1E2

? ?A1OE ? 90 0

?平面 A1BD ? 平面 BDE
17.(I)证明 如图,连结 AC,AC 交 BD 于点 G,连结 EG。 ∵ 底面 ABCD 是正方形, ∴ G 为 AC 的中点. 又 E 为 PC 的中点, ∴EG//PA。 ∵EG ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB, ∴PA//平面 EDB (II)证明: ∵ PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥BC,PD⊥DC,PD⊥DB 又∵BC⊥DC,PD∩DC=D, ∴BC⊥平面 PDC。 ∴PC 是 PB 在平面 PDC 内的射影。 ∵PD⊥DC,PD=DC,点 E 是 PC 的中点, ∴DE⊥PC。 由三垂线定理知,DE⊥PB。 ∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD。
18.证明:(1)因为 BC⊥平面 ABE,AE?平面 ABE, 所以 AE⊥BC, 又 BF⊥平面 ACE,AE?平面 ACE, 所以 AE⊥BF, 又 BF∩BC=B,所以 AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,所以 AE⊥BE. (2)取 DE 的中点 P,连结 PA,PN,因为点 N 为线段 CE 的中点. 1 所以 PN∥DC,且 PN= DC, 2 1 又四边形 ABCD 是矩形,点 M 为线段 AB 的中点,所以 AM∥DC,且 AM= DC, 2 所以 PN∥AM,且 PN=AM,故四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN∥AP, 而 AP?平面 DAE,MN?平面 DAE,所以 MN∥平面 DAE.

19.(I)取 PB 的中点 F,联结 MF、CF, ∵M、F 分别为 PA、PB 的中点.
5

1 AB. 2 ∵四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD 且 AB=2CD,

∴MF∥AB,且 MF=

∴MF∥CD 且 MF=CD. ∴四边形 CDFM 是平行四边形. ∴DM∥CF. ∵CF 平面 PCB, ∴DM∥平面 PCB. (Ⅱ)取 AD 的中点 G,连结 PG、GB、BD. ∵PA=PD, ∴PG⊥AD. ∵AB=AD,且∠DAB=60° , ∴△ABD 是正三角形,BG⊥AD. ∴AD⊥平面 PGB. ∴AD⊥PB. (Ⅲ)VP-MBD=VB-PMD
2 3 1 1 VB-PMD = × × × 2× 3= 6 3 2 2
20. 解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形, 所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1, 在 Rt△PBO 中,tan∠PBO=

PG 1 2 2 ? ? , ?PBO ? arctan . BC 2 2 2

所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arctan

2 . 2 3 . 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为

6

设 QD=x,则 S?DQC ?

1 x ,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 2
2 2

在 Rt△POC 中, PC ? OC ? OP ? 所以 PC=CD=DP, S?PCD ?

2,

3 3 ?( 2) 2 ? , 4 2

由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2,所以存在点 Q 满足题意,此时 解法二: (Ⅰ)同解法一.

AQ 1 ? . QD 3

OD OP (Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直
角坐标系 O-xyz,依题意,易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

???? ???? ??? ?

=(? 11, PB=(, 1, 1 ,0), 1 ? ? ). 所以 CD
所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos

??? ?

??? ?

6 , 3 3 , 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 由(Ⅱ)知 CP ? (?1, 0,1), CD ? (?1,1, 0). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).

??? ?

??? ?

??? ? ?n? ? 0, ? ? x0 ? z0 ? 0, ? CP 则 ? ??? 所以 ? 即 x0 ? y0 ? z0 , ? n? ? 0, CD ? ? x 0 ? y0 ? 0, ? ?
取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).

?????? CQ?n ??? ? ?1 ? y 3 3 设 Q(0, y, 0)(?1 ? y ? 1), CQ ? (?1, y, 0), 由 ,得 ? ? , 解 n 2 2 3
1 5 或 y= (舍去), 2 2 AQ 1 1 3 此时 AQ ? , QD ? ,所以存在点 Q 满足题意,此时 ? . QD 3 2 2
y=-

7


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