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2015-2016学年河北省保定市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年河北省保定市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1.已知 A={x|x+1>0},B={x|x2+x﹣2<0},则 A∪B=( ) A. D. (﹣2,+∞) B. (﹣2,﹣1) C. (﹣1,1) (1,+∞) 2.复数 z=

的共轭复数 为( + i ) D.﹣ ) )

A.3﹣i B. ﹣i C. 3.sin15°﹣cos15°=( A. B. C.﹣

D. ﹣ i

4.某算法的程序框图如图所示,则执行该算法后输出的结果为(

A.

B.

C.

D. )

5.已知 0<α<π,则 tanα>1 是 sinα>cosα 的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.若非零向量 , 满足( ﹣ )⊥ ,则

的最大值为(



A.

B.1

C.

D. 与 x 轴围成的封闭区域,若将质点 P(x,y)投入区域 Ω 中, ) D.
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7.已知 Ω 是由曲线 y= 则 x> A. y 的概率为( B. C.

8.明代程大位所著《算法统宗》中记载“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十 一,请问尖头几盏灯?”这首古诗描述宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍, 总共有灯 381 盏,为这个塔顶层有几盏灯?( ) A.2 盏 B.3 盏 C.4 盏 D.5 盏 9.球 O 的表面上有 3 个点 A、B、C,且∠AOB=∠BOC=∠COA= 径为 1,则该球的表面积为( A.6π B.10π C.12π D. ) ,△ABC 的外接圆半

10.若变量 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为(



A.0 B.1 C.3 D.4 11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

12.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x

﹣4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( A. (0, ) ,1) D.[ ,1)

] B. (0, ] C.[

二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分. 13.已知双曲线过点 且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准方程

是 . 14.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,且 3asinA=(3b﹣2c)sinB+ (3c﹣b)sinC,则 cosA= . 15.已知变量 x 与 y 线性相关,且满足如下数据表: x 0 1 2 m y 1 2 6 n
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若 y 与 x 的回归直线必经过点( ,4) ,则 m+n=



16.已知函数 f(x)=tanx,g(x)=

,则 f(x)﹣g(x)的零

点个数是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17.已知函数 f(x)=sin2x﹣2 sin2x,求 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最

小值. 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*满足 Sn=2an﹣3. (1)求{an}的通项公式; (2)若 cn=nan,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对此班 50 人进行了问卷调查得到了如下 的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 5 男生 女生 10 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足 球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: p(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式: ,其中 n=a+b+c+d)

20.如图所示,四棱锥 S﹣ABCD 是底面 ABCD 为等腰梯形,CD∥AB,AC⊥BD,垂足为 O,侧面 SAD⊥底面 ABCD,且∠ADS= 点. (1)求证 BS⊥平面 AMC; (2)求三棱锥 B﹣CMD 的体积. ,AB=8,AD= ,SD= ,M 为 BS 的中

第 3 页(共 20 页)

21.在平面直角坐标系 xOy 中,以动圆经过点(1,0)且与直线 x=﹣1 相切,若该动圆圆 心的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)已知点 A(5,0) ,倾斜角为 的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且与

曲线 E 交于 M、N 两点,求△AMN 面积的最大值,及此时直线 l 的方程. 22.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=ex. (1)若函数 φ(x)=f(x)﹣ ,求函数 φ(x)的单调区间;

(2)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点 A(x0,f(x0) )处的切线,在区间(1,+∞)上 是否存在 x0 使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切,若存在,求出 x0 的个数;若不存在,请说明 理由.

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2015-2016 学年河北省保定市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1.已知 A={x|x+1>0},B={x|x2+x﹣2<0},则 A∪B=( ) A. D. (﹣2,+∞) B. (﹣2,﹣1) C. (﹣1,1) (1,+∞) 【考点】并集及其运算. 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B,找出两集合的并集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:x>﹣1,即 A=(﹣1,+∞) , 由 B 中不等式变形得: (x﹣1) (x+2)<0, 解得:﹣2<x<1,即 B=(﹣2,1) , 则 A∪B=(﹣2,+∞) , 故选:A.

2.复数 z=

的共轭复数 为( + i



A.3﹣i B. ﹣i C.

D. ﹣ i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,则答案可求. 【解答】解:由复数 z= 得复数 z 的共轭复数 为: 故选:C. 3.sin15°﹣cos15°=( A. B. C.﹣ ) D.﹣ = . ,

【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的化简求值. 【分析】利用两角和差的正弦公式,进行化简即可. 【解答】解:sin15°﹣cos15°= 故选:C. 4.某算法的程序框图如图所示,则执行该算法后输出的结果为( ) sin(15°﹣45°)= =﹣ ,

第 5 页(共 20 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果, 进而找到此程序框图的功能是利用循 环计算并输出 S= + +… + 的值,利用裂项求和法即可计算得解 S 的值. +

【解答】解:模拟执行程序,可得程序框图的功能是利用循环计算并输出 S= +…+ 由于:S= 故选:B. 5.已知 0<α<π,则 tanα>1 是 sinα>cosα 的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 的值, + +… + =(1﹣ )+( )+…+( ﹣ )=1﹣

=



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据同角的三角函数的关系和充分必要条件的定义即可判断. 【解答】解:∵0<α<π,tanα>1, ∴ >1,sinα>0,

∴sinα>cosα, 当 <α<π 时,cosα<0,sinα>0,

∴sinα>cosα, ∴tanα<0, 故 tanα>1 是 sinα>cosα 的充分不必要条件, 故选:B

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6.若非零向量 , 满足( ﹣

)⊥ ,则

的最大值为(



A.

B.1

C.

D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 根据 ( ﹣ ) ⊥ 得出 ( ﹣ ? =0, ) 从而求出| |= | |cosθ, 再求

的最大值. 【解答】解:非零向量 , 满足( ﹣ ∴( ﹣ )? =0, 即 即 ﹣ = ? =0, ? ; | |cosθ,θ 为 、 的夹角; = = cosθ≤ ,

)⊥ ,

∴| |= ∴



的最大值为



故选:D.

7.已知 Ω 是由曲线 y= 则 x> A. y 的概率为( B. C. ) D.

与 x 轴围成的封闭区域,若将质点 P(x,y)投入区域 Ω 中,

【考点】几何概型. 【分析】根据题意画出图形,结合图形求出对应图形的面积比即可. 【解答】解:曲线 y= 其面积为 S= π×22=2π; 其中点 P(x,y)投入区域 Ω 且 x> S′= × ×22= ,如图所示; y 的面积为: 与 x 轴围成的封闭区域为半圆,且半径为 2,

所以,所求的概率为: P= = = .

故选:A.
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8.明代程大位所著《算法统宗》中记载“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十 一,请问尖头几盏灯?”这首古诗描述宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍, 总共有灯 381 盏,为这个塔顶层有几盏灯?( ) A.2 盏 B.3 盏 C.4 盏 D.5 盏 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯,由题意和等比数列的定义可得:从塔顶层依次向下每层灯 数是等比数列,结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程,求出 a 的值. 【解答】解:设这个塔顶层有 a 盏灯, ∵宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍, ∴从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列, 又总共有灯 381 盏,∴381= 则这个塔顶层有 3 盏灯, 故选 B. =127a,解得 a=3,

9.球 O 的表面上有 3 个点 A、B、C,且∠AOB=∠BOC=∠COA= 径为 1,则该球的表面积为( A.6π B.10π C.12π D. )

,△ABC 的外接圆半

【考点】球的体积和表面积. 【分析】 根据∠AOB=∠BOC=∠COA= OB, OC 两两互相垂直, AB=BC=AC, , 可得 OA,

利用△ABC 的外接圆半径为 1,可求球 O 的半径,即可求得球的表面积. 【解答】解:∵∠AOB=∠BOC=∠COA= ,

∴OA,OB,OC 两两互相垂直,∴AB=BC=AC ∵△ABC 的外接圆半径为 1,三角形的高为:1.5,则 1.5= ∴AB= ∵OA⊥OB,OA=OB ∴OA= AB.

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∴球的表面积为: 故选:A.

=6π.

10.若变量 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为(



A.0

B.1

C.3

D.4

【考点】简单线性规划. 【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件画出满足约束

条件

的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.

【解答】解:满足约束条件

的可行域如下图中阴影部分所示:

∵ ∴

的几何意义是区域内的点与(4,4)连线的斜率, 的最大值在(3,1)处取得,为 3,

故选:C. 11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

第 9 页(共 20 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由三视图知该几何体是一个半球挖去正四棱锥所得的组合体, 由三视图求出几何元 素的长度,由球体、锥体体的积公式求出几何体的体积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个半球挖去正四棱锥所得的组合体, 且球的半径是 1,四棱锥底面是边长是 的正方形、高是 1, ∴该几何体的体积 V= = ,

故选:D.

12.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x

﹣4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( A. (0, ) ,1) D.[ ,1)

] B. (0, ] C.[

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】如图所示,设 F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′是平行四边形, 可得 4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a.取 M(0,b) ,由点 M 到直线 l 的距离不小于 ,可



,解得 b≥1.再利用离心率计算公式 e= =

即可得出.

【解答】解:如图所示,设 F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′是平行四 边形, ∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a,∴a=2. 取 M(0,b) ,∵点 M 到直线 l 的距离不小于 ,∴ ,解得 b≥1.

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∴e= =



=



∴椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选:A.



二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分. 13.已知双曲线过点 ﹣y2=1 . 【考点】双曲线的标准方程. 【分析】设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ,代入点 方程. 【解答】解:设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ, 代入点 ∴λ=﹣1, ∴双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1. 故答案为: x2﹣y2=1. ,可得 3﹣ = λ, ,求出 λ,即可求出双曲线的标准 且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准方程是 x2

14.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,且 3asinA=(3b﹣2c)sinB+ (3c﹣b)sinC,则 cosA= .

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】利用正弦定理化简已知的等式,再利用余弦定理把表示出 cosA,将得出的等式整 理后代入表示出的 cosA 中,从而可求出 cosA 的值. 【解答】解:利用正弦定理 ,

化简已知的等式得:3a2=b(3b﹣2c)+c(3c﹣b) , 2 2 2 2 2 2 整理得:a =b +c ﹣bc,即 b +c ﹣a =bc, ∴由余弦定理得:cosA= = .
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故答案为: .

15.已知变量 x 与 y 线性相关,且满足如下数据表: x 0 1 2 m y 1 2 6 n 若 y 与 x 的回归直线必经过点( ,4) ,则 m+n= 10 .

【考点】线性回归方程. 【分析】先利用数据平均值的公式求出 x,y 的平均值,以平均值为横、纵坐标的点在回归 直线上,即样本中心点在线性回归直线上.代入,即可得出结论. 【解答】解:∵ = = , = , = ) ,

∴线性回归方程所表示的直线必经过点(= ∵y 与 x 的回归直线必经过点( ,4) , ∴ = , =4,

∴m=3,n=7, ∴m+n=10. 故答案为:10.

16.已知函数 f(x)=tanx,g(x)=

,则 f(x)﹣g(x)的零

点个数是 4 . 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】由 f(x)﹣g(x)=0 得 f(x)=g(x) ,利用函数与方程的关系转化为两个函数 f (x)和 g(x)的交点个数,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:由 f(x)﹣g(x)=0 得 f(x)=g(x) , 作出函数 f(x)和 g(x)在[﹣ ,3π]内的图象,

由图象知两个函数有 4 个交点, 故函数 f(x)﹣g(x)的零点个数是 4, 故答案为:4.

第 12 页(共 20 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17.已知函数 f(x)=sin2x﹣2 sin2x,求 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最

小值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】利用二倍角的余弦公式变形,两角差的正弦公式化简解析式,由三角函数的周期公 式求出 f(x)的最小正周期,由 x 的范围和正弦函数的图象与性质,求出 f(x)在区间[0, ]上的最小值. 【解答】解:由题意得,f(x)=sin2x﹣2 sin2x =sin2x﹣ (1﹣cos2x)=sin2x+ cos2x﹣ = 由 T= 由 则 即 所以 f(x)在区间[0, ]上的最小值是 , 得,f(x)的最小正周期是 π, 得, , , . ,

18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*满足 Sn=2an﹣3. (1)求{an}的通项公式; (2)若 cn=nan,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)当 n=1 时求得 a1=3,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,整理得 an=2an﹣1, 数列{an}是以 3 为首项,以 2 为公比的等比数列,根据等比数列通项公式求得{an}的通项公 式; (2)求得数列{cn}的通项公式,采用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (1)当 n=1,a1=S1=2a1﹣3,解得 a1=3, 当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣3.
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an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3﹣2an﹣1+3, ∴an=2an﹣1, ∴数列{an}是以 3 为首项,以 2 为公比的等比数列; ∴an=3×2n﹣1; (2)cn=nan=3n?2n﹣1, 数列{cn}的前 n 项和 Tn,Tn=3(1×1+2×21+3×22+…+n?2n﹣1) 2Tn=3(1×2+2×22+3×23+…+n?2n) 两式相减:﹣Tn=3(1+2+22+…+2n﹣1﹣n?2n) , =3( ﹣n?2n) ,

=3[(1﹣n)?2n﹣1], ∴Tn=3(n﹣1)?2n+3. 19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对此班 50 人进行了问卷调查得到了如下 的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 5 男生 女生 10 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足 球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: p(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式: ,其中 n=a+b+c+d)

【考点】独立性检验. 【分析】 (1)根据在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率,做出喜爱打 篮球的人数,进而做出男生的人数,填好表格. (2)根据所给的公式,代入数据求出临界值,把求得的结果同临界值表进行比较,看出有 多大的把握说明打篮球和性别有关系. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切可能 的结果组成的基本事件有 5×3×2,而满足条件的事件 B1 和 C1 不全被选中,通过列举得到 事件数,求出概率. 【解答】解: (1)∵在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 .

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∴在 50 人中,喜爱打篮球的有

=30,

∴男生喜爱打篮球的有 30﹣10=20, 列联表补充如下: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 5 25 男生 20 15 25 女生 10 20 50 合计 30 (2)∵ ∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件有 5×3×2=30 种,如下: (A1,B1,C1) , (A1,B1,C2) , (A1,B2,C1) , (A1,B2,C2) , (A1,B3,C1) , (A1,B3,C2) , (A2,B1,C1) , (A2, B1,C2) , (A2,B2,C1) , (A2,B2,C2) , (A2,B3,C1) , (A2,B3,C2) , (A3,B1,C1) , (A3,B1,C2) , (A3,B2,C1) , (A3,B3,C2) , (A3,B2,C2) , (A3,B3,C1) , (A4, B1,C1) , (A4,B1,C2) , (A4,B2,C1) , (A4,B2,C2) , (A4,B3,C1) , (A4,B3,C2) , (A5,B1,C1) , (A5,B1,C2) , (A5,B2,C1) , (A5,B2,C2) , (A5,B3,C1) , (A5, B3,C2) , 基本事件的总数为 30, 用 M 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 表示“B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 由(A1,B1,C1) , (A2,B1,C1) , (A3,B1,C1) , (A4,B1,C1) , (A5,B1,C1) 5 个基本事件组成, ∴ , .

∴由对立事件的概率公式得

20.如图所示,四棱锥 S﹣ABCD 是底面 ABCD 为等腰梯形,CD∥AB,AC⊥BD,垂足为 O,侧面 SAD⊥底面 ABCD,且∠ADS= 点. (1)求证 BS⊥平面 AMC; (2)求三棱锥 B﹣CMD 的体积. ,AB=8,AD= ,SD= ,M 为 BS 的中

第 15 页(共 20 页)

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)根据面面垂直的性质得出 SD⊥平面 ABCD,根据等腰梯形及对角线垂直计算 CD,SA,SC,得出 SA=AB,SC=BC,故而 AM⊥SB,CM⊥SB,于是 SB⊥平面 AMC; (2)计算 BD,OC,得出 S△ BCD,于是 VB﹣CDM=VM﹣BCD= 【解答】证明: (1)∵梯形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD. ∴OC=OD= CD,OA=OB= AB=4 , . .

∴AD2=OA2+OD2,即 34=32+ ∴CD=2.

∵平面 SAD⊥平面 ABCD,平面 SAD∩平面 ABCD=AD,且∠ADS= ∴SD⊥平面 ABCD, ∴SD⊥AD,SD⊥CD. ∴SA= =8,CD= = .



∴SA=AB,SC=BC. ∵M 是 SB 的中点, ∴AM⊥SB,CM⊥SB. 又 AM? 平面 AMC,CM? 平面 AMC,AM∩CM=M, ∴BS⊥平面 AMC. (2)∵M 是 BS 的中点, ∴M 到平面 ABCD 的距离 h= ∵BD=OB+OD=5 ∴S△ BCD= ,OC= = = , . = . = .

∴VB﹣CMD=VM﹣BCD=

第 16 页(共 20 页)

21.在平面直角坐标系 xOy 中,以动圆经过点(1,0)且与直线 x=﹣1 相切,若该动圆圆 心的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)已知点 A(5,0) ,倾斜角为 的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且与

曲线 E 交于 M、N 两点,求△AMN 面积的最大值,及此时直线 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由抛物线的定义求得抛物线方程. (2)直线和圆锥曲线联立方程组,构造关于 m 的函数,利用导数求得最大值. 【解答】解: (1)由题意得圆心到(1,0)的距离等于直线 x=﹣1 的距离,由抛物线的定 义可知,圆心的轨迹方程为:y2=4x. (2)由题意,可设 l 的方程为 y=x﹣m,其中,0<m<5. 由方程组 ,消去 y,得 x2﹣(2m+4)x+m2=0,①

当 0<m<5 时,方程①的判别式△=(2m+4)2﹣4m2=16(1+m)>0 成立. 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 ∴ 又∵点 A 到直线 l 的距离为 ∴ 令 f(m)=m3﹣9m2+15m+25, (0<m<5) 2 f'(m)=3m ﹣18m+15=3(m﹣1) (m﹣5) , (0<m<5) ∴函数 f(m)在(0,1)上单调递增,在(1,5)上单调递减. 当 m=1 时,f(m)有最大值 32, 故当直线 l 的方程为 y=x﹣1 时,△AMN 的最大面积为 22.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=ex. ,

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(1)若函数 φ(x)=f(x)﹣

,求函数 φ(x)的单调区间;

(2)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点 A(x0,f(x0) )处的切线,在区间(1,+∞)上 是否存在 x0 使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切,若存在,求出 x0 的个数;若不存在,请说明 理由. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)由条件求出 φ(x)以及定义域,由求导公式和法则求出导函数,化简后确定 导数恒大于 0,即可求出函数 φ (x)的单调区间; (2)先由导数的几何意义和点斜式方程求出直线 l 的方程,再设 l 与曲线 y=g(x)相切于 点(x1, lnx0= ) ,同理表示出直线 l 的方程,对比后可得 lnx0﹣1= (lnx0+1 ) ,求出

,由(1)中知 φ(x)的单调性,求出 φ(e) 、φ(e2)并判断出符号,结合零

点存在性定理可得在(1,+∞)上 x0 存在且唯一. 【解答】解: (1)由题意得,φ(x)=f(x)﹣ ∴φ(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞) , 且 φ′(x)= ﹣ =lnx﹣ ,

=

=

>0,

∵x>0 且 x≠1,∴φ'(x)>0, ∴函数 φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞) ; (2)假设在区间(1,+∞)上存在 x0 满足条件, ∵f′(x)= ,则 f′(x0)= ∴切线 l 的方程为 y﹣lnx0= , (x﹣x0) ,即 y= ) , x+lnx0﹣1,①

设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点(x1, ∵g′(x)=ex,∴ = ,则 x1=﹣lnx0, =

∴直线 l 方程又为 y﹣

(x+lnx0) ,即 y=

x+

lnx0+

,②

由①②得 lnx0﹣1=

(lnx0+1 ) ,得 lnx0=



下面证明在区间(1,+∞)上 x0 存在且唯一. 由(1)可知,φ(x)=lnx﹣ 在区间(1,+∞)上递增.

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又 φ(e)=lne﹣

=

<0,φ(e2)=lne2﹣

=

>0,

结合零点存在性定理知:φ(x)=0 必在区间(e,e2)上有唯一的根 x0, ∴在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切.

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2016 年 8 月 13 日

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