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4.1幂函数的图像与性质(1)学生版


4.1 幂函数的图像与性质( 1 )
一、 【学习目标】理解幂函数的意义,能通过几个有代表性的幂函数图象的求作、观察、 分析、 归纳体会幂函数图象变化规律及幂函数的性质, 体会从特殊到一般的研究问题的数学 方法并能进行简单应用。 二、 【学习重点难点】 【重点】幂函数的概念;幂函数的图像与性质。 【难点】画具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律及性质的应

用。 三、 【学习导航】
n m ? (一) 、复习 正分数指数幂,负分数指数幂的定义? a ? a ,a n ? m n
m

.

(二) 、创设情景,引入新课 【问题 1】如果圣诞节卡片每张 1 元,买 x 张卡片需 y 元,那么 y 关于 x 的函数解析式 为 .

【问题 2 】如果正方形的边长为 x ,正方形的面积为 y ,那么 y 关于 x 的函数解析式 为 .

【问题 3 】如果正方体的边长为 x ,正方体的体积为 y ,那么 y 关于 x 的函数解析式 为 .

【问题 4 】如果正方形场地面积为 x ,正方形的边长为 y ,那么 y 关于 x 的函数解析式 为 .

【问题 5】如果某人 x 秒内骑车行进了 1km ,他骑车的速度 y ,那么 y 关于 x 的函数解析式 为 . (三) 、新课讲解 1、幂函数的概念 幂函数的定义:幂函数的概念:一般地,我们把形如: y 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量。 概念理解练习: 【例 1】判断下列函数那些是幂函数? (1) y ? 0.2
x

? x k ( k 是常数,



(2) y ? x

1 5

(3) y ? x

?3

(4) y ?

1 ?2 (5) y ? 2 x 2 x

第1页

(6) y ? x2 ? x , (7) y ? x0 ? x ? 0? (8) y ? 1 【例 2】已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过 (2, 2) ,试求出这个函数的解析式; 2、几个常见幂函数的图象和性质 【探究一】 (1)在初中我们已经学习了幂函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x ?1 的图象和性质,请同学们在同一 坐标系中画出它们的大致图象。
1

(2)你能在上述坐标系内再画出函数 y ? x 3 , y ? x 2 , y ? x ?2 的大致图象吗? 也可在新的 坐标系中画出。

(3) 观察函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x ?1 的图象, 将你发现的结论写在下表内。
2 3

1 2

y?x
定义 域 值域 奇偶 性 单调 性 图像 所在 象限

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

y ? x ?2

(4)根据上表的内容并结合图象,试总结幂函数的性质: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 上都有定义,并且图像都过点 (2)如果 (3)如果 ; 函数;

,则幂函数的图像通过原点 (0,0) ,并在区间 [0, ??) 上是 ,则幂函数在 (0, ??) 上是

函数;在第一象限,图象向上与 y 轴无限

接近,向右与 x 轴无限接近。 性质理解练习:

第2页

【例 3】比较下列各组数中两个值的大小(在横线上填上“<”或“>” ) (1) 3.142 _______ ? 2 ; (2) (?0.38) 3 _______ ?? 0.39? ;(3) 1.25 ______ 1.22
3
?1

1

1

?1

3、几个幂函数的图象和性质的探究 【探究二】 (1)研究函数 y ? x
? 1 2

的定义域、奇偶性和单调性,并作出其图像。 (P79,例 1)

(2)求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性,并作出其大致图像。 (1) y ? x
2 3

(2) y ? x

1 3

(3) y ? x

?

3 2

(4) y ? x

?

2 3

(3)幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在直线 x ? 1 的右侧,幂函数的图象幂指数按从 (2)幂函数 y ? x 的图象必过第
k k



分布;

象限,必不过第
k

象限,有可能过第 象限出现,是

象限,具体看幂函数 y ? x 的奇偶性。 y ? x 是偶函数时,图象还在第 奇函数时,图象还在第 函数也是偶函数. 性质理解加深练习: 思考题:如图中曲线是幂函数 y ? x 在第一象限的图象,已知 ? 取 ?
?

象限;也有可能既不是奇函数也不是偶函数,但不可能既是奇

1 , ?2 四个值, 2

则相应与曲线 C1 、 C2 、 C3 、 C4 的 ? 值依次为(



( A) ? 2 , ?

1 1 1 1 , , 2 ; ( B ) 2 , , ? , ?2 2 2 2 2 1 1 1 1 (C ) ? , ? 2 , 2 , ; ( D ) 2 , , ? 2 , ? 2 2 2 2

第3页

四、 【学习总结】

检测与反馈
一、选择题: 1、下列函数中,是幂函数的是( A、 y ? 2 x B、 y ? 2x 3 ) ) C、 y ?

1 x

D、 y ? 2 x

2、下列结论正确的是(

A、幂函数的图象一定过原点 B、当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x ? 是减函数 C、当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x ? 是增函数 D、函数 y ? x 2 既是二次函数,也是幂函数 3、下列函数中,在 ?? ?,0? 是增函数的是( A、 y ? x 3
1 2



B、 y ? x 2

C、 y ?

1 x

3

D、 y ? x 2

4、已知 x ? x ,求 x 的取值范围.
2

5、函数 y ? (1 ? x ) 2 的值域是
2

1

( C. (0,1) (

) D. [0,1] ) D. 0 ? a ? 1

A. [0, ??) 6、若 a 2 ? a
1 ? 1 2

B. (0,1]

,则 a 的取值范围是 B. a ? 0
? 1 3

A. a ? 1 7、已知 ( x ? 3)
? 1 3

C. 0 ? a ? 1

? (1 ? 2 x) ,求 x 的取值范围。

8、已知幂函数 y ? xm 称,求 m 的值。

2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对

10、函数 y ?

1 x
2 ? m ? m2

在第二象限内单调递增,求 m 的最大负整数。

第4页


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