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0576数学-江苏省南京市四区县2013届高三上学期12月联考数学试题


江苏省南京市四区县 2013 届高三上学期联考 数学试题
注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的 答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答卷纸

. ... 参考公式: 1 n 1.样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2=n ∑(xi--)2,其中-是这组数据的平均数. x x
i=1

2012.12

2.柱体、锥体的体积公式:V 是高.

柱体

=Sh,V

锥体

1 = Sh,其中 S 是柱(锥)体的底面面积,h 3

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置 ....... 上. 1.已知集合 M={1,2,3,4,5},N={2,4,6,8,10},则 M∩N= 2.若 (1 ? 2i)i ? a ? bi(a, b ? R , i 为虚数单位), 则 ab = 3. 函数 f ( x) ? lg(2 ? x) 的定义域为 ▲ ▲ . .
开始





4. 程序框图(即算法流程图)如图(右)所示,其输出结果 是_____▲___. 5. 若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,


a?3
a ? 3a ? 1

6 个点的正方体玩具) ,先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为

a ? 100 ?
是 输出 a

6 的概率是



A 6. 在 △ ABC 中 , s i n
▲ .

: s Bn i

:C i n s ?

2 :则 c o C = , 3 : 4s

结束

7. 在等比数列 {an } 中, Sn 为其前 n 项和,已知 a5 ? 2S4 ? 3 , a6 ? 2S5 ? 3 ,则此数列的 公比 q 为 ▲

8. 已知向量 a ? (5,?3),b ? (9,?6 ? cos? ), ▲

? 是第二象限角, a //(2a ? b) ,则 tan ? =

9. 设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列命题:
1

①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ②若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , m//n ,则 ? // ? . 上面命题中,真命题的序号是 ... ▲ (写出所有真命题的序号) .

10. 函数 y ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x ? cos x , x ? ?0,

? ?? ? 的最大值为 ? 2?



11.设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 上顶点为 A , 过点 A 与 a2 b2

AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2F1 F2 ? F2Q ? 0 .则椭圆 C 的离心率为
______▲_____ 12. 过圆 x2+y2=1 上一点 P 作圆的切线与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B 两点,O 是坐标原点, 则 | OA? 2OB | 的最小值是 ▲ .
2 2 2

13..已知 ?ABC 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 a ? b ? c ? 84 ,则实数 b 的取值范 围是 ▲

14. 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D , 若 存 在 非 零 实 数 l 使 得 对 于 任 意 x ? M (M ? D) , 有
x ? l ? D ,且 f ( x ? l ) ≥ f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数.如果定义域为 R 的函数

f ( x) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ?| x ? a2 | ?a2 ,且 f ( x) 为 R 上的 4 高调函数,那么实

数 a 的取值范围是





二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在三角形 ABC 中,已知 2AB ? AC ? AB ? AC ,设∠CAB=α, (1)求角 α 的值;

??? ???? ?

??? ???? ?

2

(2)若 cos(? -? )=

? 5? 4 3 ,其中 ? ? ( , ) ,求 cos ? 的值. 3 6 7

16.(本小题满分 14 分) 如图的几何体中,AB ? 平面 ACD ,DE ? 平 面 ACD , △ ACD 为 等 边 三 角 形 ,

B

E A

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE . C F D

17. (本小题满分 14 分) 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行 开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用 栏栅隔开(栏栅要求在一直线上 ),公共设施边界为曲线
N
P
O

y

f ( x) ? 1 ? ax2 (a ? 0) 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交
于点 M、N,交曲线于点 P,设 P(t , f (t )) (1)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S (t ) ; (2)若在 t ?

M

x

1 处, S (t ) 取得最小值,求此时 a 的值及 S (t ) 的最小值. 2

18. (本小题满分 16 分) 如图:已知 A, B 是圆 x ? y ? 4 与 x 轴的交点, P 为直线 l : x ? 4 上的动点, PA, PB 与圆
2 2

x2 ? y 2 ? 4 的另一个交点分别为 M , N .
(1) 若 P 点坐标为 (4, 6),求直线 MN 的方 程; (2) 求证:直线 MN 过定点. A O B M P

3

N

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1). (1)当 a>1 时,求证:函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数 y=|f(x)-t|-1 有三个零点,求 t 的值; (3)若存在 x1,x2∈ [-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求 a 的取值范围.

20. (本题满分 16 分) 设等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , 数列 {bn } 为等比数列, a1 ? b1 ? a ,a3 ? b3 ,a7 ? b5 若 (1)求数列 {bn } 的公比 q ; (2)若 an ? bm , n, m ? N * ,求 n 与 m 之间的关系; (3)将数列 {an } , {bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {cn } ,是否 存在正整数 p, q, r ( p ? q ? r ) 使得 p, q, r 和 c p ? p, cq ? q, cr ? r 均成等差数列?说明 理由。

数学附加题
21. [选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分,请在答 题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修 4-1: (几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B , 设 AB 与 OP 交于点 M , CD 为过点 M 且不过圆心 O 的一条弦, 求证: O、C、P、D 四点共圆. O M A D P

C B (第 21—A 题)

B.选修 4-2:(矩阵与变换)

4

已知二阶矩阵 M 有特征值 ? =3 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变 换将点(-1,2)变换成(9,15) ,求矩阵 M.

?1? ?1?

C.选修 4-4:(坐标系与参数方程) 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,以极点为原点,极轴为 x 轴

4 ? ?x ? 1? 5 t ? 的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,求直线 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
l 被曲线 C 所截得的弦长.

D.选修 4—5(不等式选讲) 已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2 ,求 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值;

[必做题]第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分,请在答题纸指定区域内作答, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22.袋中装着标有数字 1,2,3,4 的卡片各 1 张,甲从袋中任取 2 张卡片(每张卡片被取出 的可能性都相等),并记下卡面数字和为 X,然后把卡片放回,叫做一次操作. (1)求在一次操作中随机变量 X 的概率分布和数学期望 E(X); (2)甲进行四次操作,求至少有两次 X 不大于 E(X)的概率.

23. (本小题满分 10 分)

5

对一个边长互不相等的凸 n (n ? 3) 边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色 中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为 P (n) (1)求 P(3), P(4), P(5) ; (2)求 P (n)

an a1

an-1

a2 a3

数学试题
参考答案 一.填空题: 1.{2,4} 8. ? 2. 2 9. ② 3. ?? ?,1? 10. 4. 283 5.

5 36

6. ?

1 4

7. 3

4 3

2

e? 11.

1 2

12. 3
y

13. (2 6, 2 7]

14. [?1, 1] ;

由 f ( x) 为奇函数及 x ≥ 0 时的解析式知 f ( x) 的图象如下图右所示, ∵ f (3a ) ? a ? f (?a ) ,由 f (?a ? 4) ≥ f (?a ) ? a ? f (3a ) ,故
2 2 2 2 2 2 2

y a2 a2 -a2 O -a2 x

?a 2 + 4 ≥ 3a 2 ,从而 a 2 ≤1 ,又 a 2 ≤1 时,恒有 f ( x ? 4) ≥ f ( x) ,

-1

O 1

x

故 a 2 ≤1 即可. 二.解答题 15.解: (1)由 2AB ? AC ? AB ? AC ,得 2 AB ? AC cos ? ? AB ? AC 所以 cos ? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

1 ? ,又因为 0 ? ? ? ? 为三角形 ABC 的内角,所以 ? ? , 2 3
????????????????6 分

6

(2)由(1)知: sin ? ?

? 1 3 ,且 ? ? ? ? (0, ) ,所以 sin( ? ? ? ) ? 2 7 2
????????????????8 分

故 cos ? ? cos(? ? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?



4 3 1 1 3 3 3 . ? ? ? ? 7 2 7 2 14

????????????????14 分

16. (1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ?

1 DE . 2
G

B

E A

1 DE ,∴ 2

GF ? AB .
∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG .

C F D

∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .????7 分 (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ? AF . ∵ BG // AF ,∴ BG ? DE, BG ? CD 又 CD ? DE ? D , ∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE .??????14 分 17.解: (1) y? ? ?2ax ,切线的斜率为 ?2at ,???1 分

? 切线 l 的方程为 y ? (1 ? at 2 ) ? ?2at ( x ? t )
令 y ? 0, 得 x ?

1 ? at 2 1 ? at 2 ? 2at 2 1 ? at 2 1 ? at 2 ?t ? ? ?M ( , 0) ,???3 分 2at 2at 2at 2at

2 2 2 2 令 t ? 0 ,得 y ? 1 ? at ? 2at ? 1 ? at ,? N (0,1 ? at ) ???5 分

1 1 ? at 2 (1 ? at 2 )2 2 ??MON 的面积 S (t ) ? ? (1 ? at ) ? ???6 分 2 2at 4at
(2) S ?(t ) ?

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) ? 4at 2 4at 2
7

? a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at 2 ? 1 ? 0, 得t ?

1 ???8 分 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2

1 时, S ?(t ) ? 0 3a 1 1 时, S ?(t ) ? 0 ?当t ? 时, S (t )有最小值 3a 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ?
2

已知在 t ?

1 1 1 4 处, S (t )取得最小值 ,故有 ? ,? a ? ???12 分 2 3 3a 2

4 1 1 故当 a ? , t ? 时, S (t ) min ? S ( ) ? 3 2 2

4 1 (1 ? ? ) 2 3 4 ?2 4 1 3 4? ? 3 2
?y ? x ? 2
2 2 ?x ? y ? 4

???14 分

18.解(1)直线 PA 方程为 y ? x ? 2 , 由 ?

解得 M (0, 2) ,???2 分

直线 PB 的方程 y ? 3x ? 6 ,由 ?

? y ? 3x ? 6 ?x ? y ? 4
2 2

解得 N ( , ? ) ,???4 分

8 5

6 5

所以 MN 的方程 y ? ?2 x ? 2 ???6 分 (2)法一:设 p(4, t ) ,则直线 PA 的方程为 y ?

t t ( x ? 2) ,直线 PB 的方程为 y ? ( x ? 2) 6 2

? x2 ? y 2 ? 4 72 ? 2t 2 24t 2t 2 ? 8 ?8t ? , ) ,同理 N ( , ) ???10 分 得M( ? t 36 ? t 2 36 ? t 2 4 ? t2 4 ? t2 y ? ( x ? 2) ? 6 ?

24t ?8t ? 2 2 8t 直线 MN 的斜率 k ? 36 ? t 2 4 ? t ?????12 分 ? 2 72 ? 2t 2t ? 8 12 ? t 2 ? 36 ? t 2 4 ? t2
直线 MN 的方程为 y ? 化简得: y ?

8t 2t 2 ? 8 8t (x ? )? , 2 2 12 ? t 4?t 4 ? t2

8t 8t x? ?????14 分 2 12 ? t 12 ? t 2

所以直线 MN 过定点 (1, 0) ???????16 分 注:其他解法酌情对应给出相应的分数.

8

法二:设 P(4, y0 ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , k BP ?

y0 y 3 y1 y ? 3 ? 0 ? 3k AP ,即 ? 2 , 2 6 x1 ? 2 x2 ? 2

两边平方得:

9(2 ? x1 ) 2 ? x2 9(4 ? x12 ) 4 ? x2 2 ,整理得 ? ? 2 2 x1 ? 2 2 ? x2 ( x1 ? 2) ( x2 ? 2)

即 2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ? 0 ?? (1) MN 的方程为 y ? k ( x ? m) , ,设 代入 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 中得

2k 2 m k 2 m2 ? 4 , x1 x2 ? 代入(1)式得 (1 ? k ) x ? 2k mx ? k m ? 4 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 1? k 2 1? k 2
2 2 2 2 2

2k 2 m ? 8 10k 2 m ? ? 8 ? 0 ,即 k 2 (m2 ? 5m ? 4) ? 0 .当 k ? 0 , m ? 1 ,或 m ? 4 (舍) 2 2 1? k 1? k
当 k ? 0 时,直线 MN 即为直线 AB,所以直线 MN 过定点 (1, 0) . 19.解: (1) f ?( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a .………………………3 分 由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, a x ?1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , 故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增.……………………………………………5 分 (2)当 a ? 0, a ? 1 时,因为 f ?(0) ? 0 ,且 f ?( x ) 在 R 上单调递增, 故 f ?( x) ? 0 有唯一解 x ? 0 .………………………………………………………7 分 所以 x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表所示: x

(??, 0)
- 递减

0 0 极小值

(0, ??)
+ 递增

f ?( x )
f ( x)

又函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以方程 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 而 t ? 1 ? t ? 1 ,所以 t ?1 ? ( f ( x))min ? f (0) ? 1 ,解得 t ? 2 .………………10 分 (3)因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 , 所以当 x ?[?1,1] 时,| ( f ( x))max ? ( f ( x))min |? ( f ( x))max ? ( f ( x))min ? e ?1 .…11 分

9

由(2)知, f ( x ) 在 [?1, 0] 上递减,在 [0,1] 上递增, 所以当 x ?[?1,1] 时, ( f ( x))min ? f (0) ? 1,( f ( x))max ? max ? f (?1), f (1)? .…12 分

1 ? 2 ln a , a 1 1 2 1 2 记 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0) , 因为 g ?(t ) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) ? 0(当 t ? 1 时取等号) , t t t t 1 所以 g (t ) ? t ? ? 2 ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增. t
而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a ) ? ( ? 1 ? ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 , 故 当 t ? 1 时 , g (t ) ? 0 ; 当 0 ? t ? 1 时 , g (t ) ? 0 . 即 当 a ? 1 时 ,

1 a

f (1) ? f ( 1) ? ;
当 0 ? a ? 1 时, f (1) ? f (?1) .………………………………………………14 分 ① a ? 1 时,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1 ? a ? ln a ? e ? 1 ? a ? e ; 当 ② 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0) ? e ? 1 ? 当

1 1 ? ln a ? e ? 1 ? 0 ? a ? . a e

综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? ? 0, ? ? ? e, ?? ? .……………………16 分 e

? ?

1? ?

20、解: (1)设 {bn } 的公比为 q ,由题意

?aq 2 ? a ? 2d ? ? 4 ?aq ? a ? 6d ?

?aq 2 ? a ? 2d ? 即? 4 ---------------------------------------------2 分 ?aq ? a ? 6d ?

q ? 1 不合题意,故
(2)由 an ?b m 得

q2 ?1 1 ? ,解得 q 2 ? 2 ?q ? ? 2 ----------------4 分 4 q ?1 3

a ? (n ? 1)d ? aqm?1 ,又 2d ? aq2 ? a ? a ? d ?
?1 ? n ?1 ? (? 2 ) m ?1 即 n ? 1 ? (?1) m?1 2 2
*

a ------------------6 分 2

m?1 2

--------------------------8 分
m ?1 2

? n ? 1? N

? ( ?)

m?1

且 ? 0 ? m为 奇 数 , n ? 2

? 1 -------10 分

(3)若 {an } 与 {bn } 有公共项,不妨设 an ?b m

10

由(2)知: m为奇数,且 ? 2 n

m ?1 2

?1

令 m ? 2k ? 1(k ? N * ) ,则 bm ? a ? ( 2 ) 2k ?1?1 ? a ? 2 k ?1

? cn ? 2 n?1 a

---------------------------------------------------------------12 分

若存在正整数 p、q、r ( p ? q ? r ) 满足题意,则

?2q ? p ? r ? q ?1 p ?1 r ?1 ?2(a ? 2 ? q) ? (a ? 2 ? p) ? (a ? 2 ? r )
? 2 q ? 2 p ?1 ? 2 r ?1 ,又? 2 p?1 ? 2 r ?1 ? 2 2 P?r ?2 ? 2
p ?1 ? 2 r ?1 ? 2 又? p ? r ,? 2 p?r 2

p?r 2

(当且仅当p ? r时取" ?" )

----------------------14 分

x 又 y ? 2 在 R 上增,? q ?

p?r p?r 。与题设 q ? 矛盾, 2 2

? 若不存在 p、q、r 满足题意。---------------------------------------------------16 分

11

数学附加题
21.A.选修 4-1: (几何证明选讲) 证明:因为 PA , PB 为圆 O 的两条切线,所以 OP 垂直平分弦 AB , 在
O ? ?
2

A D , O M P
M

Rt?OAP


M P ………………4 分

,M

在圆 O 中, AM ? BM ? CM ? DM , 所以, OM ? MP ? CM ? DM , 又弦 CD 不过圆心 O ,所以 O, C, P, D 四点共圆. B.选修 4-2:(矩阵与变换)

CA B (第 21—A 题) ……………8 分 ……………10 分

?a + b ? 3, ? a b ? ?1? ?1? ?3? ?a b ? 设M ?? ………………………4 分 ? ,则 ? c d ? ?1? ? 3 ?1? ? ?3? ,故 ? ? ?? ? ?? ? ? ?c d ? ?c + d ? 3 . ??a + 2b ? 9, ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ? c d ? ? 2 ? ? ?15? ,故 ? ? ?? ? ? ? ??c + 2d ? 15 .
…………………………………7 分

? ?1 4? 联立以上两方程组解得 a ? ?1, b ? 4, c ? ?3, d ? 6 ,故 M = ? ? . ………………10 分 ? ?3 6 ?
C.选修 4-4:(坐标系与参数方程)

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? 解:将方程 ? ? 2 2 sin(? ? ) , ? 分别化为普通方程: 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,

3x ? 4 ? ? ???(6 分) y 1 0
2 , 5

由曲线 C 的圆心为 C (?1,1) ,半径为 2 ,所以圆心 C 到直线 l 的距离为 故所求弦长为 2 2 ? ( ) ?
2

2 5

2 46 ???(10 分) 5

D.选修 4—5(不等式选讲)
2 2 2 2 解:由柯西不等式可知: ( x ? y ? z ) ≤ ?( 2 x) ? ( 3 y) ? z ? ? ?( ? ?

1 ? 1 2 ? ) ? ( )2 ? 12 ? 3 ? 2 ?

??????????????5 分

12

故 2x ? 3y ? z ≥
2 2 2

24 6 4 12 2x 3y z ,当且仅当 ? ? ,即: x ? , y ? , z ? 1 1 11 11 11 11 1 2 3

2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 取得最小值为

24 ????????????????10 分 11

22.解: (1)由题设知,X 可能的取值为:3,4,5,6,7. 随机变量 X 的概率分布为 X P 3 1 6 4 1 6 5 1 3 6 1 6 7 1 6

?????????3 分 1 1 因此 X 的数学期望 E(X)=(3+4+6+7)× +5× =5. ?????????5 分 6 3 (2)记“一次操作所计分数 X 不大于 E(X)”的事件记为 C,则 1 1 1 2 P(C)=P(“X=3”或“X=4”或“X=5”)= + + = . ???????7 分 6 6 3 3 2 设四次操作中事件 C 发生次数为 Y,则 Y~B(4, ) 3 2 1 1 8 1 0 则所求事件的概率为 P(Y≥2)=1-C4× ×( )3-C4×( )4= . ??????10 分 3 3 3 9 23.解 (1) P(3) ? 6 , P(4) ? 18, P(5) ? 30 ????3 分

(2)设不同的染色法有 pn 种.易知. 当 n ? 4 时,首先,对于边 a1 ,有 3 种不同的染法,由于边 a2 的颜色与边 a1 的颜色不 同,所以,对边 a2 有 2 种不同的染法,类似地,对边 a3 ,?,边 an ?1 均有 2 种染法.对于 边 an ,用与边 an ?1 不同的 2 种颜色染色,但是,这样也包括了它与边 a1 颜色相同的情况, 而边 a1 与边 an 颜色相同的不同染色方法数就是凸 n-1 边形的不同染色方法数的种数 pn?1 , 于是可得

pn ? 3? 2n?1 ? pn?1 , pn ? 2n ? ? ? pn ?1 ? 2n ?1 ? .
于是

pn ? 2n ? (?1) n ?3 ? p3 ? 23 ? ? (?1) n ? 2 ? 2 ,
n n

pn ? 2n ? (?1)n ? 2 , n ? 3 .

综上所述,不同的染色方法数为 pn ? 2 ? (?1) ? 2 .??????10 分

13

14


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