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高考数学大一轮总复习配套学案20 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


学案 20 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及 三角函数模型的简单应用
导学目标: 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解 参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数解决一些简单实际问题.

自主梳理 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点.如下表所示. X Ωx+φ y= Asin(ωx+φ)

0

A

0

-A

0

2.图象变换:函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象可由函数 y=sin x 的图象作如下变换 得到: (1)相位变换:y=sin x ?y=sin(x+φ),把 y=sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向 ____(φ<0)平行移动__________个单位. ( 2 )周期变换: y = sin (x + φ)→y= sin(ωx +φ) ,把 y = sin(x+ φ)图象上各点的横坐标 ____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变). (3)振幅变换:y=sin (ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ),把 y=sin(ωx+φ)图象上各点的纵坐 标______(A>1)或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变). 3.当函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0),x∈(-∞,+∞)表示一个振动量时,则____叫做 振幅,T=________叫做周期,f=______叫做频率,________叫做相位,____叫做初相. 函数 y = Acos(ωx + φ) 的最小正周期为 ____________ . y = Atan(ωx + φ) 的最小正周期为 ________. 自我检测 π? 1.(2011· 池州月考)要得到函数 y=sin? ) ?2x-4?的图象,可以把函数 y=sin 2x 的图象( π A.向左平移 个单位 8 π B.向右平移 个单位 8 π C.向左平移 个单位 4 π D.向右平移 个单位 4 π? 2. 已知函数 f(x)=sin? ω>0)的最小正周期为 π.将 y=f(x)的图象向左平移|φ| ?ωx+4? (x∈R, 个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是 ( ) π 3π π π A. B. C. D. 2 8 4 8 π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cos ωx 4 的图象,只要将 y=f(x)的图象 ( ) π A.向左平移 个单位长度 8

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π B.向右平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 4 π D.向右平移 个单位长度 4 π? 4.(2011· 太原高三调研)函数 y=sin? ?2x-3?的一条对称轴方程是 ( ) π π A.x= B.x= 6 3 π 5π C.x= D.x= 12 12 5.(2011· 六安月考)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

探究点一 三角函数的图象及变换 π? 例 1 已知函数 y=2sin? ?2x+3?. (1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明 y= π? 2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

1 3 变式迁移 1 设 f(x)= cos2x+ 3sin xcos x+ sin2x (x∈R). 2 2 π π? (1)画出 f(x)在? ?-2,2?上的图象; (2)求函数的单调增减区间; (3)如何由 y=sin x 的图象变换得到 f(x)的图象?

探究点二 求 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0, |φ|< , x∈R)的图象的一部分如图所示. 求 2 函数 f(x)的解析式. 例2

π 变式迁移 2 (2011· 宁波模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的图象与 y 轴 2
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的交点为(0,1),它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π, -2).

(1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; 1 (2)若锐角 θ 满足 cos θ= ,求 f(4θ)的值. 3

探究点三 三角函数模型的简单应用 例 3 已知海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24, 单位: 小时)的函数, 记作 y=f(t). 下 表是某日各时刻记录的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b.(1)根据以上数据,求函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时 才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有多 少时间可供冲浪者进行运动?

变式迁移 3 交流电的电压 E( 单位:伏 ) 与时间 t( 单位:秒 ) 的关系可用 E = 220 3 π? sin? ?100πt+6?表示,求: (1)开始时的电压;(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次取 得最大值时的时间.

数形结合思想的应用 例 (12 分)设关于 θ 的方程 3cos θ+sin θ+a=0 在区间(0,2π)内有相异的两个实根 α、 β. (1)求实数 a 的取值范围; (2)求 α+β 的值. 【答题模板】 π a 解 (1)原方程可化为 sin(θ+ )=- , 3 2 π 作出函数 y=sin(x+ )(x∈(0,2π))的图象. 3

[3 分]

-3-

?-1<-2<1 由图知,方程在(0,2π)内有相异实根 α,β 的充要条件是? a 3 ?-2≠ 2

a

.

即-2<a<- 3或- 3<a<2.[6 分] a 3 a π (2)由图知:当- 3<a<2,即- ∈(-1, )时,直线 y=- 与三角函数 y=sin(x+ )的 2 2 2 3 α+β 7π 7 图象交于 C、D 两点,它们中点的横坐标为 π,∴ = , 6 2 6 7π ∴α+β= .[8 分] 3 a 3 a π 当-2<a<- 3,即- ∈( ,1)时,直线 y=- 与三角函数 y=sin(x+ )的图象有两交点 2 2 2 3 A、B, α+β π π 由对称性知, = ,∴α+β= .[11 分] 2 6 3 π 7 综上所述,α+β= 或 α+β= π. [12 分] 3 3 【突破思维障碍】 在解决三角函数的有关问题时,若把三角函数的性质融于函数的图象之中,将数(量)与图 形结合起来进行分析、研究,可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来,这是 解决三角函数问题的一种有效的解题策略. 图象的应用主要有以下几个方面:①比较大小;②求单调区间;③解不等式;④确定方 程根的个数.如判断方程 sin x=x 的实根个数;⑤对称问题等. 【易错点剖析】 此题若不用数形结合法,用三角函数有界性求 a 的范围,不仅过程繁琐,而且很容易漏 掉 a≠- 3的限制,而从图象中可以清楚地看出当 a=- 3时,方程只有一解. 1.从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”,尤其在求 y=Asin(ωx+φ) 的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数 y=sin x 的作用. 2.三角函数自身综合问题:要以课本为主,充分掌握公式之间的内在联系,从函数名称、 角度、式子结构等方面观察,寻找联系,结合单位圆或函数图象等分析解决问题. 3.三角函数模型应用的解题步骤: (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) π? 1.将函数 y=sin? ?x-3?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所 π 得的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的解析式是 ( ) 3 1 π? 1 A.y=sin x B.y=sin? ?2x-2? 2 1 π? π? C.y=sin? D.y=sin? ?2x-6? ?2x-6? 2.(2011· 银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是 ( )

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π? A.y=sin? ?x+6? π? B.y=sin? ?2x-6? π? C.y=cos? ?4x-3? π 2x- ? D.y=cos? 6? ? π? 3.为得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象 5π A.向左平移 个单位长度 12 5π B.向右平移 个单位长度 12 5π C.向左平移 个单位长度 6 5π D.向右平移 个单位长度 6 π 2 4.(2009· 辽宁)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0) 2 3 等于 ( ) ( )

2 1 A.- B.- 3 2 2 1 C. D. 3 2 5.(2011· 烟台月考)若函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小值为 0,最 π π 小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则它的解析式是 ( ) 2 3 π? π? A.y=4sin? B.y=2sin? ?4x+6? ?2x+3?+2 π? π? C.y=2sin? D.y=2sin? ?4x+3?+2 ?4x+6?+2 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________.

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π 7. (2010· 潍坊五校联考)函数 f(x)=cos 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到 g(x)的图象, 4 则 g(x)=______. π ωx- ? (ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴 8. (2010· 福建)已知函数 f(x)=3sin? 6? ? π ? 完全相同.若 x∈? ?0,2?,则 f(x)的取值范围是____________. 三、解答题(共 38 分) π 9.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如下图所 2 示.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3

10.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,0<ω≤2 且 0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图 3π ? 象过点 M(0,2).又 f(x)的图象关于点 N? ? 4 ,0?对称且在区间[0,π]上是减函数,求 f(x)的解析 式.

11. (14 分)(2010· 山东)已知函数 f(x)=sin(π-ωx)· cos ωx+cos2ωx (ω>0)的最小正周期为 π, (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 2 π ? 的图象,求函数 y=g(x)在区间? ?0,16?上的最小值.

自主梳理 π 3π -φ -φ 0-φ 2 π-φ 2 2π-φ π 3π 1. 0 π 2π 2.(1) 左 右 |φ| (2) 伸 长 ω ω ω ω ω 2 2 1 2π 1 2π π 缩短 (3)伸长 缩短 A 3.A ωx+φ φ ω ω T |ω| |ω| 自我检测 1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期 上的简图后,应向两边伸展一下,以示整个定义域上的图象; (2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用
-6-

答案

φ? ωx+φ=ω? ?x+ω?来确定平移单位. π? 2π π (1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. π π 2x+ ?=2sin X. (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? 3? ? 3 列表: π π π 7π X - 6 12 3 12 π 3π X 0 π 2 2 0 1 0 y=sin X -1 π ? 0 2 0 -2 y=2sin? ?2x+3? 描点连线,得图象如图所示: 解

5π 6 2π 0 0

1 (3)将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 2x 2 π π π x+ ?=sin?2x+ ?的图象;再 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到 y=sin 2? 3? ? 6? ? 6 π ? 将 y=sin? ?2x+3?的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,得到 y= π? 2sin? ?2x+3?的图象. 1 1+cos 2x 3 3 1-cos 2x 变式迁移 1 解 y= · + sin 2x+ · 2 2 2 2 2 π? 3 1 =1+ sin 2x- cos 2x=1+sin? ?2x-6?. 2 2 π (1)(五点法)设 X=2x- , 6 1 π π 3π 则 x= X+ ,令 X=0, ,π, ,2π, 2 12 2 2 π ? ?π ? ?7π ? ?5π ? ?13π ? 于是五点分别为? ?12,1?,?3,2?,?12,1?,? 6 ,0?,? 12 ,1?,描点连线即可得图象, 如下图.

π π π (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2

-7-

π π? 得单调增区间为? ?-6+kπ,kπ+3?,k∈Z. π π 3π 由 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 5π +kπ,kπ+ ?,k∈Z. 得单调减区间为? 6? ?3 π 1 (3)把 y=sin x 的图象向右平移 个单位;再把横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变);最后 6 2 π ? 把所得图象向上平移 1 个单位即得 y=sin? ?2x-6?+1 的图象. 例 2 解题导引 确定 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的步骤: M-m M+m (1)求 A,b.确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= ,b= .(2)求 ω.确定函数 2 2 2π 的周期 T,则 ω= .(3)求参数 φ 是本题的关键,由特殊点求 φ 时,一定要分清特殊点是“五 T 点法”的第几个点. 解 由图象可知 A=2,T=8. 2π 2π π ∴ω= = = . T 8 4 方法一 由图象过点(1,2), π ? 得 2sin? ?4×1+φ?=2, π π π ? ∴sin? ?4+φ?=1.∵|φ|<2,∴φ=4, π π? ∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点. π π π ∴ ×1+φ= ,∴φ= , 4 2 4 π π ? ∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 变式迁移 2 解 (1)由题意可得: T 2π 1 A=2, =2π,即 =4π,∴ω= , 2 ω 2 1 ? f(x)=2sin? ?2x+φ?,f(0)=2sin φ=1, π π 1 π 由|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin( x+ ). 2 6 2 6 1 π ? f(x0)=2sin? ?2x0+6?=2, 1 π π 2π 所以 x0+ =2kπ+ ,x0=4kπ+ (k∈Z), 2 6 2 3 2π 又∵x0 是最小的正数,∴x0= . 3 π ? (2)f(4θ)=2sin? ?2θ+6? = 3sin 2θ+cos 2θ, π? 1 2 2 ∵θ∈? ?0,2?,cos θ=3,∴sin θ= 3 , 7 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=- , 9 4 2 sin 2θ=2sin θcos θ= , 9

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4 2 7 4 6-7 - = . 9 9 9 例 3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面, 一是已知函数模型, 如本例,关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则,二是把实际问题抽 象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建 模.(2)如何从表格中得到 A、ω、b 的值是解题的关键也是易错点,同时第二问中解三角不等 式也是易错点. (3)对于三角函数模型 y=Asin(ωx+φ)+k (A>0, ω>0)中参数的确定有如下结论: ymax-ymin ymax+ymin 2π ①A= ;②k= ;③ω= ;④φ 由特殊点确定. 2 2 T 解 (1)由表中数据,知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω= = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5; 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, 1 π ∴A=0.5,b=1,∴y= cos t+1. 2 6 (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π π ∴ cos t+1>1,∴cos t>0, 2 6 6 π π π ∴2kπ- < t<2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z.① ∵0≤t≤24,故可令①中的 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3,或 9<t<15,或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有 6 个小时的时间可供冲浪者运动,即上 午 9∶00 至下午 3∶00. π 变式迁移 3 解 (1)t=0 时,E=220 3sin =110 3(伏). 6 2π (2)T= =0.02(秒). 100π π π 1 (3)当 100πt+ = ,t= 秒时,第一次取得最大值,电压的最大值为 220 3伏. 6 2 300 课后练习区 1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 9π 6. 10 7.-sin 2x 3 ? 8.? ?-2,3? 9.解 (1)由图象知 A=2, 2π π ∵T= =8,∴ω= .……………………………………………………………………(2 分) ω 4 π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(- +φ)=0. 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 4 π π ∴f(x)=2sin( x+ ).………………………………………………………………………(5 分) 4 4 (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π =2 2sin( x+ )=2 2cos x.……………………………………………………………(8 分) 4 2 4 ∴f(4θ)= 3×

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2 3π π π ∵x∈[-6,- ],∴- ≤ x≤- . 3 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2.………………………(12 分) 4 10.解 根据 f(x)是 R 上的偶函数,图象过点 M(0,2),可得 f(-x)=f(x)且 A=2, 则有 2sin(-ωx+φ)=2sin(ωx+φ), 即 sin ωxcos φ=0, π ∴cos φ=0,即 φ=kπ+ (k∈Z). 2 π 而 0≤φ≤π,∴φ= .………………………………………………………………………(4 分) 2 3π ? π 3π 3ω 再由 f(x)=2sin(-ωx+ )=2cos ωx 的图象关于点 N? ? 4 ,0?对称,f( 4 )=2cos( 4 π)=0 2 3ω ∴cos π=0,……………………………………………………………………………(8 分) 4 1 3ω π 4 k+ ? (k∈Z). 即 π=kπ+ (k∈Z),ω= ? 4 2 3? 2? 2 又 0<ω≤2,∴ω= 或 ω=2.……………………………………………………………(10 分) 3 最后根据 f(x)在区间[0,π]上是减函数, 2 可知只有 ω= 满足条件. 3 2 所以 f(x)=2cos x.………………………………………………………………………(12 分) 3 11.解 (1)f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx 1+cos 2ωx =sin ωxcos ωx+ 2 1 1 1 = sin 2ωx+ cos 2ωx+ 2 2 2 π? 1 2 = sin? ?2ωx+4?+2.……………………………………………………………………(6 分) 2 2π 由于 ω>0,依题意得 =π,所以 ω=1.………………………………………………(8 分) 2ω π? 1 2 (2)由(1)知 f(x)= sin? ?2x+4?+2, 2 所以 g(x)=f(2x) π? 1 2 = sin? ?4x+4?+2.……………………………………………………………………(10 分) 2 π π π π 当 0≤x≤ 时, ≤4x+ ≤ . 16 4 4 2 π 2 ? 所以 ≤sin? ?4x+4?≤1. 2 1+ 2 因此 1≤g(x)≤ ,…………………………………………………………………(13 分) 2 所以 g(x)在此区间内的最小值为 1.???????????????????(14 分)

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