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概率论试卷(2)答案


标准答案及评分标准
概率论期末试题参考答案与评分标准 A 一填空题 (共 5 小题,每题 3 分,共 15 分) 1.
15 56

或者 0.268 或者 0.27 ;2.0.65 ;3.1; 4.

1 12

a ; 5.

2

N(0,5).

>
二选择题(共 5 小题,每题 3 分,共 15 分) 1. (C) (D) (C) (C) 5. (D). ;2. ;3. ;4. ; 三. (本题满分 10 分) 解:令事件 B 表示任取一件恰好抽到不合格品, ? i 表示任取一件,恰好抽到第 i 条流水线 的产品,i=1,2,3,4 (1)由全概率公式可得
? (? ) ?

2分

? ?(?
i ?1

4

i

)? ( ? | ? i ) ? 0 . 15 ? 0 . 05 ? 0 . 20 ? 0 . 04 ? 0 . 30 ? 0 . 03 ? 0 . 35 ? 0 . 02

=0.0315 (2)由贝叶斯公式,所求概率为

6分

?(? 4 | ?) ?

? ( ? 4 )? (? | ? 4 ) ? (? )

?

0 . 007 0 . 0315

? 0 . 222 ?

2 9

10

分四. (本题满分 10 分) 解:令
y ? tan x ,则 x ? arctan y ,
dx dy
? 1 , ? 因为 X 的概率密度函数为 f X ( x ) ? ? ? ? 0, ?
x ? ?? x??

?

1 1? y
2

? 0 , ?? ? y ? ??

3分

?

?
2

? x?

?
2

,

5分

其它,

? ? lim tan x ? ? ? , ? ? lim tan x ? ? ? ,得 Y ? tan X 的概率密度函数为
2 2

f Y ( y ) ? f X (arctan y ) ?| (arctan y ) ' | ? 1 1
2

? 1? y

,

? ? ? y ? ??

10 分

五. (本题满分 10 分) 解: 因为随机变量 X 和 Y 相互独立,故随机变量 Z ? X ? Y 的概率密度函数为卷积公式
f Z (z) ?

?? ?

??

f X ( x ) f Y ( z ? x ) dx ,

……………….2 分

因为只有 ? 故

?

x?0

?z ? x ? 0

时,被积函数 f X ( x ) f Y ( z ? x ) ? 0 ……………….4 分

当 z ? 0 时, f Z ( z ) ? 0 . 当 z ? 0 时,
fZ (z) ?

?

z 0 z 3

1 2

?

x 2

e
z 0

1 ? ? e 3
? x 6

z?x 3

dx

?e ?e
?

?

?

1 6

e
?

dx

.

?

z 3

z 6

(1 ? e
?e
? z 2

)

z 3

=e

……………….8 分 于是 …………….10 分

z ? ? ?z ? e 3 (1 ? e 6 ), z ? 0 fZ (z) ? ? . ? 0, z ? 0 ?

六. (本题满分 15 分) 解:解: ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边缘概率密度分别为
1 ? 1 ? x ? ydy ? x ? , ? ? 0 2 ? ?0

fX

?

0 ? x ? 1, others . 0 ? y ? 1, others .

fY

1 ? 1 ? x ? ydx ? y ? ? ? 0 2 ?0 ?

?

………………..4 分

E(X ) ?

?0

1

x (x ?

1 2

) dx ? (

x

3

?

x

2

)

3

4

|x ? 0 ? 12
7 12

1

7



由 X 与 Y 的对称性同理可求得
1 1

E (Y ) ?

.

……………….6 分

E ( XY ) ?

? ? xy ( x ?
0 0

y ) dxdy ?

1 3

.
1 49 1

………………..8 分

cov( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? D(X ) ? E(X
2

) ? E (X ) ? 11 144 .

2

?0 ?0

1 1

. ……………….9 分 144 49 5 49 11 2 x ( x ? y ) dxdy ? ? ? ? . 144 12 144 144 3 144

?

? ?

同理

D (Y ) ?

……………….12 分
11 144 ?2 ? 2? 1 144 ? 5 36 . …….14 分

D ( X ? Y ) ? D ( X ) ? D (Y ) ? 2 cov( X , Y ) ?

? XY ?

cov( X , Y ) D(X ) D (Y )

? ?

1 11

.

……………….15 分

七(本题满分 10 分) 解: (1)
X ~ b (100 , 0 . 2 ) .

…………………2 分
X ? 100 ? 0 . 2 100 ? 0 . 2 ? 0 . 8 30 ? 100 ? 0 . 2 100 ? 0 . 2 ? 0 . 8

(2)

P { X ? 30} = P {

?

} …………….6 分

由 De Moivre-Laplace 定理

? 1 ? ? ( 2 .5 )

………………..8 分 ……………..…..10 分

=1-0.9938=0.0062. 八. (本题满分 15 分)
? y1 ? x1 ? x 2 x1 ? y1 y 2 ? ? x1 令? ,则 ? y ? ? x 2 ? y 1 (1 ? y 2 ) ? 2 x1 ? x 2 ?

解: (1)

……………..2 分

? x1

? x1
y2 ?y 2 | =| ?x 2 1 ? y2 y1 ? y1 |? ? y 1

得 J ?|

?y1 ?x 2 ?y1

………………3 分

?y 2

故 f ?1 ,? 2 ( y 1 , y 2 ) ? f ? 1 ( y 1 y 2 ) f ? 2 ( y 1 (1 ? y 2 )) | ? y 1 | 当 y 1 y 2 ? 0 , y 1 (1 ? y 2 ) ? 0 , y 1 ? 0 时,即 y 1 ? 0 , 0 ? y 2 ? 1 时,
f ? 1 ,? 2 ( y 1 , y 2 ) ? f ? 1 ( y 1 y 2 ) f ? ( y 1 (1 ? y 2 )) | ? y 1 |

? e

? y1 y 2

e

? y1 (1 ? y 2 )

y1 ? y1e

? y1



………………..7 分

在其他情形, f ? 从而 f ?

1 ,? 2

( y1 , y 2 ) ? 0 。

1

,? 2

? y 1 e ? y1 , ( y1 , y 2 ) ? ? ? 0

y 1 ? 0 , 0 ? y 2 ? 1; 其他 .
y1 ? 0;

………………..8 分

(2) f ? ( y 1 ) ?
1

?

??

??

f ? 1 ,? 2

? 1 y e ? y1 dy , ? 2 ( y 1 , y 2 )dy 2 = ? ?0 1 ? 0 ?

? y 1 e ? y1 , ? ? 其他 . ? 0
?1, ? ? ?0

y1 ? 0; 其他 .

f? 2 ( y 2 ) ?

?

??

??

f ? 1 ,? 2

? ? y e ? y1 dy , ? 1 ( y 1 , y 2 ) dy 1 = ? ?0 1 ? 0 ?
1 ,? 2

0 ? y 2 ? 1; 其他 .

0 ? y 2 ? 1; 其他 .

可见,对任意 y 1 , y 2 都有 f ?

( y 1 , y 2 ) ? f ?1 ( y 1 ) f ? 2 ( y 2 ) 。

………………..11 分

故 ? 1 和? 2 独立。 (3)? 1 的特征函数为
f ? 1 ( t ) ? Ee
it ? 1

………………...12 分
?

?

?

e

ity 1

0

dy 1 =

1 (1 ? it )
2

……………… 15 分


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