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用样本估计总体教案


2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
一、教学目标分析 1.知识与技能目标 (1)通过实例体会分布的意义和作用。 (2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图。 (3)通过实例体会频率分布直方图的特征,能准确地做出总体估计。 2、过程与方法目标: 通过对现实生活的探究, 感知应用数学知识解决问题的方法, 理解数形结合的数学思想和逻 辑推理的数学方

法。 3、情感态度与价值观目标: 通过对样本分析和总体估计的过程, 感受数学对实际生活的需要, 认识到数学知识源于生活 并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系。 二、 教学的重点和难点 重点:会列频率分布表,画频率分布直方图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教法与学法分析 1、教法:遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。重点以引导学生为主,让他们能积 极、主动的进 行探索,获取知识。由于内容较繁琐,所以要借助多媒体辅助教学。 2、学法:根据本节知识的特点,由于学生已具备一定的基础知识,可采取研究性学习的学 习方法。 四、教学过程 (一)情境引入 1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法? 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2.随机抽样是收集数据的方法,如何通过样本数据所包含的信息,估计总体的基本特征,即 用样本估计总体,是我们需要进一步学习的内容. 3.高二某班有 50 名学生,在数学必修②结业考试后随机抽取 10 名,其考试成绩如下: 82, 75, 61, 93, 62, 55, 70, 68, 85, 78. 如果要求我们根据上述抽样数据, 估计该班对数学模块②的总体学习水平, 就需要有相应的 数学方法作为理论指导,本节课我们将学习用样本的频率分布估计总体分布. (二)新课讲解 知识探究(一) :频率分布表 【问题】 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约 生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水 量不超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费. 通过抽样调查,获得 100 位居民 2007 年的月均用水量如下表(单位:t) : 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 思考 1: 上述 100 个数据中的最大值和最小值分别是什么?由此说明样本数据的变化范围是

什么? 0.2~4.3 思考 2: 样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述 100 个数据按组距为 0.5 进 行分组,那么这些数据共分为多少组? (4.3-0.2)÷0.5=8.2 思考 3:以组距为 0.5 进行分组,上述 100 个数据共分为 9 组,各组数据的取值范围可以如 何设定? [0,0.5) ,[0.5,1) ,[1,1.5) ,?,[4,4.5]. 思考 4: 如何统计上述 100 个数据在各组中的频数?如何计算样本数据在各组中的频率?你 能将这些数据用表格反映出来吗? 分 组 频数累计 频数 频率 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) 正 正 正 [1.5,2) 正 正 正 正 [2,2.5) 正 正 正 正 正 [2.5,3) 正 正 [3,3.5) 正 一 4 8 15 22 25 14 6 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06

[3.5,4) 4 0.04 [4,4.5] 2 0.02 合计 100 1.00 思考 5:上表称为样本数据的频率分布表,由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大 致情况,给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据,这里体现了一种什么统计思想? 用样本的频率分布估计总体分布. 思考 6:如果市政府希望 85%左右的居民每月的用水量不超过标准,根据上述频率分布表, 你对制定居民月用水量标准(即 a 的取值)有何建议? 88%的居民月用水量在 3t 以下,可建议取 a=3 思考 7:在实际中,取 a=3t 一定能保证 85%以上的居民用水不超标吗?哪些环节可能会导 致结论出现偏差? 分组时,组距的大小可能会导致结论出现偏差,实践中,对统计结论是需要进行评价的. 思考 8:对样本数据进行分组,其组数是由哪些因素确定的? 思考 9:对样本数据进行分组,组距的确定没有固定的标准,组数太多或太少,都会影响我 们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关,一般样本容量越大,所分组数越 多.按统计原理,若样本的容量为 n,分组数一般在(1+3.3lgn)附近选取.当样本容量不超过 100 时,按照数据的多少,常分成 5~12 组.若以 0.1 或 1.5 为组距对上述 100 个样本数据分 组合适吗? 思考 10:一般地,列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行? 第一步,求极差.(极差=样本数据中最大值与最小值的差) 第二步,决定组距与组数. (设 k=极差÷组距,若 k 为整数,则组数=k,否则,组数=k+1) 第三步,确定分点,将数据分组. 第四步,统计频数,计算频率,制成表格. (频数=样本数据落在各小组内的个数, 频率=频数÷样本容量) 知识探究(二) :频率分布直方图

思考 1:为了直观反映样本数据在各组中的分布情况,我们将上述频率分布表中的有关信息 用下面的图形表示: 频率 组距 宽度:组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t 高度: 频率 组距

上图称为频率分布直方图,其中横轴表示月均用水量,纵轴表示频率/组距. 频率分布直方 图中各小长方形的和高度在数量上有何特点? 思考 2:频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么?各小长方形的面积之和为多少? 各小长方形的面积=频率 各小长方形的面积之和=1 思考 3:频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况,使我们能够看到频率分布 表中看不太清楚的数据模式,但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方 图指出居民月均用水量的一些数据特点吗? (1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的,而且是“单峰”的; (2)大部分居民月均用水量集中在一个中间值附近,只有少数居民月均用水量很多或很少; (3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等. 思考 4:样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的,一般地,频率分布直方图 的作图步骤如何? 第一步,画平面直角坐标系. 第二步,在横轴上均匀标出各组分点,在纵轴上标出单位长度. 第三步,以组距为宽,各组的频率与组距的商为高,分别画出各组对应的小长方形. 思考 5:对一组给定的样本数据,频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关?在居民月均 用水量样本中,你能以 1 为组距画频率分布直方图吗? 频率 组距 0.4 0.3 0.2 0.1

0 (三)例题讲解

1

2

3

4

5

月均用水量/t

例 1、 某地区为了了解知识分子的年龄结构,随机抽样 50 名,其年龄分别如下: 42,38,29,36,41,43,54,43,34,44,40,59,39,42,44,50,37,44,45,29, 48,45,53,48,37,28,46,50,37,44,42,39,51,52,62,47,59,46,45,67, 53,49,65,47,54,63,57,43,46,58. (1)列出样本频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计年龄在 32~52 岁的知识分子所占的比例约是多少. (1)极差为 67-28=39,取组距为 5,分为 8 组. 样本频率分布表: 分 组 频数 频率 [27,32) 3 0.06 [32,37) 3 0.06 [37,42) 9 0.18 [42,47) 16 0.32 [47,52) 7 0.14 [52,57) 5 0.10 [57,62) 4 0.08 [62,67) 3 0.06 合 计 50 1.00 (2)样本频率分布直方图: 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 27 32 37 42 47 52 57 62 67 年龄

(3)因为 0.06+0.18+0.32+0.14=0.7, 故年龄在 32~52 岁的知识分子约占 70%. 例 2、为了了解小学生的体能情况,抽取了某小 频率 学同年级部分学生进行跳绳测试,将所得的数据 组距 a 整理后画出频率分布直方图(如图) ,已知图中从 b 左到右的前三个小组的频率分别是 0.1,0.3,0.4。 第一小组的频数是 5. c (1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数; d (2) 求 a,b,c,d 并且将直方图补充完整。 (3) 参加这次测试跳绳次数在 100 次以上为优秀, 49.5 99.5 149.5 人数 试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少? 74.5 124.5

(1)从而第四组频率:0.2 参加学生人数 5 ÷0.1=50 (2)a=0.016 ,b=0.016 ,c=0.016,d=0.016 如图所示 (3)优秀率为 0.4+0.2=0.6 0.016 0.012 0.008 0.004

频率 组距

49.5 74.5

99.5

149.5 人数 124.5

例 3、2009 年 10 月 31 日,我国国家食品药品监督管理局已批准 8 家疫苗生产企业生产甲型 H1N1 流感疫苗。 为了调查这些企业的生产能力,随机抽 查了其中一个企业 20 天每天生产甲 型 H1N1 流感疫苗的数量(单位: 万剂),疫苗数量的分组区间为:[45,55],[55,65],[65, 75], [75,85],[85,95],由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该 企业一个月(以 30 天计算)生产产品数量在 65 万剂以上的天数约为_____. 频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 45 55 65 75 85 95 产品数量

由频率分布直方图知疫苗生产数量在 65 万剂以上的有三组,这三组的频率比组 距之和是 0.025+0.010+0.005=0.040, ∵组距是 10,∴三组的频率之和是 0.040×10=0.4, ∴生产产品数量在 65 万剂以上的天数约 为 30×0.4=12,故答案为:12 (四)课堂小结 1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小, 总体分布是指总体取值的频 率分布规律.我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布. 2.频率分布表和频率分布直方图, 是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据 的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可 以利用图形传递信息. 3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图, 是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小 来表示数据的分布规律, 它可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况, 并由此 估计总体的分布情况. (五)课下作业: 练习:1.(1). 习题 2.2A 组:2.


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