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0575数学-江苏省靖江市2013届高三上学期期中调研数学试题


靖江市 2013 届第一学期期中调研试卷 高三数学
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置.

?1 ? i ? ,则 z 虚部为 ▲ . 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ?
2

1? i

2.若 A ? x ( x ? 1) ? 2 x ?

4 ,则 A∩Z 的元素个数为___▲___.
2

?

?

π 3. 设命题 p:α= ,命题 q:sinα=cosα,则 p 是 q 的_____▲______条件. 4 4.已知
1 1 ? ? 2 ,则 a ? log 2 a log 3 a





5.已知 x ? R , f ( x ) 为 sin x 与 cos x 中的较小者,设 m ? f ( x) ? n ,则 m ? n =__▲__.

?3x-1 6.设函数 f (x)=? 1 ?x

2

(x≥0) ,若 f (a)=a,则实数 a 的值是___▲_____. (x<0)

a 3 7.设 a∈ R,函数 f (x)=ex+ x是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,则切点的 e 2 横坐标为________. 8.已知 ? 为第四象限的角,且 sin(

?
2

??) ?

4 , 则 tan ? =___▲___. 5

1 2 9.已知 a=(m,n-1),b=(1,1)(m、n 为正数),若 a⊥ b,则 + 的最小值是__▲___. m n 10.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? ? a ?1? n ? a, 某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 , 则
2

该三角形最大角为

▲ ____ .

1 11.已知函数 f (x)=ax2+bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈[1,9],不等式 4 f (x-t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合为____▲______.

1

12.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4=35, 则 a5+b5=____▲_____. ??? ? ??? ? ??? ? ???? 13.如图,平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角
为 150°,且 OA ? OB ? 1 , OC ? 2 3 .若 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ?R) ,则 ? ? ? 的值为 ▲ .

??? ?

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

y
B
?3 ? 0 .5

3 2
A O

1 x

? 3
C

14.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,

t 若 s , t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ≤ ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1 ≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是 ▲ . s
二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 已知函数 f(x)=2x+k·2-x,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值;

(2)若对任意的 x∈ ?0,??? 都有 f(x)>2-x 成立,求实数 k 的取值范围.

16. (本题满分 14 分) 已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m? n 4 4 4

(1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( x ?

?
3

) 的值; 1 c ? b ,求函数 2

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、 C 的对边分别是 a、b、 c ,且满足 a cos C ?

f ( B ) 的取值范围.

2

17. (本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (1)求 a2 , a3 ; (2)求 ?an ? 的通项公式.

n?2 an . 3

18. (本题满分 15 分) 两县城 A 和 B 相距 20 km,现计划在两城外以 AB 为直径的半圆弧 ? 上选择一点 C 建造垃 AB 圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平 方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系 数为 k ,当垃圾处理厂建在 ? 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. AB ⑴按下列要求建立函数关系式: ①设∠CAB=θ (rad),将θ 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. ②设 AC=x(km),将 x 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. ⑵请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?

3

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?| x | ( x ? a) , a 为实数. (1)当 a ? 1 时,判断函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 的单调区间; (3)是否存在实数 a (a ? 0) ,使得 f (x) 在闭区间 [?1, ] 上的最大值为 2.若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

1 2

20.(本题满分 16 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,存在常数 A,B,C,使得 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 对任意正整 数 n 都成立. ⑴若数列 {an } 为等差数列,求证:3A-B+C=0; ⑵若 A ? ? , B ? ? , C ? 1, 设 bn ? an ? n, 数列 {nbn } 的前n项和为 Tn ,求 Tn ; ⑶若 C=0, {an } 是首项为 1 的等差数列,设 P ? 数的值.
2012

1 2

3 2

?
i ?1

1?

1 1 ? 2 ,求不超过 P 的最大整 2 ai ai ?1

4

高三数学参考参案
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置.

?1 ? i ? ,则 z 虚部为 ▲ .-1 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ?
2

1? i

2.若 A ? x ( x ? 1) ? 2 x ? 4 ,则 A∩Z 的元素个数为___▲___.0
2

?

?

π 3. 设命题 p:α= ,命题 q:sinα=cosα,则 p 是 q 的_____▲______条件.充分不必要 4 1 1 ? ? 2 ,则 a ? 4.已知 ▲ . 6 log 2 a log 3 a 5.已知 x ? R , f ( x ) 为 sin x 与 cos x 中的较小者,设 m ? f ( x) ? n ,则 m ? n =__▲__.

2 ?1 2

?3x-1 6.设函数 f (x)=? 1 ?x

2

(x≥0) ,若 f (a)=a,则实数 a 的值是___▲_____. -1 (x<0)

a 3 7.设 a∈ R,函数 f (x)=ex+ x是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,则切点的 e 2 横坐标为___▲____. ln2 8.已知 ? 为第四象限的角,且 sin(

?

2

??) ?

3 4 , 则 tan ? =___▲___. ? 4 5

1 2 9.已知 a=(m,n-1),b=(1,1)(m、n 为正数),若 a⊥ b,则 + 的最小值是__▲___. m n 3+2 2 10.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? ? a ?1? n ? a, 某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 , 则
2

该三角形最大角为

▲ ____ .

分析与解答: 因为数列 ?an ? 是等差数列, ? a ? 0 , ? Sn ? n2 , a2 ? 3, a3 ? 5, a4 ? 7 , 设 ? 三角形最大角为 ? ,由余弦定理,得 cos ? ? ?

1 2? ,?? ? . 2 3

1 11.已知函数 f (x)=ax2+bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈[1,9],不等式 4 f (x-t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合为____▲______.{4} 12.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足: 1+b1=3, 2+b2=7, 3+b3=15, 4+b4=35, a a a a 则 a5+b5=____▲_____.91 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 13.如图,平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角
为 150°,且 OA ? OB ? 1 , OC ? 2 3 .若 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ?R) ,则 ? ? ? 的值为

??? ?

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

5





(改编自 07 高考陕西卷,第 15 题) 分析:本题的目的是考查向量的坐标运算和向量的基本定 理,在解决向量问题中的坐标系和坐标的意识.如下图所示:

y
B
?3

1 3 ), 建立平面直角坐标系,则 OA ? (1,0) , OB ? (? , 2 2 ???? ??? ? ??? ? OC ? (?3,? 3) ,代入 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ?R) 可得:

3 2
A O

? 0 .5

1 x

1 ? ?? ? 2 ? ? ?3 ? ,可解得 ? ? ?4, ? ? ?2 ,故 ? ? ? ? ?6 ? ? 3 ? ?? 3 ? 2 ?

C

? 3

14.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,

t 若 s , t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ≤ ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1 ≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是 ▲ . s 【解析】由 f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,知 f ( x) 的图象关于 (0 , 0) 成中心对称,
故 f ( x) 为 奇 函 数 , 得 f (s 2 ? 2s) ≤ f (t 2 ? 2t ) , 从 而 t 2 ? 2t ≤ s 2 ? 2s , 化 简 得
(t ? s) (t? s? ≤ ) ,又 1 ≤ s ≤ 4 ,故 2 ? s ≤ t ≤ s ,从而 2 0

2 t ? 1 ≤ ≤1 ,等号可以取到,而 s s

2 ? 1 ? 1? ?? , s ? 2

t ? 1 ? 1? ,故 ? ? ? , s ? 2 ?

? 1? . ?

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分)已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值;
- x

(2)若对任意的 x∈ ?0,??? 都有 f(x)>2 成立,求实数 k 的取值范围.

6

16.(本题满分 14 分)已知向量 m ? ( 3 sin (1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( x ?

??

?
3

? ?? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m? n 4 4 4

) 的值; 1 c ? b ,求函数 2

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、 C 的对边分别是 a、b、 c ,且满足 a cos C ?

f ( B ) 的取值范围.
本题主要考查向量的数量积、二倍角的正弦、余弦公式、两角和与的正弦公式、以及余弦定 理的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 解:(1)
x x x 3 x 1 x 1 ?x ? ? 1 ? f ? x ? ? m ? n ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ………4分 4 4 4 2 2 2 2 2 ?2 6? 2
?x ?? 1 而 f ? x ? ? 1,? sin ? ? ? ? . ?2 6? 2 ?? ? ?x ?? ?x ?? 1 ? cos ? x ? ? ? cos 2 ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? . 3? ? ?2 6? ?2 6? 2

……………………7分

1 a 2 ? b2 ? c 2 1 1 (2)? a cos C ? c ? b,? a ? ? c ? b, 即 b2 ? c2 ? a2 ? bc,? cos A ? . ………10分 2 2 2ab 2
又? A ? ? 0, ? ? ,? A ? 又? 0 ? B ?

?
3

……………………12分

2? ? B ? ? ,? ? ? ? , 3 6 2 6 2 ? 3? ? f ? B ? ? ?1, ? . ? 2?

……………………14分

17. (本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (1)求 a2 , a3 ; (2)求 ?an ? 的通项公式.

n?2 an . 3

本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用. 解:(1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 an 可得 3
……………………3分 ……………………6分

2?2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 , 3 3? 2 2 S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 S2 ?
故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 .

n?2 n ?1 an ① Sn ?1 ? an ?1 ② 3 3 n?2 n ?1 an ? an ?1 ①-②可得 S n ? S n ?1 ? 3 3
(2)当 n ? 2 时, S n ?

……………………8分

7

即 an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ………………10分 an ? an?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1



12 ? 1 ? 1 ? a1 2

an an?1 a2 n ?1 n 3 n2 ? n 故有 an ? ? ??? ? a1 ? ? ??? ?1 ? an?1 an?2 a1 n ?1 n ? 2 1 2
n2 ? n 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2
……………………15分

18. (本题满分 15 分) 两县城 A 和 B 相距 20 km,现计划在两城外以 AB 为直径的半圆弧 ? AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的 垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所 选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距 离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 ? 的中点时,对城 A 和城 B 的总影 AB 响度为 0.065. ⑴按下列要求建立函数关系式: ①设∠CAB=θ (rad),将θ 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. ②设 AC=x(km),将 x 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. ⑵请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小? 解:(1)①在RT△ABC中,AC=20cosθ ,BC=20sinθ , 则y=

4 k ? ? ,( 0 ? ? ? ) 2 2 400 cos ? 400sin ? 2

……………………2分

其中当AC= 10 2 时,y=0.065, 所以k=9 所以y表示成x的函数为y=
2

……………………4分

4 9 ? ? ,( 0 ? ? ? )……………………5分 2 2 400 cos ? 400sin ? 2
2

②由题意知AC⊥BC,BC =400-x ,

y?

4 k ? 2 x 400 ? x 2

? 0 ? x ? 20 ? ……………………7分

其中当x= 10 2 时,y=0.065, 所以k=9 ……………………9分

4 9 所以y表示成x的函数为 y ? 2 ? x 400 ? x 2
(2)①y′=

? 0 ? x ? 20 ?

……………………10分

4sin ? 9 cos ? 4sin 4 ? ? 9 cos 4 ? ? = 200 cos3 ? 200sin 3 ? 200sin 3 ? cos3 ?
8

……………………13分

令y′=0, tan ? 0 ?

6 2
2
时, y′<0, 函数为单调增函数

当0<θ <θ 0时, y′<0, 函数为单调减函数; 当θ 0<θ < ? 所以当θ =θ 0时,y有最小值 当 tan ? 0 ?

6 即AC= 4 10 时, 即当C点到城A的距离为 4 10 时, 在此处的垃圾处理厂对城 2
……………………15分
4 2

A和城B的总影响度最小. ② y? ? ?

8 18 x 10 x ? 6400 x ? 1280000 ? ? , 2 3 x ? 400 ? x 2 ? x3 (400 ? x 2 )2

? 0 ? x ? 20 ? ……………13分

令y'=0得x= 4 10 当0<x< 4 10 时, y'<0,所以函数为单调减函数, 当 4 10 <x<20时,y'>0所以函数为单调增函数. 所以当x= 4 10 时,即当C点到城A的距离为 4 10 时,在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总 影响度最小. (注:该题可用基本不等式求最小值.) 19. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ?| x | ( x ? a) , a 为实数. (1)当 a ? 1 时,判断函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 的单调区间; (3)是否存在实数 a (a ? 0) ,使得 f (x) 在闭区间 [?1, ] 上的最大值为 2.若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. (1) f ( x) ?| x | ( x ? 1) ……………………15分

1 2

? f (1) ? 0, f (?1) ? ?2 ? f (1) ? ? f (?1), f (1) ? f (?1) ? f (x) 既不是奇函数,又不是偶函数.
……………………………………4 分

(2)(画图) a ? 0 时, f ( x) ?| x | x ,单调增区间为 (??,??) …………………6 分

9

? 2 ? x ? ax, x ? 0, a ? 0 时, f ( x) ? ? 2 , ?? x ? ax, x ? 0 ?
单调增区间为 ( ?? , ), (0,?? ) ,单调减区间为 ( ,0) ………………………………10 分 (3)? a ? 0

a 2

a 2

? f (?1) ? ?1 ? a ? 2 ? ? a ? 3

1 1 1 7 ? f ( ) ? ( ? a) ? ? 2 2 2 2 4
由(2)知, f (x) 在 (0,??) 上递增

? f (x) 必在区间 [?1,0] 上取最大值 2


……………………………………12 分

a ? ?1 ,即 a ? ?2 时, 2
……………………………………14 分

则 f (?1) ? 2 , a ? ?3 ,成立

a ? ?1 ,即 0 ? a ? ?2 时, 2 a 则 f ( ) ? 2 ,则 a ? ?2 2 (舍) 2 综上, a ? ?3


……………………………………16 分

20.(本题满分 16 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,存在常数 A,B,C,使得

an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 对任意正整数 n 都成立.
⑴若数列 {an } 为等差数列,求证:3A-B+C=0; ⑵若 A ? ? , B ? ? , C ? 1, 设 bn ? an ? n, 数列 {nbn } 的前n项和为 Tn ,求 Tn ; ⑶若 C=0, {an } 是首项为 1 的等差数列,设 P ? 数的值. ⑴因为 ?an ? 为等差数列,设公差为 d ,由 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C ,
2012

1 2

3 2

?
i ?1

1?

1 1 ? 2 ,求不超过 P 的最大整 2 ai ai ?1

1 2 1 d 即 ( d ? A)n2 ? (a1 ? ? B)n ? (a1 ? d ? C) ? 0 对任意正整数 n 都成立.……………2分 2 2
得 a1 ? (n ? 1)d ? na1 ? n(n ? 1)d ? An2 ? Bn ? C ,

10

?1 ? 2 d ? A ? 0, ? 1 ? 所以 ? a1 ? d ? B ? 0, 所以 3 A ? B ? C ? 0 . 2 ? ? a1 ? d ? C ? 0, ? ?
⑵ 因为 an ? Sn ? ? n2 ? n ? 1 ,所以 a1 ? ? ,

………………………………4 分

1 2

3 2

1 2

当 n ≥ 2 时, an?1 ? Sn?1 ? ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1, 所以 2an ? an?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an?1 ? n ? 1 , 所以 bn ? bn?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? 所以数列 ?bn ? 是首项为

1 2

3 2

1 2

1 , 2

1 1 1 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ( )n . …………… 7 分 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n n 于 nbn ? n . 以Tn ? + 2 + 3 + ? + n ① Tn ? 2 + 3 + 4 + ? + n+1 ,② 是 所 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由① ? ②,
1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 ? ( 1 )n ? n ? 1 ? 2 + n . 得 Tn ? + 2 + 3 + ? + n ? n +1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2n +1 2 2n +1 2n +1 1? 2
所以 Tn ? 2 ?

2+n .…………………………………………………………………10 分 2n

⑶ 因为 ?an ? 是首项为 1 的等差数列,由⑴知,公差 d ? 1 ,所以 an ? n . 而 1?

1 1 n2 (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 ? ? n2 (n ? 1)2 n2 (n ? 1)2
… … … … … … 分 … … … … … 14

?

n(n ? 1) ? 1 1 1 1 ?1? ?1? ? , n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 2013 ? 1 2 2 3 3 4 2012 2013 2013 所以,不超过 P 的最大整数为 2012 .………………………………………………16 分
所以 P ? (1 ? ? ) ? (1 ?

11

12


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