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§16.4.1棣莫弗定理与欧拉公式


复数及其应用
§16.4.1复数三角形式的乘除法 与棣莫弗定理

?复数的代数形式
?复数的三角形式

z ? a ? bi
z ? r (cos ? ? i sin ? )
三角形式 有哪些特征?

其中r= z ? 0, ?? ? ? ? ? . 且有r cos? ? a,

r sin ? ? b.

?确定复数的三角形式,需要先明确什么?
模和辐角 ?两个共轭复数的模和辐角有什么关系? 模相等,辐角互为相反数

指出下列复数的模和辐角: (1) cos 210? ? i sin 210? ; (2)5(cos 3 ? i sin 3); (3) ? ( cos 2

?

5

? i sin

?

5

) (4)2(sin1 ? i cos1). ;

将下列复数的代数形式化成三角形式: (1) z1 ? 5; (2) z2 ? 1 ? i; 1 3 (3) z4 ? ?2i; (4) z5 ? ? ? i. 2 2

设z1 ? r1 (cos ?1 ? isin ?1 ), z2 ? r2 (cos ?2 ? isin ?2 ). 则z1 ? z2 ? r1 (cos ?1 ? isin ?1 ) ? r2 (cos ?2 ? isin ?2 ) ? r1r2 (cos ?1 ? isin ?1 )(cos ?2 ? isin ?2 ) ? r1r2 (cos ?1 cos ?2 ?i cos ?1 sin ?2 ?i sin ?1 cos ?2 ?i 2 sin ?1 sin ? 2 ) ? r1r2 [cos ?1 cos ?2 ? sin ?1 sin ?2 ? i( cos ?1 sin ?2 ? sin ?1 cos ?2 )] z1 ? z2 ? r1r2 [cos(?1 ? ?2 ) ? isin(?1 ? ?2 )]
由此可见, 复数的积的模等于模的积, 复数的积的辐角等于辐角的和.

? i sin )4(cos ? i sin ). ? 6 6 12 12 ? ? ? ? 原式 ? 4 3[ cos( ? ) ? i sin( ? )] 解: 6 12 6 12 ? ? ? 4 3(cos ? i sin ) 4 4 ? 2 6 ? 2 6i.

计算:( cos 3

?

?

?

?

计算: cos120? ? i sin120?) 3(cos30? ? i sin 30?). ( 4 ?

设z1 ? r1 (cos ?1 ? isin ?1 ), z2 ? r2 (cos ?2 ? isin ?2 ). z2 z2 ? z1 则 ? z1 z1 ? z1 r2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 ) ? r1[cos(??1 ) ? i sin(??1 )] ? 2 z1 z2 r2 ? [cos(? 2 ? ?1 ) ? i sin(? 2 ? ?1 )] z1 r1
由此可见, 复数的商的模等于模的商, 复数的商的辐角等于辐角的差.

计算:[6(cos 70? ? isin 70? )] ? [3(cos 40? ? isin 40? )].

原式 ? 2[ cos(70 ? 40 ) ? isin(70 ? 40 )] 解:
? ? ? ?

? 2(cos30? ? i sin 30? ) ? 3 ? i.

6(cos 50? ? i sin 50?) 计算: . 3(cos 20? ? i sin 20?)

若z ? 3(cos

? i sin ),求z 2与z 3的值. 6 6 ? ? ? ? 2 2 解:z ? z ? z ? ( 3) [cos( ? ) ? i sin( ? )] 6 6 6 6 ? ? 3 3 3 ? 3(cos ? i sin ) ? ? i 3 3 2 2 ? ? 3 3 z ? z ? z ? z ? ( 3) [cos( ? 3) ? i sin( ? 3)] 6 ? ?6 ? 3 3(cos ? i sin ) ? 3 3i 2 2

?

?

由此推测, 复数的n次幂的模等于模的n次幂, 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍.
n n

[ 棣莫弗定理:r (cos ? ? isin ? )] ? r (cos n? ? isin n? ).

计算: (1)(cos 40? ? i sin 40? )9 ; (2)(1 ? 3i) 2012 .

cos360? ? i sin 360? ? 1 (1) 解: 原式 ? ? ? 2012 (2)原式 ? [2(cos ? i sin )] 3 3 2012? 2012? 2012 ? 2 (cos ? i sin ) 3 3 2? 2? 2012 ? 2 (cos ? i sin ) 3 3 1 3 2012 ? 2 (? ? i) ? ?22011 ? 22011 3i 2 2 3 1 4 ? ? 6 计算: (1)(cos 5 ? i sin 5 ) ; (2)( ? i) . 2 2

本节课 学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?

何处还需要注意?

讲义 P076习题 Q 1


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