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【2015届备考】2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第四期)D单元 数列]


D 单元
目录

数列

D 单元 D1 D2 D3 D4 D5

数列 .......................................................................................................................

................................................. - 1 -

数列的概念与简单表示法 ..................................................................................................................................... - 1 等差数列及等差数列前 N 项和.......................................................................................................................... - 9 等比数列及等比数列前 N 项和 ....................................................................................................................... - 20 数列求和 .................................................................................................................................................................... - 26 单元综合 ..................................................................................................................................................................... - 31 -

D1

数列的概念与简单表示法

【数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考( 201412 ) 】 21 已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 1, an ?1 ? c ?
(1)设 c ?

1 an

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(2)求使不等式 an ? an ?1 ? 3 成立的 c 的取值范围。 【知识点】数列递推式;数学归纳法.D1 M3 【答案】【解析】(1) 解析: (1) (2)(2, , ].

,即 bn+1=4bn+2

,a1=1,故

所以{

}是首项为﹣ ,公比为 4 的等比数列,

, (Ⅱ)a1=1,a2=c﹣1,由 a2>a1 得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时 an<an+1. (ⅰ)当 n=1 时,a2=c﹣ >a1,命题成立;

(ii)设当 n=k 时,ak<ak+1, 则当 n=k+1 时, 故由(i) (ii)知当 c>2 时,an<an+1 当 c>2 时,令 α= 当 2<c≤ 当 c> 于是 时,an<α≤3 时,α>3 且 1≤an<α ,由

当 n< 因此 c> 不符合要求. ]. 中整理并令 bn= 进行替换,得到关系式

所以 c 的取值范围是(2,

【思路点拨】 (1)令 c= 代入到 an+1=c﹣

bn+1=4bn+2,进而可得到{

}是首项为﹣ ,公比为 4 的等比数列,先得到{

}的通项

公式,即可得到数列{bn}的通项公式. (2)先求出 n=1,2 时的 c 的范围,然后用数学归纳法分 3 步进行证明当 c>2 时 an<an+1, 然后当 c>2 时, 令 α= , 根据由 可发现 c> 时

不能满足条件,进而可确定 c 的范围.

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】13.已知数列

{an } , {bn } 中 , a1 ? a, {bn } 是 公 比 为

a ?2 2 的 等 比 数 列 . 记 bn ? n (n ? N * ), 若 不 等 式 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1

bn?1 ? bn 1 1 ? ? ? ? bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn )
,则 若 则

1 ? bn 3 3 ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 若 2 2 (1 ? bn )(1 ? bn ) 3

对一切正整数 成立,显然不可能; 对一切正整数 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即

0?

a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分情 2 bn ? 1

【思路点拨】 先由已知变形为 a n ? 况讨论即可。

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期k锌际允蕴猓201411) 】16.已知数列 {an } 的 通项公式为 an ? ? n ? p ,数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2 n ? 5 ,设 cn ? ?

?an , an ? bn ,若在数列 ?bn , an ? bn

{cn } 中, c8 ? cn (n ? N ? , n ? 8) ,则实数 p 的取值范围是.
【知识点】函数及其表示数列的单调性 B1 【答案】(12,17) 【解析】解析:由题意可得 是递增数列,因为 D1

cn 是 an,bn 中的较小者, {an}是递减数列; {bn}

c8>c ( ) c c c n n?8 ,所以 8 是 n 的最大者,则 n=1,2,3,…7,8 时, n 递

增,n=8,9,10,…时, 时, 2
7 ?5

cn 递减,因此,n=1,2,3,…7 时, 2n?5<? n ? p 总成立,当 n=7

n ?5 <? 7 ? p, ? p> 11, n=9 , 10 , 11 , … 时, 2 >? n ? p 总成立, 当 n=9 时 ,

29?5>? 9 ? p 成立,∴p<25,而 c8 ? a8或c8 ? b8 ,若 a8≤b8,即 23≥p-8,所以 p≤16,则 a >b8 ,即 p ? 8>28?5 ,所 c8 ? a8 ? p ? 8, ? p ? 8>b7 ? 27?5, ? p> 12, 故 12<p ? 16, 若 8
以 p>16,

c >c9 ? a9 ,即 8>p-9,∴p<17, ?c8 ? b8 ? 23, 那么 8

故 16<p<17,综上,12<p<17.故答案为: (12,17) . 【思路点拨】由 列,由

cn 表达式知 cn 是 an,bn 中的较小者,易判断{an}是递减数列; {bn}是递增数

c8>c ( ) c c c n n?8 ,所以 8 是 n 的最大者,则 n=1,2,3,…7,8 时, n 递增,n=8,9, c ? a8或c8 ? b8 ,分两种情况讨论, cn 递减, ,进而可知 an 与 bn 的大小关系,且 8

10,…时, 当

c8 ? a8时,a8>b7 ,当 c8 ? b8时,b8>a9 ,分别解出 p 的范围,再取并集即可;

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ? (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )
? 2 n?1 ( n ? 2) ?2 (n ? 1)

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an ? ? ; (Ⅱ)

1 1 ? n ?1 3 2 ? n ?1

解析: (Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) S n? 2S n?1, S1 ? 2

? 2 n?1 ( n ? 2) 所以 Sn ? 2 an ? ? (n ? 1) ?2
n

2n ? 1 1 1 (Ⅱ) bn ? n ? n ? n?1 n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1
Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?

【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

【数学文卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】16、数列 {an } 是公比为 q 的 正项等比数列, a1 ? 1 , an ? 2 ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

an ? an ?1 (n ? N ? ) 。 2

1 ? log 1 an ?1 ,求 {bn } 的前 n 项和 S n 。 an 2

【知识点】数列的求和;数列递推式.D1 D4

骣 1 【答案】 【解析】 (1) an = 琪 琪 2 桫

n- 1

; (2) 2

n- 1

+

n ( n +1) 2
an ? an ?1 (n ? N ? ) 。∴ 2

解析: (1)∵数列 {an } 是公比为 q 的正项等比数列, a1 ? 1 , an ? 2 ?

a3 =

a1 - a2 a - a1q 2 2 ,∴ a1q = 1 ,∴2q +q﹣1=0, 2 2

解得 q=-1(舍去)或 q =

骣 1 1 ,∴ an = 琪 琪 2 2 桫

n- 1



骣 1 1 (2)∵ bn ? ? log 1 an ?1 an = 琪 琪 an 2 桫 2 ,

n- 1

,∴ bn = 2n- 1 + n ,

0 1 n- 1 + 1 + 2 +... + n = 2n - 1 + ∴ S n = 2 + 2 + ... + 2

(

) (

)

n ( n +1) 2

2 【思路点拨】 (1)由已知条件得 a1q =

a1 - a1q 1 ,解得 q=-1(舍去)或 q = ,由此能求出 2 2

骣 1 an = 琪 琪 2 桫

n- 1

; (2)先求出 bn = 2n- 1 + n ,在分组求和即可。

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】19. (本小 题满分 16 分)
2 k 已知数列 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ? N , an 。 ?1 ? an an ? 2 ? k ( 为常数)
*

(1) 若 k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列;

(2) 若 k ? 0 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1

(3) 已知 a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数) ,是否存在常数 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意

n ? N * 都成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。
【知识点】数列递推式;等差关系的确定.D1 D2 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)1 或 解析: (1)证明:∵ ∴ 令 n=1,则 ∵a1>0,∴2a2=a1+a3, 故 a1,a2,a3 成等差数列; (2)当 k=0 时, ∵数列{an}的各项都为正数, ∴数列{an}是等比数列,设公比为 q>0, ∵a2,a4,a5 成等差数列, ∴a2+a5=2a4,∴ ∵a1>0,q>0, ∴q ﹣2q +1=0, 化为(q﹣1) (q ﹣q﹣1)=0,解得 q=1 或 ∴
2 3 2

(3)见解析

, , ,











(3)存在常数 λ= 证明如下:∵

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,∴ ,

*



,即



由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到





=…=



即当 n∈N 时,都有 ∵a1=a,a2=b,

*





∴a3=

.∴

=



∴存在常数 λ= 【思路点拨】 (1)把 (2)当 k=0 时,

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,代入 ,令 n=1 化简即可证明;

*

,由于数列{an}的各项都为正数,可得数列{an}是等比数列,设 ,解出即

公比为 q>0,根据 a2,a4,a5 成等差数列,可得 a2+a5=2a4,即

可; (3) 存在常数 λ= 及

, 使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. 由 , 可得

*

, , 由于 an>0,

两边同除以 anan+1,得到

,进而

=…=



即当 n∈N 时,都有

*

,再利用已知求出 a1,a2,a3 即可证明.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】14.已知数列

{an } , {bn } 中 , a1 ? a, {bn } 是 公 比 为

a ?2 2 (n ? N * ), 若 不 等 式 的 等 比 数 列 . 记 bn ? n 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1

1 ? bn bn?1 ? bn 1 1 3 3 ? ? ? ? ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 若 2 2 bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn ) (1 ? bn )(1 ? bn ) 3 3 2 n ?1 3 bn ? ,则 b1 ( ) ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3
0? a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分情 2 bn ? 1

【思路点拨】 先由已知变形为 a n ? 况讨论即可。

【数学文卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期期k锌际 (201411) 】 11. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且对于任意的 n ? N 都有 an?1 ? a1 ? an ? n, 则
*

1 1 ? ? a1 a2 2012 A. 2013

?

1 a2013

等于() B.

4026 2014

C.

4024 2014

D.

2013 2014

【知识点】数列递推式;数列的求和 D1 D4 【答案】 【解析】B 解析:因为 an?1 ? a1 ? an ? n ? 1 ? an ? n ,? an?1 ? an ? n ? 1

(a2 ? a1) ??? (an ? an ?1) ? 1 ? 2 ??? n ? 用叠加法: an ? a1 ?

n ? n ? 1? , 2

所以

1 2 1 1 ? ?( 2 ? ) , an n ? n ? 1? n n ?1 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 a2013 ? 1 1 1 1 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? 2013 2014 ? ? 2014 ?

所以

?

4026 ,故答案为:B. 2014

【思路点拨】先找递推关系 an?1 ? an ? n ? 1 并求通项公式,再利用通项的特征求和,即可得 到结论.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?

?2 ( n ? 1) . 2 a ( n ? 2 ) ? n

(Ⅰ)求 an ;(Ⅱ)设 bn ?

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4

? 2 n?1 ( n ? 2) 1 1 【答案】【解析】(Ⅰ) an ? ? ;(Ⅱ) ? n ?1 3 2 ? n ?1 (n ? 1) ?2
解析:(Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) S n? 2S n?1, S1 ? 2 所以 Sn ? 2n an ? ?

? 2 n?1 ( n ? 2) ?2 (n ? 1)

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

D2

等差数列及等差数列前 n 项和

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期k校 (201412) 】19. (12
2 分)各项都为正数的数列{an},满足 a1=1,a2 n+1-an=2.

(1)求数列{an}的通项公式;

a2 n (2)求数列{2n}的前 n 项和 Sn.
【知识点】等差数列 数列求和 D2 D4 2n+3 【答案】(1) an= 2n-1(n∈N) (2) Sn=3- 2n
2 2 【解析】(1)因为 a2 n+1-an=2,a1=1,

所以数列{a2 n}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 所以 a2 n=1+(n-1)×2=2n-1,因为 an>0,所以 an= 2n-1(n∈N). 2n-1 a2 n (2)由(1)知,an= 2n-1,所以2n= 2n , 2n-3 2n-1 1 3 5 于是 Sn=2+22+23+…+ n-1 + 2n ,① 2 2n-3 2n-1 1 1 3 5 S n= 2+ 3+ 4+…+ 2 2 2 2 2n + 2n+1 ,② 1 1 2 2 2 2 2n-1 1 1 1 1 1 2n-1 ①-②得,2Sn=2+22+23+24+…+2n- n+1 =2+2(22+23+24+…+2n)- n+1 2 2 1 4 1 =2+2× 1 - n-1 2 2n-1 3 2n+3 - + = - + , 1 2n 1 2 2n 1 1-2

2n+3 所以 Sn=3- 2n . 【思路点拨】通过构造新数列求出等差数列通项,根据错位相减求出前 n 项和。

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期k校 (201412) 】15.两个等

差数列的前 n 项和之比为

5n+10 ,则它们的第 7 项之比为________. 2n-1

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】3:1 【解析】设这两个等差数列的前 n 项和分别为 Sn,Tn,由题意知

a7 S13 75 ? ? ? 3. b7 T13 25

【思路点拨】两个等差数列的第 n 项的比等于这两个等差数列的前 2n-1 项和的比.

【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】15.点 P(-1,0)在动直线

2ax ? ?a ? c ? y ? 2c ? 0?a ? R, c ? R ? 上的射影为 M,已知点 N(3,3),则线段 MN 长度的最
大值是____________

【知识点】等差数列的性质;与直线关于点、直线对称的直线方程.D2H2 【答案】【解析】 5 ? 2 解析:易知动直线恒过定 A 点 ?1,?2 ? ,则动点 M 的轨迹为以 AP 为 直径的圆 B x 2 ? ? y ? 1? ? 2 上,MN 长度的最大值为 BN ? r ? 5 ? 2 。故答案为 5 ? 2 。
2

【思路点拨】先求出直线恒过的定点坐标,然后求出动点 M 的轨迹,再计算最大值即可。

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试(201412) 】12.设等差数列 ?a n ? 满 足:

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ? 1, 公差 d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 sin(a4 ? a5 )
)

时,数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是(

A. ? ?

7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ? ?

4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C. ? ?

7? 4? ? , 3 ? ? 6 ?

D. ? ?

4? 3? ? , 2 ? ? 3 ?

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】B 【解析】由

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 =1 sin(a4 ? a5 )

得:

? cos 2a3 ? cos(a3 ? a6 ) cos(a3 ? a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

1 1 cos 2a3 ? cos 2a6 ? cos 2a3 2 ?1 由积化和差公式得: 2 sin(a4 ? a5 )

1 1 (cos 2a6 ? cos 2a3 ) (?2) sin(a6 ? a3 ) sin(a6 ? a3 ) ? 1 ∴sin(3d)=-1. 整理得: 2 =2 sin( a4 ? a5 ) sin(a4 ? a5 )
∵d∈(-1,0),∴3d∈(-3,0),则 3d=-

? ? ,d=- . 2 6

n(n ? 1)(? ) n(n ? 1)d 6 =- ? n2 + ( a ? ? ) n 由 S n =na 1 + = na 1 + 1 2 12 12 2 6 ? 对称轴方程为 n= (a 1 + ) ,由题意当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值, ? 12 17 6 ? 19 4? 3? ∴ < (a 1 + )< ,解得 < a1< . 2 ? 12 2 3 2 4? 3? ∴首项 a1 的取值范围是( , ). 3 2

?

【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公 差 d 的范围求出公差的值,代入前 n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项 a1 取 值范围.

第 II 卷(非选择题,共 90 分)

【数学理卷· 2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳 (12 月) (201412) 】 4.已知 (1 ? 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x),...,an ( x), an?1 ( x). 设函数

1 n x) 2

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x).
(4) 若 a1 ( x), a2 ( x),...,a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值; (5) 求证: ?x1 , x2 ? [0,2], 恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2 n?1 (n ? 2) ? 1. 【知识点】二项式定理;等差数列的性质。D2 J3 【答案】 【解析】 (1)8; (2)见解析
k ?1 k ?1 解析: (1)由题意知 a k ( x) ? C n ( x) , k ? 1,2,3...,n ? 1. 1 0 ? ∵ a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 C n ? 1, C n

1 2

1 n 2 1 2 n(n ? 1) ? , Cn ? ( ) ? , 2 2 2 8

∴ 2?

n n(n ? 1) ? 1? , 解得 n ? 8. 2 8

( 2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x)
0 1 2 2 n ?1 n ?1 n n = C n ? 2C n ( x) ? 3C n ( x) ? .... ? nC n ( x) ? (n ? 1)C n ( x) .

1 2

1 2

1 2

1 2

0 1 2 n?1 n 令 x ? 2, F ( 2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn .

令 x ? 0, F (0) ? 1
0 1 2 n?1 n 设 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn . n n?1 2 1 0 k n ?k 则 S n ? (n ? 1)Cn ? nCn ? ....? 3Cn ? 2Cn ? Cn . 考 虑 到 Cn ? Cn , 将以上两式相加得 0 1 2 n?1 n 2S n ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ....? Cn ? Cn ). ∴ S n ? (n ? 2)2n?1.

又当 x ? [0,2] 时, F ' ( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x ) 是 [0,2] 上的单调增函数,
n?1 ∴ ?x1 , x2 ? [0,2], | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? 2 (n ? 2) ? 1.

【思路点拨】 ( 1 )利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,求出前三项的系数,据 (2)先利用到序相加法求 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,列出方程求出 n 的值; 出 F(2)﹣F(0)的值,利用导数判断出 F(x)的单调性,得证.

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】7.若 S n 为等差 数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期k锌际允蕴猓201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 (1)求数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 {b }

{an } 的通项公式; ? b ,b ? 1

n ?1 n 1 (2)设 n ,求数列 n 的通项公式 【知识点】等差数列和等比数列的性质数列求和 D2 D3 D4

a ?b

【答案】 (1) an ? 3n ? 2

; (2) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 . 2

【解析】解析:(1)∵等差数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列

2 ?a42 ? a2 ? a9,即(a1 ? 3d) ? (a1 ? d)(a1 ? 8d),

整理得:

6a1d ? 9d 2 ? 9a1d ? 8d 2,即d 2 ? 3a1d,

d ? 0, ?d ? 3a1,又a3 ? a1 ? 2d ? 7a1 ? 7, ?a1 ? 1 ,d ? 3,
则数列{an}的通项公式为;

an ? 1 ? ( 3 n ?1 ) ? 3n ? 2 ;

(2)

b1 ? 1 ,an ? 3n ? 2,an ? bn?1 ? bn, ?a1 ? b2 ? b1,a2 ? b3 ? b2, ?,an?1 ? bn ? bn?1,

? a1 ? a2 ? ?? ?an?1 ? bn ? b1 ,
(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(3n ? 4) ? ? bn ? 1 2 2 即



bn ?

(n ? 1)(3n ? 4) 3n 2 ? 7n ? 6 ?1 ? 2 2

【思路点拨】 (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系 式,再利用等差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首项与 公差,即可得到等差数列的通项公式; (2)分别把 n=1,2,…,n-1 代入 an=bn+1-bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数列. 【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得

a1 ? 1 ,d ? 3, 进而求得通项公式;根据已知的

形式可得采用累加的方法,对数列求和,然后化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整理 后即可得到数列{bn}的通项公式.

【数学理卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期k锌际允蕴 (201411) 】 2. 设等差数列 {an } 的 前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S5 等于( ) A.10 B.12 C.15 D.30 【知识点】等差数列的性质 D2 【答案】C【解析】解析:由等差中项可得 a2 ? a4 ? a1 ? a5 ,所以 S5 ? 选择 C. 【思路点拨】解题的关键是利用等差中项得到 a2 ? a4 ? a1 ? a5 ,再利用求和公式求得.

5 ? a1 ? a5 ? ? 15 ,故 2

【数学理卷·2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试(201411) 】19.(本小题
* 满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足, an ?1 ? an ? 4n ? 3 n ? N .

?

?

(I)若数列 ?an ? 是等差数列,求 a1 的值; (II)当 a1 ? 2 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】(1)a 1 =-

1 (II)略 2

【解析】(1)若数列{an}是等差数列,则 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. 由 an+1+an=4n-3,得(a1+nd)+[a1+(n-1)d]=4n-3,即 2d=4,2a1-d=-3,

解得,d=2 , a 1 =-

1 . 2

( 2 ) ①当 n 为奇数 时, S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a _ =a1+ ( a2+a3 ) + ( a4+a5 ) +…+ ( an-1+an ) =2+4[2+4+…+(n -1)]-3×

n ? 1 2n 2 ? 3n ? 5 = 2 2

②当 n 为偶数时,Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=1+9+…+(4n-7) =

2n 2 ? 3n . 2

【思路点拨】 (1)根据数列{an}是等差数列,写出通项 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. ,结合 an+1+an=4n-3,可求 a1 的值; ( 2 )分类讨论: n 为奇数, Sn=a1+ ( a2+a3 ) + ( a4+a5 ) +…+ ( an-1+an ) ; n 为偶数, Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an) .进行分组求和即可.

【数学文卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期k校 (201412) 】18. (本小题 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前六项的和为 60,且 a1 ? 5 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项和 S n ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N ? ) , b1 ? 3 ,求数列 { 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和数列求和 D2 D4

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

3n2 ? 5n 【答案】(1)an=2n+3,Sn= n +4n(2)Tn= 4(n ? 1)(n ? 2)
2

【解析】 (1)等差数列{an}的公差为 d,∵其前六项的和为 60,且 a1=5.∴6×5+ 解得 d=2.∴an=5+(n-1)×2=2n+3,Sn=

6?5 d =60, 2

n(5 ? 2n ? 3) 2 =n +4n. 2

(2)∵数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),b1=3, ∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 =(n-1)2+4(n-1)+3=n2+2n. 当 n=1 时也适合. ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? }的前 n 项和 Tn= [(1- )+( - ) +( - ) +…+( )+( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 bn

∴数列{

=

3n2 ? 5n 1 1 1 1 (1+ )= . 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)

【思路点拨】(1)等差数列{an}的公差为 d,利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即 可得出. (2) 数列{bn}满足 bn+1-bn=an (n∈N*) , b1=3, 利用“累加求和”bn= (bn-bn-1) + (bn-1-bn-2) +…+ (b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 即可得出. 项求和”即可得出.

1 1 1 1 1 ) .再利用“裂 = = ( ? bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

【数学文卷· 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 (期k校 (201412) 】 6. 已知 ?a n ? 为等差数列, ?bn ? 为正项等比数列,公比 q ? 1 ,若 a1 ? b1 , a11 ? b11 ,则( A. a 6 ? b6 B. a 6 ? b6 C. a 6 ? b6 【知识点】等差数列等比数列 D2 D3 【答案】B 【解析】:∵{an}为等差数列,∴a 6 = D.以上都有可能 )

a 1 ? a11 , 2

∵{bn}为正项等比数列,∴b 6 = b1b11 ,公比 q≠1,由基本不等式可知 a6>b6, 【思路点拨】本题是一道等差数列和等比数列结合的问题,要考查的是等差中项和等比中项, 表示出两个数列的第五项,用基本不等式进行比较.

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中)高三上学期第二次联考(201412) 】18.(本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 中,其前 n 项和为 Sn ,且 an ? 2 Sn ? 1 . (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? an ? an ?1

? bn ,求 Tn
D4

【知识点】数列的求和;数列递推式 D2 【答案】 【解析】(1) an=2n﹣1 (2) Tn ?
2 2

1? 1 ? (1)由题设条件知 4Sn=(an+1) ?1 ? ? 解析: 2 ? 2n ? 1 ?
2 2

,得 4Sn+1=(an+1+1) ,两者作差,得 4an+1=(an+1+1) ﹣(an+1) . 2 2 整理得(an+1﹣1) =(an+1) . 又数列{an}各项均为正数,所以 an+1﹣1=an+1,即 an+1=an+2, 2 故数列{an}是等差数列,公差为 2,又 4S1=4a1=(a1+1) ,解得 a1=1,故有 an=2n﹣1

(2)由(1)可得 ∴Tn= 【思路点拨】 (1)由 4Sn=(an+1) ,得 4Sn+1=(an+1+1) ,两者作差,研究{an}的相邻项的关系, 由此关系求其通项即可. ( 2 )由( 1 )可 裂项求和即可. 【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中)高三上学期第二次联考(201412) 】4.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? S6 ?S9 , 则公比 q=() A.1 或-1 B.1 C. -1 D. ,
2 2

1 2

【知识点】等比数列及其前 n 项和. D2 【答案】 【解析】A 解析:当 q=1 时, 3a1 ? 6a1 ? 9a1 成立;当 q≠1 时,

a1 ?1 ? q3 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 6 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 9 ? 1? q

? q6 ? 1 ? q ? ?1(q ? 1) ,综上得 q=1 或-1,故选 A.

【思路点拨】分 q=1 与 q≠1 两种情况讨论求解.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】19. (本小 题满分 16 分)
2 k 已知数列 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ? N , an 。 ?1 ? an an ? 2 ? k ( 为常数)
*

(6) 若 k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列; (7) 若 k ? 0 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1

(8) 已知 a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数) ,是否存在常数 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意

n ? N * 都成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。
【知识点】数列递推式;等差关系的确定.D1 D2 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)1 或 (3)见解析

解析: (1)证明:∵ ∴ 令 n=1,则 ∵a1>0,∴2a2=a1+a3, 故 a1,a2,a3 成等差数列; (2)当 k=0 时, ∵数列{an}的各项都为正数, , ,





∴数列{an}是等比数列,设公比为 q>0, ∵a2,a4,a5 成等差数列, ∴a2+a5=2a4,∴ ∵a1>0,q>0, ∴q ﹣2q +1=0, 化为(q﹣1) (q ﹣q﹣1)=0,解得 q=1 或 ∴
2 3 2









(3)存在常数 λ= 证明如下:∵ ∴

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,∴ ,即 , ,

*

由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到





=…=



即当 n∈N 时,都有

*



∵a1=a,a2=b,



∴a3=

.∴

=



∴存在常数 λ= 【思路点拨】 (1)把 (2)当 k=0 时,

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,代入 ,令 n=1 化简即可证明;

*

,由于数列{an}的各项都为正数,可得数列{an}是等比数列,设 ,解出即

公比为 q>0,根据 a2,a4,a5 成等差数列,可得 a2+a5=2a4,即

可; (3) 存在常数 λ= 及

, 使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. 由 , 可得

*

, , 由于 an>0,

两边同除以 anan+1,得到

,进而

=…=



即当 n∈N 时,都有

*

,再利用已知求出 a1,a2,a3 即可证明.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】11.若 S n 为等 差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学文卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期期k锌际 (201411) 】 17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式 【知识点】等差数列,等比数列 D2 D3 【答案】 【解析】(Ⅰ) an ? 3n ? 2 解析:(Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ? (Ⅱ) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 2
……6 分

3n ? 7n ? 6 .……12 分 2
2

【思路点拨】由 a2 , a4 , a9 成等比数列,可求首项与公差,从而可求 {an } 的通项公式; 再由 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 可得数列 {bn } 的递推公式,利用叠加法即可求出数列 {bn } 的通项公 式.

D3

等比数列及等比数列前 n 项和

【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】6 已知正项等比数列 ?an ?满 足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则 A.

1 4 ? 的最小值为( m n

)

3 5 25 B. C. D. 不存在 2 3 6

【知识点】等比数列的性质;基本不等式 D3 E6 【 答案 】【 解析 】 A 解析 :设 等比 数列 ?an ? 的 首 项为 a 1 , 公 比为 q, a7 ? a6 ? 2a5 , 则

a1 ? q6 ? a1 ? q5 ? 2a1 ? q4 ?q2 ? q ? 2 ? 0?q ? 2或q ? ?1?舍?
? 1 4? ? 1 4? am ? an ? 4a1 , 则m ? n ? 6 ? 6 ? ? ? ? ? m ? n ? ? ? ? ?m n? ?m n? 1 4 9 3 ? n 4m ? ? 5?? ? ? ? 5 ? 4 ? 9 ? ? ? ? ,故选 A m n 6 2 ?m n ?



【思路点拨】根据条件求出等比数列的公比,再结合 am ? an ? 4a1 ,求出 m,n 的和,再结合 基本不等式,即可得到答案.

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】13.已知数列

{an } , {bn } 中 , a1 ? a, {bn } 是 公 比 为

a ?2 2 的 等 比 数 列 . 记 bn ? n (n ? N * ), 若 不 等 式 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1

1 ? bn bn?1 ? bn 1 1 3 3 ? ? ? ? ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 若 2 2 bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn ) (1 ? bn )(1 ? bn ) 3 3 2 3 bn ? ,则 b1 ( ) n ?1 ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3
0? a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分情 2 bn ? 1

【思路点拨】 先由已知变形为 a n ? 况讨论即可。

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】7.若 S n 为等差 数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 ,

从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期k锌际允蕴猓201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 (1)求数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 {b }

{an } 的通项公式; ? b ,b ? 1

n ?1 n 1 (2)设 n ,求数列 n 的通项公式 【知识点】等差数列和等比数列的性质数列求和 D2 D3 D4

a ?b

【答案】 (1) an ? 3n ? 2

; (2) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 . 2

【解析】解析:(1)∵等差数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列

2 ?a42 ? a2 ? a9,即(a1 ? 3d) ? (a1 ? d)(a1 ? 8d),

整理得:

6a1d ? 9d 2 ? 9a1d ? 8d 2,即d 2 ? 3a1d,

d ? 0, ?d ? 3a1,又a3 ? a1 ? 2d ? 7a1 ? 7, ?a1 ? 1 ,d ? 3,
则数列{an}的通项公式为; (2)

an ? 1 ? ( 3 n ?1 ) ? 3n ? 2 ;

b1 ? 1 ,an ? 3n ? 2,an ? bn?1 ? bn, ?a1 ? b2 ? b1,a2 ? b3 ? b2, ?,an?1 ? bn ? bn?1,

? a1 ? a2 ? ?? ?an?1 ? bn ? b1 ,
(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(3n ? 4) ? ? bn ? 1 2 2 即



bn ?

(n ? 1)(3n ? 4) 3n 2 ? 7n ? 6 ?1 ? 2 2

【思路点拨】 (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系 式,再利用等差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首项与 公差,即可得到等差数列的通项公式; (2)分别把 n=1,2,…,n-1 代入 an=bn+1-bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数列. 【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得

a1 ? 1 ,d ? 3, 进而求得通项公式;根据已知的

形式可得采用累加的方法,对数列求和,然后化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整理 后即可得到数列{bn}的通项公式.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期k锌际允蕴猓201411) 】8.若 m 是 2 和 8 的

等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

A.

3 B. 5 2

y2 ) ? 1 的离心率是( m 3 5 3 C. 或 D. 或 5 2 2 2

【知识点】等比中项圆锥曲线的性质 D3 H5 H6
2 ? m ? ?4, 【答案】D【解析】解析:∵正数 m 是 2,8 的等比中项,? m ? 2 ? 8 ? 16,

若 m ? 4 ,∴椭圆

x2 ?

1 3 y2 y2 e ? 1? ? x2 ? ?1 ?1 4 2 , 4 m 的方程为: ,∴其离心率
x2 ? y2 ?1 4 ,离心率 e ? 1 ? 4 ? 5 ,故选择 D.

若 m ? ?4 ,则双曲线方程为

【思路点拨】正数 m 是 2,8 的等比中项,可求得 m ,从而可曲线为椭圆或双曲线,可求得其 离心率.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】7.设等比数列{an}的 前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2,则 A.

7 2

B. ?

9 2

S 5 ? S10 ? S15 ? S10 ? S 5 9 C. 2

(

) D. ?

7 2

【知识点】等比数列 D3 【答案】 【解析】B 解 析 : 因 为 S10:S5 = 1:2 , 所 以 S1 0 ?

1 1 S ,5 S 1? S ,5 由等比数列的性质得 0 S ?5 ? 2 2

1 1 3 1 1 ? ? S5 , ? S5 , S15 ? S5 成 等 比 数 列 , 所 以 S52 ? S 5? S 1? S ? 5, 得 S15 ? S5 , 所 以 5 2 2 4 4 2 ? ?

1 3 S ? S ? S5 5 5 S5 ? S10 ? S15 9 2 4 ? ? ? ,则选 B. 1 S10 ? S5 2 ? S5 2
【思路点拨】在等比数列中,若遇到等距的和时,可考虑利用等比数列的性质

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,

, 成等比数列进行解答..

【数学文卷· 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 (期k校 (201412) 】 6. 已知 ?a n ? 为等差数列, ?bn ? 为正项等比数列,公比 q ? 1 ,若 a1 ? b1 , a11 ? b11 ,则( A. a 6 ? b6 B. a 6 ? b6 C. a 6 ? b6 【知识点】等差数列等比数列 D2 D3 D.以上都有可能 )

【答案】B 【解析】:∵{an}为等差数列,∴a 6 =

a 1 ? a11 , 2

∵{bn}为正项等比数列,∴b 6 = b1b11 ,公比 q≠1,由基本不等式可知 a6>b6, 【思路点拨】本题是一道等差数列和等比数列结合的问题,要考查的是等差中项和等比中项, 表示出两个数列的第五项,用基本不等式进行比较.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】14.已知数列

{an } , {bn } 中 , a1 ? a, {bn } 是 公 比 为

a ?2 2 的 等 比 数 列 . 记 bn ? n (n ? N * ), 若 不 等 式 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1

bn?1 ? bn 1 1 ? ? ? ? bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn )
bn ?

1 ? bn 3 3 ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 若 2 2 (1 ? bn )(1 ? bn ) 3

3 2 n ?1 3 ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; ,则 b1 ( ) 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3

0?

a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分情 2 bn ? 1

【思路点拨】 先由已知变形为 a n ? 况讨论即可。

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】11.若 S n 为等 差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3

【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学文卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期期k锌际 (201411) 】 17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式 【知识点】等差数列,等比数列 D2 D3 【答案】 【解析】(Ⅰ) an ? 3n ? 2 解析:(Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ? (Ⅱ) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 2
……6 分

3n ? 7n ? 6 .……12 分 2
2

【思路点拨】由 a2 , a4 , a9 成等比数列,可求首项与公差,从而可求 {an } 的通项公式; 再由 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 可得数列 {bn } 的递推公式,利用叠加法即可求出数列 {bn } 的通项公 式.

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期k锌际裕201411) 】3.若公比为 2 且各项 均为正数的等比数列 ?an ? 中, a4 ? a12 ? 64 ,则 a7 的值等于()A.2B.4 D.16 【知识点】等比数列 D3 【答案】 【解析】B 解析:因为 a4 ? a12 ? 64 所以 a8 ? 8? a7 ? 4 .故选 B. 【思路点拨】因为 a4 ? a12 ? 64 ,由等比数列性质可得 a4 ? a12 ? a82 ? 64 ,可求 a8 ,从而可求 C.8

a7 .

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】7.设等比数列{an}的

前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2,则 A.

7 2

B. ?

9 2

S 5 ? S10 ? S15 ? S10 ? S 5 9 C. 2

(

) D. ?

7 2

【知识点】等比数列 D3 【答案】【解析】B 解 析 : 因 为 S10:S5 = 1:2 , 所 以 S1 0 ?

1 1 S ,5 S 1? S ,5 由等比数列的性质得 0 S ?5 ? 2 2

1 1 3 1 1 ? ? S5 , ? S5 , S15 ? S5 成 等 比 数 列 , 所 以 S52 ? S 5? S 1? S ? 5, 得 S15 ? S5 , 所 以 5 2 2 4 4 2 ? ?

1 3 S5 ? S10 ? S15 S5 ? 2 S5 ? 4 S5 9 ? ? ? ,则选 B. 1 S10 ? S5 2 ? S5 2
【思路点拨】在等比数列中,若遇到等距的和时,可考虑利用等比数列的性质

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,

, 成等比数列进行解答..

D4

数列求和

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期k校 (201412) 】19. (12
2 分)各项都为正数的数列{an},满足 a1=1,a2 n+1-an=2.

(1)求数列{an}的通项公式; a2 n (2)求数列{2n}的前 n 项和 Sn.
【知识点】等差数列 数列求和 D2 D4 2n+3 【答案】(1) an= 2n-1(n∈N) (2) Sn=3- 2n
2 2 【解析】(1)因为 a2 n+1-an=2,a1=1,

所以数列{a2 n}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 所以 a2 n=1+(n-1)×2=2n-1,因为 an>0,所以 an= 2n-1(n∈N). 2n-1 a2 n (2)由(1)知,an= 2n-1,所以2n= 2n , 2n-3 2n-1 1 3 5 于是 Sn=2+22+23+…+ n-1 + 2n ,① 2

2n-3 2n-1 1 1 3 5 2Sn=22+23+24+…+ 2n + 2n+1 ,② 1 1 2 2 2 2 2n-1 1 1 1 1 1 2n-1 ①-②得,2Sn=2+22+23+24+…+2n- n+1 =2+2(22+23+24+…+2n)- n+1 2 2 1 4 1 =2+2× 1 - n-1 2 2n-1 3 2n+3 - n+1 =2- n+1 , 1 2 2 1-2

2n+3 所以 Sn=3- 2n . 【思路点拨】通过构造新数列求出等差数列通项,根据错位相减求出前 n 项和。

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期k锌际允蕴猓201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 (1)求数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 {b }

{an } 的通项公式; ? b ,b ? 1

n ?1 n 1 (2)设 n ,求数列 n 的通项公式 【知识点】等差数列和等比数列的性质数列求和 D2 D3 D4

a ?b

3n 2 ? 7n ? 6 【答案】 (1) an ? 3n ? 2 ; (2) bn ? . 2
【解析】解析:(1)∵等差数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列

2 ?a42 ? a2 ? a9,即(a1 ? 3d) ? (a1 ? d)(a1 ? 8d),

整理得:

6a1d ? 9d 2 ? 9a1d ? 8d 2,即d 2 ? 3a1d,

d ? 0, ?d ? 3a1,又a3 ? a1 ? 2d ? 7a1 ? 7, ?a1 ? 1 ,d ? 3,
则数列{an}的通项公式为; (2)

an ? 1 ? ( 3 n ?1 ) ? 3n ? 2 ;

b1 ? 1 ,an ? 3n ? 2,an ? bn?1 ? bn, ?a1 ? b2 ? b1,a2 ? b3 ? b2, ?,an?1 ? bn ? bn?1,

? a1 ? a2 ? ?? ?an?1 ? bn ? b1 ,
(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(3n ? 4) ? ? bn ? 1 2 2 即

(n ? 1)(3n ? 4) 3n 2 ? 7n ? 6 bn ? ?1 ? 2 2 则
【思路点拨】 (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系

式,再利用等差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首项与 公差,即可得到等差数列的通项公式; (2)分别把 n=1,2,…,n-1 代入 an=bn+1-bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数列. 【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得

a1 ? 1 ,d ? 3, 进而求得通项公式;根据已知的

形式可得采用累加的方法,对数列求和,然后化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整理 后即可得到数列{bn}的通项公式.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ? (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )
? 2 n?1 ( n ? 2) ?2 (n ? 1)

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an ? ? ; (Ⅱ)

1 1 ? n ?1 3 2 ? n ?1

解析: (Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) S n? 2S n?1, S1 ? 2

? 2 n?1 ( n ? 2) a ? 所以 Sn ? 2 n ? (n ? 1) ?2
n

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

【数学文卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期k校 (201412) 】18. (本小题 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前六项的和为 60,且 a1 ? 5 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项和 S n ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N ? ) , b1 ? 3 ,求数列 { 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和数列求和 D2 D4

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

3n2 ? 5n 【答案】(1)an=2n+3,Sn= n +4n(2)Tn= 4(n ? 1)(n ? 2)
2

【解析】 (1)等差数列{an}的公差为 d,∵其前六项的和为 60,且 a1=5.∴6×5+ 解得 d=2.∴an=5+(n-1)×2=2n+3,Sn=

6?5 d =60, 2

n(5 ? 2n ? 3) 2 =n +4n. 2

(2)∵数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),b1=3, ∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 =(n-1)2+4(n-1)+3=n2+2n. 当 n=1 时也适合. ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? }的前 n 项和 Tn= [(1- )+( - ) +( - ) +…+( )+( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 bn

∴数列{

=

3n2 ? 5n 1 1 1 1 (1+ )= . 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)

【思路点拨】(1)等差数列{an}的公差为 d,利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即 可得出. (2) 数列{bn}满足 bn+1-bn=an (n∈N*) , b1=3, 利用“累加求和”bn= (bn-bn-1) + (bn-1-bn-2) +…+ (b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 即可得出. 项求和”即可得出.

1 1 1 1 1 ) .再利用“裂 = = ( ? bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

【数学文卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】16、数列 {an } 是公比为 q 的 正项等比数列, a1 ? 1 , an ? 2 ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

an ? an ?1 (n ? N ? ) 。 2

1 ? log 1 an ?1 ,求 {bn } 的前 n 项和 S n 。 an 2

【知识点】数列的求和;数列递推式.D1 D4 【答案】 【解析】 (1) an = 琪 琪

骣 1 2 桫

n- 1

; (2) 2

n- 1

+

n ( n +1) 2
an ? an ?1 (n ? N ? ) 。∴ 2

解析: (1)∵数列 {an } 是公比为 q 的正项等比数列, a1 ? 1 , an ? 2 ?

a3 =

a1 - a2 a - a1q 2 2 ,∴ a1q = 1 ,∴2q +q﹣1=0, 2 2
n- 1

骣 1 1 解得 q=-1(舍去)或 q = ,∴ an = 琪 琪 2 2 桫 骣 1 1 (2)∵ bn ? ? log 1 an ?1 an = 琪 琪 an 2 桫 2 ,



n- 1

,∴ bn = 2n- 1 + n ,

0 1 n- 1 + 1 + 2 +... + n = 2n - 1 + ∴ S n = 2 + 2 + ... + 2

(

) (

)

n ( n +1) 2

2 【思路点拨】 (1)由已知条件得 a1q =

a1 - a1q 1 ,解得 q=-1(舍去)或 q = ,由此能求出 2 2

骣 1 琪 an = 琪 2 桫

n- 1

; (2)先求出 bn = 2n- 1 + n ,在分组求和即可。

【数学文卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期期k锌际 (201411) 】 11. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且对于任意的 n ? N 都有 an?1 ? a1 ? an ? n, 则
*

1 1 ? ? a1 a2 2012 A. 2013

?

1 a2013

等于() B.

4026 2014

C.

4024 2014

D.

2013 2014

【知识点】数列递推式;数列的求和 D1 D4 【答案】 【解析】B 解析:因为 an?1 ? a1 ? an ? n ? 1 ? an ? n ,? an?1 ? an ? n ? 1

(a2 ? a1) ??? (an ? an ?1) ? 1 ? 2 ??? n ? 用叠加法: an ? a1 ?

n ? n ? 1? , 2

所以

1 2 1 1 ? ?( 2 ? ) , an n ? n ? 1? n n ?1 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 a2013 ? 1 1 1 1 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? 2013 2014 ? ? 2014 ?

所以

?

4026 ,故答案为:B. 2014

【思路点拨】先找递推关系 an?1 ? an ? n ? 1 并求通项公式,再利用通项的特征求和,即可得 到结论.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)

(Ⅰ)求 an ;(Ⅱ)设 bn ?

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4

? 2 n?1 ( n ? 2) 1 1 【答案】【解析】(Ⅰ) an ? ? ;(Ⅱ) ? n ?1 3 2 ? n ?1 (n ? 1) ?2
解析:(Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) S n? 2S n?1, S1 ? 2 所以 Sn ? 2n an ? ?

? 2 n?1 ( n ? 2) ?2 (n ? 1)

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

D5 单元综合
【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期k柿考觳猓12 月) (201412) 】20. (本小题 满分 16 分) 已知数集 A ? ?a1, a2 ,

an ??1 ? a1 ? a2 ?

an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(1)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (2)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an
.k.s.5.

(3)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 【知识点】数列的应用.D5

【答案】 【解析】 (1)该数集具有性质 P; (2)见解析; (3)见解析 解析: (1)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3,6? , 2 3 1 2 3 6

∴该数集具有性质 P. (2)∵ A ? ?a1 , a2 ,

an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ∵ 1 ? a1 ? a2 ?

? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .从而1 ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,
an ? A ? k ? 1, 2,3, ak , n ? .又∵

, n? .
? an an ? , a2 a1

由 A 具有性质 P 可知

an a ? n ? an an ?1



an a ? 1, n ? a2 , an an?1 an a ? n ? an an?1 ?

an a ? an?1 , n ? an , a2 a1 an an ? ? a1 ? a2 ? a2 a1 ? an?1 ? an ,∴
a1 ? a2 ? ? an ? an . ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an

从而

(3)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有 ∵ 1 ? a1 ? a2 ?

a5 a 2 , ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 a4 a3

? a5 ,∴ a3a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,
a a a4 a 2 ,得 3 ? 4 ? A ,且 1 ? 3 ? a2 , ? A .由 a2a4 ? a3 a3 a2 a2 a3

由 A 具有性质 P 可知



a a a4 a3 a a ? ? a2 ,∴ 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? a2 , a3 a2 a4 a3 a2 a1

即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列. 【思路点拨】 (1)根据性质 P:由于 3 ? 4 与 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 故 ak an ? A? k ? 2,3,

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3

6 6 1 2 3 6 都属于数集 ?1, 2,3,6? ; (2) 由性质 P, 知 aa an , n n ? 2 3 1 2 3 6
∈A,a1=1.再验证又∵

, n? ,从而 1=

an a ? n ? an an ?1

?

an an ? ,从 a2 a1



an a ? n ? an an?1

?

an an ? ? a1 ? a2 ? a2 a1

? an?1 ? an , 命 题 得 证 ;( 3 ) 只 要 证 明

a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 即可. a4 a3 a2 a1


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